讀懂教材之意，體驗理念之真
——記“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”教學的心路歷程

☉江蘇省蘇州市陸慕高級中學袁衛(wèi)剛

讀懂教材之意，體驗理念之真
——記“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”教學的心路歷程

☉江蘇省蘇州市陸慕高級中學袁衛(wèi)剛

2014年12月上旬，筆者所在學校與蘇州市其他兄弟學校聯(lián)合舉行了一次課例展示活動，筆者有幸開設了一節(jié)“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”課.在研究教材、研究學情的基礎上反復打磨，在不斷思考和實踐中三次改進，逐步完善.整個歷程使筆者感觸很深，自己對教材的理解和把握，對教學設計的認識在這個過程中有了許多提升.現(xiàn)結合改進前后的教學設計和部分教學實錄，來談談自己的一些思考，敬請同行指正.

蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》選修2-1“2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義”是在學生學習完必修2“平面解析幾何初步”中橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)之后的內(nèi)容.通過統(tǒng)一定義從總體上進一步認識三種圓錐曲線的關系，并能應用這個性質(zhì)解決具體問題.所以筆者在第一次備課的時候，按照“回憶—觀察—發(fā)現(xiàn)—應用”的順序推進.

一、初始設計

（1）復習拋物線的概念——到一個定點的距離與到一定直線的距離相等的點的軌跡，也就是說這兩個距離的比值為1，是一個定值.

（2）通過觀察幾何畫板的演示，發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)到一個定點F（-3，0）的距離和到一條定直線l：x=3的距離的比等于和2的動點P的軌跡分別是橢圓和雙曲線.

（3）通過回憶橢圓的標準方程的推導過程，曾得到過這樣一個方程將其變形為讓學生解釋這個方程的幾何意義，緊接著得出圓錐曲線的統(tǒng)一定義.然后給出橢圓（a＞b＞0）的兩條準線方程，通過驗證這一性質(zhì)，再發(fā)現(xiàn)橢圓通過類比給出雙曲線的兩類準線方程.

（4）通過例題的講解，對獲得的新知加以鞏固、辨析及應用.

【思考】這樣的教學設計，學生對整個知識是能理解的，對知識的獲得是能接受的.但是，筆者仔細回憶聽其他老師上課時的感受，發(fā)現(xiàn)課堂中概念的生成顯得不是很自然，只是看到老師在用幾何畫板演示，最后給出了兩個圖形，就說一個是橢圓，另一個是雙曲線.這在本質(zhì)上還是老師所給予的.再者，在回憶橢圓的標準方程的推導過程這個環(huán)節(jié)上，學生由于普遍對前面所學的內(nèi)容有所遺忘，而且這個推導過程在得出標準方程之后就沒怎么用過，所以得出時學生普遍感覺陌生，式子給出感覺突然，這其實也還是老師給予了這個發(fā)現(xiàn).

二、注重知識的生成與發(fā)展

波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”.所以為了能讓學生更自然地得到新的概念，能夠參與到概念的發(fā)生和發(fā)展的過程中去，筆者決定按照“設問—嘗試—論證—探究”的順序推進下去.

試上片斷如下所示.

問題1：前面我們學習了橢圓、雙曲線、拋物線的定義，請同學們回顧敘述.

平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡是橢圓；平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|的正數(shù)）的點的軌跡是雙曲線；平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點P的軌跡是拋物線.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.圓錐曲線能不能有一個統(tǒng)一的定義呢？

拋物線上的點P到定點F的距離與到定直線l的距離相等，也就是說距離的比等于1.當點P到定點F的距離與到定直線l的距離的比值是一個不等于1的常數(shù)時，動點P的軌跡又是什么曲線呢？

【設計意圖】通過復習橢圓、雙曲線、拋物線的定義，比較它們之間的差別（拋物線只有一個定點，外加一條定直線，而且距離相等），聯(lián)想考慮圓錐曲線是否有一個統(tǒng)一的定義.

問題2：平面內(nèi)到一個定點F（-3，0）的距離和到一條定直線l：x=3的距離的比等于或2的動點P的軌跡是什么呢？

【設計意圖】通過學生自主探究，讓他們?nèi)ゲ孪脒@個軌跡的圖形特征，老師通過幾何畫板幫助學生猜想，得到大概圖形為橢圓和雙曲線.

師：如何來證明所得圖形就是橢圓呢？

學生在思考中發(fā)現(xiàn)這個圖形不關于原點對稱.

問題3：在平面直角坐標系中，是否存在一定點和定直線，使橢圓上任一點P（x，y）到定點的距離和到一條定直線的距離的比是一個定值？

學生猜想：定點為焦點.

師追問：有兩個焦點，以其中一個F2為定點，那么定直線呢？比值是什么呢？

問題4：如何表示|PF2|？求|PF2|的最大值與最小值.

|PF2也就是說|PF2|只與P點的橫坐標x有關.

【設計意圖】通過復習所學曲線的概念，嘗試找到一個統(tǒng)一的定義.再通過一組問題串，引導學生探究出問題中的定直線與定值，對前面的猜想作出解釋.然后得出橢圓的第二定義，再類比得出雙曲線的定義，和拋物線的定義統(tǒng)稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再利用例題進一步鞏固.

