根式及其教學(xué)研究（基礎(chǔ)篇）

【摘要】 開方是數(shù)學(xué)的一種基本運(yùn)算. 本文闡明了二次方根、三次方根以及算術(shù)根的本質(zhì)，指出了根式運(yùn)算或化簡的要點(diǎn)，并介紹了復(fù)合二次根式化簡的方法.

【關(guān)鍵詞】 方根；算術(shù)根；開方；根式；復(fù)合二次根式

為了解決某些實(shí)際問題，比如已知直角三角形的兩條邊，求第三條邊，就要用到二次根式. 為引入一元二次方程的求根公式作準(zhǔn)備，同樣需要學(xué)習(xí)二次根式. 它也是今后學(xué)習(xí)無理方程和函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ).

本文都是在實(shí)數(shù)集上討論的.

一、正確理解方根和算術(shù)根的概念

1.方根和算術(shù)根的定義及其性質(zhì)

定義1 若x2 = a（a ≥ 0），則稱x為a的平方根，或稱為二次方根.

注意 定義1中的a ≥ 0不是外加的限制條件，而是式子本身固有的約束條件. 因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有x2 ≥ 0，所以a不可能為負(fù)數(shù).

平方根的三條性質(zhì)：

（1）若a > 0，則a的平方根有兩個(gè)，即 與- ；

（2）若a = 0，則a的平方根為0，即 = 0；

（3）若a < 0，則a沒有平方根，或者說 沒有意義.

定義2 非負(fù)數(shù)a的非負(fù)平方根，稱為a的算術(shù)平方根，或稱為二次算術(shù)根.

定義2’ 當(dāng)a > 0時(shí)，a的算術(shù)平方根為 ；

當(dāng)a = 0時(shí)，a的算術(shù)平方根為 = 0.

注意 定義2和定義2’是等價(jià)的. 由上可知，算術(shù)平方根的概念是建立在平方根的概念基礎(chǔ)上的. 當(dāng)a ≥ 0時(shí)，a的算術(shù)平方根存在而且唯一，即為 ；當(dāng)a < 0時(shí)，a沒有平方根，當(dāng)然也就沒有算術(shù)平方根.

定義3 若x3 = a，則稱x為a的立方根，或稱為三次方根，記為 .

立方根的三條性質(zhì)：

（1）若a > 0，則 是一個(gè)正數(shù)；

（2）若a = 0，則 = 0；

（3）若a < 0，則 是一個(gè)負(fù)數(shù).

由上可知，任一數(shù)和它的立方根是相互唯一決定的.

定義4 當(dāng)a ≥ 0時(shí)，a的立方根稱為a的算術(shù)立方根，或稱為三次算術(shù)根.

2. 方根與算術(shù)根的聯(lián)系與區(qū)別

方根與算術(shù)根的關(guān)系，可用如下示意圖來表示：

a的平方根a > 0時(shí)， - a = 0時(shí)， = 0a < 0時(shí)， = 0 a的算術(shù)平方根 （a ≥ 0）

a的立方根a > 0時(shí)， a = 0時(shí)， = 0a < 0時(shí)， a的算術(shù)平方根 （a ≥ 0）

由上可知，算術(shù)根是方根，方根未必是算術(shù)根.

3. 算術(shù)根的本質(zhì)及其作用

（1）算術(shù)根的概念確定了算術(shù)根的唯一性（單值性），任一非負(fù)數(shù)和它的算術(shù)根是相互唯一決定的.

（2）任一方根都可用算術(shù)根的形式來表示.

例如，正數(shù)a的另一平方根表示為它的算術(shù)平方根的相反數(shù)- .又如-a（a > 0），的立方根 = - ，即表示成a的三次算術(shù)根的相反數(shù).

（3）算術(shù)根有許多簡便易行的運(yùn)算性質(zhì)，稍加處理，就可運(yùn)用到一般的根式運(yùn)算和化簡中去.

（4）避免在根式運(yùn)算或化簡中容易發(fā)生的錯(cuò)誤.

（5）求解某些實(shí)際問題，由于其結(jié)果為方根且是非負(fù)數(shù)，用算術(shù)根來表述會(huì)更直接、簡便，也更明確.

4. 方根學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤

（1）說 = ±3，這是錯(cuò)誤的！因?yàn)?只表示9的算術(shù)平方根，所以 = 3.

（2）說25的平方根是5，這是不全面的！因?yàn)?5的平方根是± = ±5，而5只是25的算術(shù)平方根.

（3）說（ ）2 = -3，這是不對(duì)的！因?yàn)?無意義，所以（ ）2也就沒有意義.

