論高中數(shù)學(xué)中空間向量與立體幾何

摘 要：空間向量是指在空間中，既有大小又有方向的量。根據(jù)空間向量基本定理，空間中任何一個(gè)向量均可以由不共面的三個(gè)向量線性表出。因此對于立體幾何里面的線線，面面等之間的關(guān)系問題，只要已知三個(gè)向量的模及他們之間的夾角，其他向量均可由它們線性表出，再進(jìn)行向量運(yùn)算來解決。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；運(yùn)算；問題

在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較繁雜，而運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則能使過程得到大大的簡化.用向量法解決幾何問題有著思路清晰、過程簡潔的優(yōu)點(diǎn)，往往會(huì)產(chǎn)生意想不到的神奇效果.著名教育家布魯納說過：“學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣，簡單的重復(fù)將會(huì)引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退.”這充分揭示了方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)向量過程中產(chǎn)生的障礙并且提供相應(yīng)的教學(xué)對策，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

一、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

例 如圖所示，四面體ABCD中， E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2， AB=AD=

（1）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

分析：假設(shè)過點(diǎn)E的向量為平面ACD的法向量，欲求E點(diǎn)到平面ACD的距離只需求

在投影即可.我們知道垂直于平面ACD，因而它垂直平面ACD所有直線，不妨以為一組基，則，因?yàn)锳B=AD=DB-2， CA=CB=CD=BD=2，所以，

根據(jù)法向量定義得

化簡得到如下方程

在上述解題過程中我們沒有建立直角坐標(biāo)系，而是任取空間三個(gè)不共面向量作基底，很顯然在立體幾何所給的已知條件中這點(diǎn)很容易具備的，因而這個(gè)方法具有很普遍的適應(yīng)性.還是這題條件，我們來嘗試另外一個(gè)重要問題。

例題2

1. 求點(diǎn)線距離、求線面夾角

問題1：求直線AM與平面AB1P所成的角. 解： 建系同上。由問題2可知AM=（-2，3，4）， 平面AB1P的一個(gè)法向量n=（1，1，1）

又直線AM與平面AB1P所成的角為線AM與平面AB1P的法向量n夾角的余角，故直線AM與平面AB1P所成的角為arcsin。

小結(jié)：本例屬于線面成角問題，向量法求解的方法是：設(shè)n為平面α的一個(gè)法向量，AB是直線L的方向向量，則直線L與平面α所成的角為arcsin|

2.求面面所成的角（二面角）

問題2：求平面B1PQ與平面D1DCC1所成的銳二面角的大小. 解：∵面D1DCC1垂直與坐標(biāo)平面yoz，故設(shè)面D1DCC1的一個(gè)法向量為1n=（0，1，0），又設(shè)面B1PQ的一個(gè)法向量為2n=（x，y，z）

∵PB1=（0，4，-4）， PQ=（4，2，2）

二、空間向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)注意事項(xiàng)

1.注重?cái)?shù)學(xué)思想。由于空間向量是平面向量的推廣，空間向量及其運(yùn)算所涉及的內(nèi)容與平面向量及其運(yùn)算類似，因此，宜多引導(dǎo)學(xué)生與平面向量及其運(yùn)算類比，與實(shí)數(shù)及其運(yùn)算類比，從“數(shù)、量與運(yùn)算”發(fā)展的角度理解向量。讓學(xué)生經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過程，使學(xué)生體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法：類比與歸納。體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過程中的問題，并如何解決問題

2.注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義。本章教學(xué)中，除了要關(guān)注前面多次提及的知識(shí)縱向聯(lián)系之外，還要特別關(guān)注知識(shí)的橫向聯(lián)系，從不同角度研究同一問題，認(rèn)識(shí)與運(yùn)用向量及其運(yùn)算中數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。教學(xué)中應(yīng)結(jié)合幾何圖形予以探討，特別要重視平行六面體的模型作用，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形理解它們，注意避免不聯(lián)系幾何意義的死記硬背。

3.根據(jù)特點(diǎn)選擇方法。重視綜合方法、向量方法、坐標(biāo)方法各自特點(diǎn)的分析與歸納，綜合方法以邏輯推理作為工具解決問題；向量方法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題；坐標(biāo)方法利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題，坐標(biāo)方法常與向量運(yùn)算結(jié)合起來使用，根據(jù)它們的具體條件和特點(diǎn)選擇合適的方法。

三、結(jié)語

空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。進(jìn)一步體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。向量是一個(gè)重要的代數(shù)研究對象，引入向量運(yùn)算，使數(shù)學(xué)的運(yùn)算對象發(fā)生了一個(gè)重大跳躍：從數(shù)、字母與代數(shù)式到向量，運(yùn)算也從一元到多元。向量又是一個(gè)幾何對象，本身既有方向，又有長度；是溝通代數(shù)與幾何的一個(gè)橋梁，是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)與物理模型，這些也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量和研究向量奠定了一定的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]章水云 新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)“有效教學(xué)”的策略探究《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》 2006、8.