【思考】這樣的設計所提出的問題是前一段時間經(jīng)常訓練的問題——動點到定點的距離的最值問題.學生通過利用前面所學的處理問題的方法：消元，化簡，配方，能順利且自然地探究得到橢圓（雙曲線）的定直線（準線），也可以得到解決曲線上一點到焦點的距離的常用思想方法——化斜為直，也感受到了解析幾何中利用代數(shù)運算發(fā)現(xiàn)并證明幾何性質(zhì)的過程，體現(xiàn)了解析幾何的精髓，為后續(xù)處理定點、定值問題提供了范例.

通過實際操作，發(fā)現(xiàn)仍有很多方面存在問題.學生在給出具體實例探究圖形的時候幾乎無從下手，找不到符合要求的點，以至于自己得不到對圖像的感性認識，這部分同學只能停下手中的筆等待老師用幾何畫板來演示.實質(zhì)上這些同學沒有能夠參與到知識的生成中來，還有一部分同學干脆直接求出點所滿足的軌跡，其中有的同學由于感覺運算比較復雜而停止了.只有少部分同學得出了等式，但是最后還是沒有得到是橢圓這個結論.學生在處理比值是2這個問題時基本都無暇顧及，形同虛設.還有聽課同事提出來：把“滿足到定點的距離與到定直線的距離之比的點的軌跡問題”反過來問成：“是否存在定點、定直線，使橢圓上任一點到定點的距離與到定直線的距離之比是定值”，思維跳躍性比較大，學生不理解為什么要解決這個問題，該問題與原問題有何聯(lián)系，這時，不理解的同學也沒有參與進來.

三、注重學生參與知識的建構

根據(jù)建構主義學習理論，學習者只有通過對自己經(jīng)驗的解釋，才能建構自己最真實的理解；學習者只有通過廣泛的思考交流，才能創(chuàng)建具有自主意識的新知識.學生是認知的主體，是認知結構的主動建構者，在課堂教學中應以學生為中心，教師是認知結構建構過程的組織者、指導者、促進者.所以筆者決定再次修改，以“預設—活動—演示—引申”為順序進行.

借班試上片斷如下所示.

（繼續(xù)之前的復習回顧、創(chuàng)設問題情境）通過復習橢圓、雙曲線、拋物線的定義，比較之間的差別（拋物線只有一個定點，外加一條定直線，而且距離相等），引出問題.

問題：平面內(nèi)點F到直線l的距離為6，動點P到定點F的距離和到一條定直線l的距離的比等于，則動點P的軌跡是什么呢？

學生最先探究出滿足要求的點在一過點F的橫線上（如圖），繼續(xù)發(fā)現(xiàn)兩點在過點F的豎線上，由直角三角形三邊為3、4、5得出兩點，通過嘗試總結出了找符合要求的點的規(guī)律，先確定要找點的橫坐標，以確定到直線的距離，再找到定點F的距離符合要求的點.這樣同學們?nèi)菀撞孪氤鲕壽E為一個橢圓.

然后教師因勢利導，利用學生發(fā)現(xiàn)點的規(guī)律，通過幾何畫板描出點的軌跡.

接著，借助比值的變化，發(fā)現(xiàn)比值是大于1的數(shù)時軌跡變?yōu)殡p曲線，比值越大張口越大，比值小于1時比值越小得到的橢圓越“圓”，讓學生把這個比值與前面學過的離心率取得聯(lián)系，為后面猜想定值做好鋪墊.

緊接著，老師提問：得到的曲線真是橢圓嗎？你如何加以證明？

生：建立坐標系！

師：如何建立適當?shù)淖鴺讼档玫綑E圓的標準方程呢？

生：焦點！

師：那好，我們選擇兩個焦點中的一個F2（c，0），那么定直線又在哪里？比值是多少呢？

學生猜想：由曲線的對稱性，定直線要與x軸垂直，可設為x=m；比值應該是

師：那我們來嘗試一下.我們?nèi)绾伪硎境鰴E圓上任一點P到點F2（c，0）的距離？

接著，通過對稱性得到與焦點相對應的準線，以及焦點在y軸上時標準方程相對應的準線，學生自主類比得到雙曲線的準線，最后逐步完善得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再通過例題加以應用鞏固.

【思考】這樣的設計相比之前，學生的參與度已比較高了，整個探究的過程也比較自然順暢，學生也在描點操作和探究過程中體會到了化斜為直的思想，經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過程.在此過程中，學生對概念的運用價值有了一定的認識，在自主探究的過程中也充分利用了自己前面所學的知識，為以后學生處理相關問題起到了示范作用，也激起了學生主動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的欲望，培養(yǎng)了自主學習能力.

