基于人工智能計算的Volterra積分方程的解法綜述

摘 要：本文總結了基于人工智能計算的Volterra積分方程的解法，分別利用了LS-SVR良好的回歸性能以及RBFNN的全局逼近能力，得到了兩種相應的解法。仿真實驗結果表明，這兩種方法均達到了很高的精度，絕對誤差未超過 數量級，并且比Jafar提出的方法效果更好。在要求高精度的情況下，為解決第二類線性Volterra積分方程提供了有力的工具。

關鍵詞：Volterra積分方程；人工智能；LS-SVR；RBFNN

一、引言

積分方程是近現代數學的一個重要分支，它在數學物理，天文，力學，工程以及生物醫學等領域都有著廣泛的應用。許多數學物理方程可以用積分方程來描述，而許多偏微分方程的定解問題也可轉化為積分方程問題來處理。特別地，對于許多實際的微分方程模型，亦可通過將其轉化為Volterra積分方程來解決。本文主要研究求解具有如下形式的第二類線性積分方程。

（1）

在方程（1）中，參數，函數和均是給定的，而是將被確定的未知函數。如果積分上限滿足b=x，那么稱方程（1）為Volterra積分方程；如果 是一個常數，那么稱它為Fredholm積分方程。本文僅考慮第二類線性Volterra積分方程。

很多數值解法都能夠求解第二類線性Volterra積分方程，如：機械求積法，投影法，最小二乘法，Runge-Kutta法，線性多步法等。以下我們將總結求解Volterra積分方程的人工智能的方法—由X.C.Guo，C.G.Wu等人提出的基于LS-SVR的Volterra積分方程的解法以及由郭新辰，吳希等人提出的基于RBFNN和PSO的混合方法。

二、基本理論

1.最小二乘支持向量回歸（LS-SVR）

假設給定一組樣本數據集（本文中取n=1），其中xi是輸入向量，yi是對應的輸出。LS-SVM模型具有如下的形式：

（2）

其中，非線性映射函數將輸入向量映射到高維特征空間。對于函數估計，LS-SVM定義如下的優化問題：

（3）

滿足等式約束條件：

（4）

對應方程（3）的拉格朗日函數定義如下：

（5）

其中， 是拉格朗日乘子。參考Suykens和Lukas的結論，優化問題（5）的解法可以通過解決如下的線性方程獲得：

（6）

其中，，而滿足Mercer條件，形式為：。

至于核函數的選取，有很多種方法。一些普通的核函數如表1所示，其中d和均為常數。本文選取的是徑向量核函數（RBF）。

解決方程（5）后，便可得到LS-SVM函數回歸模型如下：

（7）

顯然，方程（6）中的是僅與輸入向量，參數和核函數有關的量。

表1 經典的核函數

名稱核函數表達式

線性核函數

多項式核函數

徑向量核函數

2.徑向基神經網絡（RBFNN）

徑向基神經網絡（RBFNN）是一種新穎有效的3層前饋式神經網絡，共分為3層：第一層為輸入層，由信號源的節點構成；第二層為隱含層，隱含層的單元數須視具體問題而定。其中，隱單元的變換函數是非負非線性函數，分布具有局部性，對中心點徑向對稱且逐步衰減；第三層為輸出層，神經網絡的輸出是對隱單元的輸出進行線性加權得出。

RBF神經網絡從輸入空間到隱含層空間的變換是非線性的，而從隱含層空間到輸出層空間的變換則是線性的。由徑向基函數（RBF）作為隱單元的“基”，構成隱含層空間，通過對輸入矢量的一次變換，將低維的模式輸入數據變換到高維空間內，對隱單元的輸出進行加權求和即可得到輸出，便是RBF神經網絡的基本思想。

RBF神經網絡具有全局最佳逼近能力，計算量少且推廣性能好，已廣泛應用于非線性函數逼近、時間序列預測分析、模式識別等各個領域。同時，與BP神經網絡相比，RBF神經網絡具有更強的函數逼近和分類能力，訓練步數更少，以使訓練速度更快。

常用的徑向基函數可采用高斯（Gaussian）函數與MQ函數，分別為：

（8）

（9）

其中，，為基函數的中心，且為RBF的寬度，用來控制函數的徑向作用范圍。本文采用高斯（Gaussian）函數作為徑向基函數。

三、結論

本文總結了兩種人工智能的方法，解決了第二類線性Volterra積分方程的求解問題。與解析解比較的結果表明這兩種方法均達到了很高的精度，絕對誤差未超過10-6數量級，并且比Jafar提出的方法效果更好。在要求高精度的情況下，為解決第二類線性Volterra積分方程提供了有力的工具。同時，在概述的第一種方法中，還可以利用極限學習機（ELM）良好的回歸性能，作進一步的模型推廣，但這也會加大模型的計算復雜度。