過程重于結果，思維精益求精
——一道導數綜合題的課堂思維導引

☉江蘇省如東縣掘港高級中學 錢雨森

過程重于結果，思維精益求精
——一道導數綜合題的課堂思維導引

☉江蘇省如東縣掘港高級中學 錢雨森

導數與函數綜合問題，在歷年各省市的高考命題中常以把關題或壓軸題的形式出現，對同學們分析問題與解決問題的能力提出了較高的要求.同樣一道題目，面對不同的解題對象，有的解法繁，有的解法簡，有的草紙遍地，有的一望而答，有的順利求解，有的半途而廢.可見問題的分析過程至關重要.本文以一道導數綜合題為例，談談數學思維過程的優化.

一、問題引出

導數法是研究函數性質問題的有力工具，導數的引入使函數的單調性、最值、極值、零點等問題的解答實現了程序化的處理.前面我們已經學習了利用導數法求含參函數的單調區間，那么反過來，如果已知含參函數在某區間上單調，讓我們求參數的范圍，應如何處理？

題目已知函數f（x）=（2ax-x2）eax，其中a為常數，且a≥0.

（1）略；

本題綜合性強，思維含量高，對同學們的數學基本功提出了更高的要求，要完整順利地解答本題，不僅需要我們具有鍥而不舍的精神和頑強的毅力，還需要具有較強的運算推理能力和探索創造精神.請同學們思考后，給出解答方法.

二、問題探究

思考幾分鐘后，教師請有思路的同學回答.

生1：我們也可以先求單調區間，再將所給的范圍置于相應單調區間內，通過解不等式求解參數的范圍.

師：思維直接，銜接前后，具體如何操作？

生1：求導得f′（x）=［-ax2+（2a2-2）x+2a］eax，令f′（x）= 0，即-ax2+（2a2-2）x+2a=0，利用求根公式得……

師：將問題轉化為無理不等式求解，思路可行，但實際操作過程中難度較高.能否轉變一下思維？

生2：利用導函數在某區間上的正負符號，可得函數在該區間上的增減性，反之，若已知函數在某區間上的增減性，也可得到導函數在該區間的正負，將問題轉化為該區間內不等式恒成立問題求解.

師：思維更上一層樓，但導函數的零點不易求，不等式如何解？

生3：不一定直接求零點，前面我們學習過二次函數零點分布問題，結合二次函數的對稱軸，討論所給區間與零點的關系.

師：非常好，將陌生問題轉化我們所熟悉的問題求解.繼續.

生3：當a=0時，f′（x）=-2x，顯然f′（x）≤0對任意x∈恒成立.

當a＞0時，易知判別式Δ=（2a2-2）2+8a2＞0恒成立，故二次函數g（x）=ax2-（2a2-2）x-2a有兩個零點.

師：至此問題得到解決，我們再審視一下，在問題的求解中仍需要求解無理不等式，對此能否進一步優化？

生4：可通過討論對稱軸的正負，來避免解答無理不等式.

當a＞0時，令h（x）=ax2-（2a2-2）x-2a，則函數h（x）的圖像的對稱軸為直線

師：還有沒有其他解法？

貓眼女人看著他。她用指頭沾點地上的血，舉到鼻子上聞了聞。她明白了什么。她說那你等著吧，我叫人送錢來！貓眼女人打個電話，一輛黑色的奔馳商務車開過來，嘎地一聲在他跟前停下。車上下來幾個穿黑衣黑褲手里拎鋼管的大漢，揪著大福的脖領子問那疼。大福手指指腰，鋼管就砸到腰上；大福手指指腿，鋼管就砸到腿上。直砸得他渾身青腫，跪在地上求饒才罷手。

生5：對于不等式恒成立問題，如果能實現參數分離，可考慮用分離參數法求解！可是不等式ax2-（2a2-2）x-2a≥0中的a卻不能分離出來.

師：當參數不能單獨分離時，應如何考慮？

生6：可考慮參數整體分離.

當a＞0時，f′（x）≤0等價于ax2-（2a2-2）x-2a≥0.

師：本題的解答需要同學們具備頑強的品質，并保持思路清晰，目標明確，及時變通，方法得當，才能順利得解.成功地解答一道題目，我們不應滿足于此，而應對相關的問題進行多角度變式探究，這樣既可以鍛煉我們的解題思維，又能培養解題能力.

變式1：已知函數f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.

（1）略；

生7：題意等價于導函數f′（x）=3x2+2ax+1≤0對任意恒成立，即二次方程f（′x）=0的兩根中，一根小于或等于，一根大于或等于

變式2：設函數f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.

（1）略；

生8：f′（x）=3x2+2ax+1，將問題轉化為f′（x）在區間）內有零點.

則問題轉化為如下四種形式.

圖1

圖2

圖3

圖4

列出不等式組求解：

生9：利用命題的否定，求參數的范圍，再運用補集思想求出答案.

綜上，每種方法的適用性可能有所局限，在不同特征的題型中應選取不同的方法，各種方法又不是相互獨立的，往往需互相結合使用，切不可被所謂方法局限思維，這也是學習數學的大忌.因此，平時的教學和復習中，要進一步加強思想方法的教學，培養學生的數學意識，提高學生分析問題、解決問題的能力，加強推理探索的教學，培養學生勇往直前的頑強品質，提高學生思維的靈活性和創造性.A