加強變式訓練 培養思維能力

陳麗妍

【內容摘要】在新課改背景下，培養學生豐富的思維能力已成為高中數學教學的核心問題。本文在闡述變式訓練內涵的基礎上，結合高中數學教學案例，從類比變式，明確數學歸納的基本思想;階梯變式，幫助學生有效建構數學概念;拓展變式，形成數學知識結構間的聯系;情境變式，強化學生數學思維的訓練四個方面探討了加強變式訓練，培養學生思維能力的問題。

【關鍵詞】高中數學 ?變式訓練 ?思維能力

《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱“新課標”）把“強調本質，注意適度形式化”作為課程的基本理念之一。并進一步指明：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法。”據此，筆者在高中數學教學中，就貫徹落實這一理念進行了持續的探索與實踐，通過各種變式訓練典型例題的設計，引導學生體驗數學轉化思想運用的過程與方法。

一、變式訓練的內涵

所謂變式訓練，就是在教學過程中對概念、性質、定理、公式和問題進行不同角度、層次、形式、背景的變式，即有目的地對命題的題設和結論進行合理的轉化，在解決問題的過程中達到建構知識，提高技能，感悟思想、內化情感的目標。

變式訓練的關鍵是引導學生抓住問題的本質特征。重視習題的變式訓練，不僅可以突出“雙基”，幫助學生更好地理解問題的內涵和外延，而且還可以提高學生的數學能力。

變式訓練的實質是培養學生的數學思維能力和創新精神。抓住問題的本質特征，遵循學生認知心理發展規律，根據實際需要，進行恰當的問題情境變換或思維角度的改變，可以培養學生的思維能力和創新精神。通過多問、多思、多用，可以激發學生思維的積極性和深刻性，通過知識的遷移和多種解題途徑的探索，培養學生數學思維的敏感性、應變性和層次的豐富性。

二、加強變式訓練，培養思維能力的案例分析與反思

1.類比變式，明確數學歸納的基本思想

【案例1】橢圓標準方程的求法

已知兩個焦點的坐標分別為（-4，0），（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10，則橢圓的標準方程為______。

變式1：已知橢圓兩個焦點的坐標分別是（-2，0），（2，0），且經過點 ? ? ? ? ? ，則橢圓的標準方程為___。

變式 2：已知橢圓對稱軸為坐標軸，焦距為8，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10，則橢圓的標準方程為______。

變式 3：與橢圓x2+4y2=16有相同焦點，且過點 ? ? ? ? ? ? 的橢圓標準方程為______。

變式 4：過點（2，1）和（-3，2）的橢圓標準方程為______。

【分析】變式1訓練學生在沒有直接得出a，b，c基本量時，如何求解橢圓標準方程。變式2訓練學生在焦點不確定時，怎么先確定焦點，再求橢圓標準方程。變式3鞏固求橢圓標準方程的基本思維方法：先確定焦點，再根據題設選取合理方法。變式4訓練學生的思維靈活性，歸納求解橢圓標準方程的基本方法，即先確定焦點，再通過求基本量或待定系數法，求解方程。

【反思】通過以上變式訓練，引導學生循序漸進地掌握求解橢圓標準方程的基本方法。這一思維能力的培養也為以后雙曲線，拋物線標準方程的求解打下基礎。可見，數學變式教學有助于培養學生的數學思想方法，養成深入反思的習慣，從而抓住數學問題的本質和規律，積累探索相關數學問題的經驗。

2.階梯變式，幫助學生有效建構數學概念

【案例2】復習分段函數概念及性質

已知函數

求f（1），f（-3），f（a +1）的值。

變式1：設

則 ? ? ? ? ? ?=______。

變式2：已知

是（-∞，+∞）上的減函數，那么a的取值范圍_______。

變式3：設函數

則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍_______。

【分析】案例2及變式1讓學生體會函數定義域在各個有限區間上其表示對應法則的數學表達式不完全一樣。變式2讓學生體驗分段函數單調性的特點及分界點對應值的大小關系。變式3體現分段函數要分段求解這一重要思想。

【反思】高中數學內容中，學生對一些形式化的數學知識理解普遍感到困難，對某些規律的形式化歸納往往無從下手，所以，適當從學生的實際出發，通過典型例題，由淺入深地增強學生對分段函數概念的內化理解，從而提高分段函數內容的學習效率。

3.拓展變式，形成數學知識結構間的聯系

【案例3】拓展數學比較思維方法

已知不等式ax2+3x+a>0對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍。

變式1：已知不等式x2+ax+2>0對一切x∈[0， ?]恒成立，求實數a的取值范圍。

變式2：已知不等式x2+ax+a>0對一切a∈（0，2）恒成立，求實數x的取值范圍。

變式3：已知不等式x2+ax+a>0在x∈（1，2）時有解，求實數a的取值。

【分析】案例3及其變式形式與解法相似，但其間還是有區分的。案例3 要考慮二次項系數和判別式;變式1可從二次函數的對稱軸入手加以討論或采用變量分離法把字母a移到一邊;變式2是自變量的轉變，可看成關于a的函數求解;變式3是以存在性為題，考慮函數端點。

【反思】很多數學題形式相似，求解方法也相似，但一定加以辨析，杜絕混為一談。通過對同類問題的拓展，在講清原有命題的同時，通過對變式的分析，辨別數學比較思想方法的不同，以點帶面，形成合理的知識遷移。

4.情境變式，強化學生數學思維的訓練

【案例4】改變問題情境進行變式訓練

向如圖所示的正方形內隨機的投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率。

變式1：兩人相約在8點到9點會面，先到者等候另一人20min，過時就可離去，則兩人能見面的機會有多大？

變式2：在區間（0，L）內任取兩點，求兩點間的距離小于 ? ?的概率。

【分析】案例4及其變式對于幾何概型中的“事件A發生的概率等于測度比”作了一個很好的詮釋。變式的情境雖然不同，但其本質是完全相同的，這能啟發學生重點掌握運用幾何概型解決實際問題的方法。

【反思】通過變換問題情境，引導學生進行多維變式的探究性學習，從變換的情境中發現其不變的本質，進而探索出解決此類問題的規律，這不僅能增強學生的創新意識和應變能力，而且能優化學生的思維品質，培養發現問題和解決問題的能力。

總之，在以知識、技能、能力、情感為導向的高中數學課堂教學中，變式教學是實現課堂有效教學，培養學生思維能力的重要方法，是優化學生認知結構，提高學生解題能力的關鍵所在。變式教學的核心在于確定合適的可變度和設計合理的變式情境，這就要求一線教師結合教學多研究、多實踐、多交流，共享新課程改革的成果。

【參考文獻】

[1] 教育部. 普通高中數學課程標準（實驗）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

（作者單位：江蘇省昆山市費俊龍中學）