但是在建立坐標系的時候，還是有一些同學想到了和拋物線一樣的坐標系，即以F（-3，0）和l：x=3來求軌跡方程，說明部分學生樂于利用代數(shù)方法在求點的軌跡方面去探究.老師的預設是為了能順利地把學生引入到自己預設好的環(huán)節(jié)上來，這樣的設計有可能限制了部分學生的思維，不能完全調(diào)動那些學生的主觀能動性，沒有以學生為主體開展教學.學生已經(jīng)能通過所學知識來求出軌跡，為何不能讓他們自由發(fā)揮呢？

四、注重學生個性差異發(fā)展

布魯納（J.S.Bruner）認為數(shù)學對象的表征有活動性表征、圖像性表征、符號性表征，解析幾何問題往往會有多元表征，而由于學生個體偏好差異，和對前面所學的知識的接受程度的差異，以致于學生有可能用不同的方法來解決問題.教師應對學生個體的差異化進行差別化設計，在學生自身的最近發(fā)展區(qū)基礎上因勢利導，讓每一個同學都感受到解決問題的愉悅.通過同學展示自己探究出的成果，讓同學們從不同的方法中進行比較，使自己的方法更加優(yōu)化；對數(shù)學對象的多元表征在多方面進行比較以逐步適應各種表征形式，使自己的思維更加開闊.所以最后決定以“疑惑—探究—展示—提煉”展開最后的教學.

教學實錄如下所示.

（復習和問題情境環(huán)節(jié)保持不變，提出具體問題還是給出坐標系和點坐標）

問題：平面內(nèi)到一個定點F（-3，0）的距離和到一條定直線l：x=3的距離的比等于的動點P的軌跡是什么呢？

學生活動：網(wǎng)格紙已給出點的坐標，有部分學生還是利用描點.學生探究完之后，用實物投影儀投出導學案，并自己作出解釋.

生1：我先發(fā)現(xiàn)（-1，0）、（-9，0），因為這兩點都在x軸上，此時的距離都可用水平的線段來表示.后來發(fā)現(xiàn)了（-3，3）、（-3，-3），這兩點到點F的距離可以利用兩條豎直線段來表示，再發(fā)現(xiàn)（-7，3）、（-7，-3），因為有直角三角形三邊為3、4、5，得到斜線段為5.

師：還能作出其他點嗎？

生1：不太好作，不過可以先確定這點的橫坐標，再以點F為圓心作以為半徑的圓就能確定這點了.

師：好！我們利用幾何畫板幫助生1完成這個工作吧！

老師用電腦演示，學生猜想出軌跡為橢圓，再把比值變化一下看出軌跡，從橢圓變到拋物線、雙曲線.

師：怎么證明你所得的圖形就是橢圓呢？生2，你是怎么做的？

生2：我直接解出了軌跡方程，但不知道表示什么圖形.

經(jīng)過全班同學合作，把生2得到的方程（x+3）2+y2=展開、化簡、配方整理，得到

師：也就是說，這個橢圓上的點到F（-3，0）與到一條定直線l：x=3的距離的比為.若橢圓的中心在坐標原點，橢圓上的點仍應有這樣的性質(zhì)，那么，此時這個點、這條直線在哪里呢？

生2：我知道了，是橢圓！只要把坐標系適當調(diào)整就能得到標準方程了，而且這個點F就是橢圓的焦點！

【設計意圖】通過逐步引導學生平移圖形，最終讓學生明白，對于標準橢圓，其上的點到一個定點與到一條定直線的距離之比是小于1的常數(shù)，接下來繼續(xù)探究這個定點與定直線.

師：好，這樣就把生1的疑問解決了！在一般情況下，在橢圓的標準方程中，這個點F是哪個，這條直線是哪條，這個比值是多少？

生：從上面的方程可得到點F也為焦點.

師：接下來怎么處理呢？

生：可以先表示出曲線上任一點P到點F2（c，0）的距離，可化簡成我們在前面處理過曲線上的動點到焦點的最大值和最小值問題，當時就發(fā)現(xiàn)了，就是不知道它原來還是一個性質(zhì).

師：所以以后處理點到焦點的距離可以轉化為到這一直線的距離了，是吧？

師：我們還可以得到雙曲線也有類似的性質(zhì)！拋物線有嗎？

【設計意圖】通過學生自主發(fā)現(xiàn)逐步得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并通過類比完成課本上的表格，使知識更具有系統(tǒng)性，最后通過例題鞏固所學新知，整個過程比較流暢.

一節(jié)好課與教師周密的教學設計是分不開的.教師還要努力提升自己的教學理論，通過反復的思考總結調(diào)整，使自己所上的課能更加符合教學規(guī)律，能更加注意任務的呈現(xiàn)方式，關注學生的參與程度，更能從學生個體認知水平出發(fā)，使每一個學生都能有所收獲，都能感受到學習的快樂.本節(jié)課通過三次修改，分別關注了知識的生成與發(fā)展，使之更加自然流暢，又針對學生能真正主動參與而修改設計，調(diào)整了任務給出的形式，也關注了學生個體的認知水平，讓他們自由探究展示成果，注重了學生個體的發(fā)展．最終整個課堂更加靈動、本真.

1.黃榮金，李業(yè)平.數(shù)學課堂教學研究［M］.上海：上海教育出版社，2010.A