探求“魚漁欲”三位一體的數學教學

黃紅梅　唐劍嵐

摘 要 “魚漁欲”三位一體優化數學教學意指教學在“授人以魚”的同時“授人以漁”和“授人以欲”。“授人以欲”即激發學習欲望，促進學生愿學和樂學。以“變化率問題”為案例，探討“魚漁欲”三位一體優化數學教學的策略。

關鍵詞 魚漁欲 優化 數學教學 變化率問題

古人云：“授人以魚，不如授之以漁”。陶行知先生也曾指出：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學”。但目前現實中很多數學課堂普遍存在“授人以魚”，少見“授之以漁”和“授之以欲”。“魚漁欲”三位一體優化數學教學的理念與策略，是改善這種狀況的一個可行途徑?！棒~漁欲”三位一體的數學教學指數學教學不僅要授人以“魚”，更要“授人以漁”和“授人以欲”。其中“魚”指基礎知識與基本技能，“漁”指有效的學習方法和良好的學習習慣，“欲”指積極的情感、良好的態度、求知的興趣和欲望。如何踐行“魚漁欲”三位一體的數學教學，促使學生學會、會學與樂學？下面以某中學周老師的“變化率問題”教學片斷為案例來說明。

一、教學片斷及評析

1.建立模型

周老師首先呈現問題情境——某地某年3月份的氣溫記載（如下圖），接著要求學生與同桌討論以下兩個問題：

問題1：根據圖像，如何用自己的語言描述兩個時間段內的氣溫變化趨勢的異同？

問題2：如何用符號語言刻畫這種變化趨勢？

然后，在綜合學生結果的基礎上，引導學生從生活經驗的“陡坡”以及學習經驗的“斜率”兩方面，對氣溫變化快慢進行理解。引導學生從以下變式問題中抽象出模型。

問題3：若把氣溫C看作時間t的函數，即C=f（t），則t1至t2這段時間內氣溫的變化率如何表示？

問題4：若函數關系為y=f（x），那么當x從x1增加x2到時，其變化率又如何表示？

最后，周老師要求學生先獨立思考后小組交流討論，小組代表展示與分享成果。學生通過類比、計算、分析與歸納，最終得出了平均變化率概念。

評析：多次觀摩“變化率問題”課堂，發現很多教師引入情境后，往往直接告訴學生變化快慢問題即是變化率問題，接著介紹變化率的求法，這種“掐頭去尾燒中段”的處理，會讓學生覺得變化率是枯燥乏味的“魚”，難以收獲捕獲“變化率”這類“魚”的方法，激發“捕魚”的欲望。

周老師在這里有了新的嘗試。一般而言，新知的教學起點源于舊知的邏輯生長點和學生原有的經驗生長點。周老師將變化率（舊知生長點）和學生對身邊氣溫變化趨勢的體驗（經驗生長點）融入問題情境中，引出變化率，讓學生直觀感知這條“新魚”源于身邊的“老魚”，自然地導出了新知識學習的必要性。一方面，激活了學生原有的生活經驗與認知經驗，為新知識學習奠基；另一方面，讓學生感受數學與生活實際的聯系，一定程度上能增強學生學習數學知識的信念。

在建立變化率模型時，周老師主要通過循序漸進的問題鏈引導學生思考。一方面，驅動學生經歷觀察、計算、比較、類比、歸納等數學學習的基本活動，體會變化率的來龍去脈，體驗學習與研究變化率的抽象和模型思想，養成學生先獨立思考后小組交流討論的良好習慣。另一方面，問題鏈的循序漸進，易于回答，讓學生收獲成就，生成求知欲望。

2.解釋模型

首先，周老師通過以下幾個問題引導學生分析認識平均變化率：

問題5：平均變化率概念有什么結構特征？

問題6：請用自己的話描述變化率，并舉出生活中變化率的例子。

問題7：畫出圖像并思考變化率的幾何意義。

評析：解釋模型是學習新內容的重要環節，主要意圖是理解新的數學知識與技能[1]。在此階段，大部分教師只是輕描淡寫，一帶而過，學生往往只是被動的聆聽與記憶，或從具體事例中抽象出變化率后，就直接進入應用階段，這種缺乏學生積極參與和以訓練代替理解的教學，容易導致學生理解膚淺，難以內化模型，更難以培養學生良好的數學學習方法與習慣，激發學生數學學習興趣。

周老師在此環節卻用心良苦，以精心設置的問題鏈引導學生多角度認識變化率模型。一方面，通過引導學生觀察、分析平均變化率的結構特征，探索平均變化率的外延、變式，使學生深刻理解模型的本質屬性，養成學生細心嚴謹的學習習慣；另一方面，突出數學多元表征教學，即引導學生把概念轉化與轉譯成自然語言、符號語言、圖形語言三種表征，這能促使學生深度理解與掌握模型[2]?？傮w來看，整個解釋模型過程不但凸顯了變化率模型的形成與分析，加深了模型的理解，讓“魚”有滋有味；并且滲透了“捕魚”的方法，譬如歸納、抽象、數形結合、多元表征的轉換與轉譯等等。整個過程以問題引領，激發了學生理解模型的欲望，并在自主建構中，感受到了學習樂趣。

3.應用模型

在應用模型階段，周老師首先呈現例題：某位跳水運動員相對于水面的高度與起跳后的時間存在函數關系：h（t）=-4.9t2+6.5t+10，請完成以下任務：

任務（1） 物理學中的平均速度跟我們今天學習的平均變化率有什么聯系？

任務（2） 計算該運動員在以下時間段里的平均速度：①[1，2] ②[t1，t2] ③[2，2+△t]

接著，先要求學生利用模型自主求解，并從中總結出求解的步驟，然后組織各小組進行成果展示，并按學生自評、組間互評、師評的順序對成果進行評價。

評析：對于新知的應用，一部分教師傾向于題海戰術，往往為解題而解題，缺乏變通，且忽視學生的自我總結和評價反思。周老師的處理卻讓人眼前一亮。首先，將跳水訓練與新知聯系起來，使學生理解平均速度是平均變化率在物理學中的一個應用，體驗到數學廣泛的工具性，有利于培養學生的數學應用意識和數學情感。其次，任務（2）中的變式由易到難，由具體到抽象，符合學生的認知規律，這樣的變式可達到讓學生舉一反三、觸類旁通的目的，有利于學生從中總結解題步驟或規律，形成解題技能，達到了“捕魚”效果。再次，周老師采用了自評、生評、師評等多元評價方式，既讓學生在自評中反思自己的解題過程，也讓其他學生有機會直面同學與教師的解題方法，并從中批判取舍，進一步挖掘或拓展問題。這種多元評價一方面可以促使學生靈活掌握知識，另一方面又可以促進學生觀察、批判、反思與總結，鍛煉批判與反思能力，激發學生學習情感，提高學生學習積極性。

4.小結反思

在小結階段，周老師主要引導學生從知識、方法、困惑三方面談談體會，先學生反思總結，后老師系統整理。

評析：在課堂小結環節，多數教師往往只粗略對知識方面進行總結，有的甚至干脆把這個環節省略掉。其實，如果說導入要做“鳳頭”，結束則要做“豹尾”，課堂小結對知識與技能的強化與系統、學習方法的歸納與總結，具有不可替代的作用。

周老師對課堂小結“大做文章”，要求學生從知識、方法、困惑三方面進行自主反思總結。新知識的總結，可以促使學生進一步把新知納入已有認知結構，從而建構良好的知識結構網絡。數學思想方法的反思，一方面，能促使學生強化新知識與思想方法的關系，從而使新知識“有骨有肉”，達到深刻理解、靈活運用；另一方面，有利于加深學生對數學思想方法的認識與體驗，實現遷移效應，達到掌握“捕魚”的方法。學習困惑的反思，有利于學生認識自己的學習狀態和效果，為進一步改善和提高做好準備?？傮w來看，整個課堂小結是在學生自主反思回顧基礎上展開的，有助于提高學生的元認知水平。如果這樣的小結成為常態，將能促使學生養成反思的習慣，從而達到高層次的“魚漁欲”三位一體教學效果。

二、策略思考

“魚漁欲”三位一體教學理念，要求教師在傳授知識與技能的同時，滲透數學思想方法、培養良好數學學習習慣、激發數學學習情感，最終達到學會、會學、樂學的目的。為了更好地進行“魚漁欲”三位一體教學，以下三點值得我們思考。

“魚”的美味：課堂中給學生吃的“魚”，應是優質的“魚”，它應源于課本、高于課本、回歸課標。整個課堂應堅持以教材為主源、重點為主題，圍繞基本知識和技能展開，凸顯“魚”的重要地位。譬如，案例中的周老師通過問題鏈導思，建模、釋模和用模等活動單導航，讓學生體驗知識的形成、發生與發展過程；通過數學多元表征教學加深學生對概念的理解；通過層次遞進的習題和變式訓練促進學生對知識和技能的鞏固掌握，達到“學會”目標。

“漁”的滲透：教學中，數學思想方法為“主線”，學法為“主軸”，整個課堂注重數學思想方法的滲透以及良好學習習慣的培養。譬如，周老師通過情境導入，引導學生發現問題、分析問題、解決問題，體驗知識的形成過程，掌握研究問題的基本方法；通過問題設置，引導學生獨立思考、交流合作、批判分析、大膽猜想、小心論證、反思總結、一題多變、一題多用，以此培養學生良好的數學學習方法與習慣，改善學生的學習方式信念，達到“會學”目標。

“欲”的激發：首先，積極的學習情感是有效學習數學的主要“動力”，也是影響學生數學認知信念的重要因素。教學中可通過背景人物介紹、故事導入、情境創設、問題驅動等，激發學生探索科學、勇攀高峰的精神。其次，教學應遵循以人為本、尊重與賞識、公平與公正等原則，將情感與態度目標有機滲透到教學中，以此構建輕松民主的課堂，營造和諧的教與學氛圍。再次，采用分組討論、啟發引導等方式，引導學生自主發現問題、分析問題、解決問題，從中發現學習樂趣、體驗成功喜悅，從而塑造學生穩定的數學學習能力。譬如周老師的問題鏈導思、活動單導航、層進變式、多元評價促學等方法，讓學生體驗成就感和樂趣，激發學生求知欲望，促進學生“樂學”。

參考文獻

[1] 周瑩，唐劍嵐.將探究融入教學活動中——一節數學課的探究過程及評析[J].中學數學教學參考，2007（4）.

[2] 唐劍嵐.數學多元表征學習及教學[M].南京：南京師范大學出版社，2009.

【責任編輯 郭振玲】