（4）說 = -3，這也是錯(cuò)誤的！應(yīng)該是（ ）= = 3.

（5）說一個(gè)數(shù)，若其方根只有一個(gè)，就是算術(shù)根，這是不對(duì)的！例如， = -3，但這顯然不是算術(shù)根.

（6）說 = - ，錯(cuò)了！

正確做法是 = = - .

5. 求方根的常用方法

（1）依據(jù)開方與乘方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，利用乘方運(yùn)算求一些數(shù)的方根，但不要停留在這種方法上.

（2）依據(jù)方根、算術(shù)根的定義及其根號(hào)表示形式進(jìn)行.

（3）從幾類具體例子的求解中歸納概括出一般形式，可作為公式（根式的運(yùn)算性質(zhì)）使用. 例如：

（ ）2 = a（a ≥ 0） = a（a ≥ 0） = -a（a < 0） （ ）3 = a = a = - = -

6. 關(guān)于方根概念的推廣

以上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)⑹龊蛯W(xué)習(xí)平方根、立方根以及算術(shù)根的定義、性質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系，便于以后平行地推廣到n次方根以及算術(shù)根情形. 從平方根推廣到偶次方根，從立方根推廣到奇次方根，相關(guān)算術(shù)根的概念也完全是平行的.

二、方根、開方、根式的聯(lián)系與區(qū)別

求一個(gè)數(shù)的方根的運(yùn)算，叫做開方. 方根是開方運(yùn)算的結(jié)果. 從記號(hào)上看，有時(shí)候有雙重理解. 例如，當(dāng)a > 0時(shí)， 既表示對(duì)a進(jìn)行開平方運(yùn)算，且取正值，也表示a的算術(shù)平方根. 或者說， 不僅是開平方的運(yùn)算符號(hào)，而且是運(yùn)算結(jié)果取正根的性質(zhì)符號(hào).

含有開方運(yùn)算的代數(shù)式叫做根式. 或者說，帶有根號(hào)的式子叫做根式. 例如， （a ≥ 0）是二次根式， 是三次根式， 是復(fù)合二次根式. 一方面可以說，表示方根的代數(shù)式叫根式；另一方面也可以說，根式是比方根更為廣泛的概念.

三、根式的運(yùn)算和化簡要點(diǎn)

1. 正確應(yīng)用根式的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于公式有時(shí)需要逆向使用，要善于靈活應(yīng)用. 以有意義為前提，應(yīng)該是恒等變形.

2. 注意到是算術(shù)根的運(yùn)算，還是要分情況加以討論.

例如， = = |a| = a（a ≥ 0）-a（a < 0）

3. 根式化簡的目標(biāo)是最簡根式.

4. 根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是合并同類根式，而前提是將各個(gè)根式分別化成最簡根式.

5. 根式運(yùn)算或化簡的結(jié)果，式子里如果分母中含有根號(hào)，通常還要將分母有理化，即化去分母中的根號(hào)，關(guān)鍵是找其共軛根式.

6. 為解決某些問題，有時(shí)需要將分子有理化.

7. 整式和分式的運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則，包括公式（如乘法公式等），都可以借助于類比的思想方法，靈活運(yùn)用.

8. 利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系，使運(yùn)算簡便、快捷、有效.

四、復(fù)合二次根式的化簡

定義 若A > 0，B > 0，且A2 - B > 0，則稱形如 的根式為復(fù)合二次根式.

定理1 若a，b為兩個(gè)不等的非負(fù)有理數(shù)， ， 為無理數(shù)，則 ± 為無理數(shù).

證明 設(shè) - = c，假設(shè)c為有理數(shù)，則 + = = 也為有理數(shù)，于是有 = ， = 都是有理數(shù)，矛盾！所以 - 為無理數(shù). 同理可證 + 也為無理數(shù).

定理2 設(shè)a，b，c，d是非負(fù)有理數(shù)， ， 是無理數(shù)，若a ± = c ± ，則a = c，b = d.

證明 由a ± = c ± 得a - c = ± （ - ）.假設(shè) ≠ ，則 - 是無理數(shù)，這與a - c是有理數(shù)相矛盾！所以 = ，即b = d，從而有a = c.

現(xiàn)在來看 （a > 0，b > 0，且a2 - 4b > 0）的化簡方法，令 = ± （x > y > 0），兩邊平方得a ± 2 = x + y ± 2 ，根據(jù)定理2可得x + y = axy = b，解這個(gè)二元一次方程組，即可求出x與y的值.

如果a，b是比較簡單的正整數(shù)，可用觀察法直接寫出結(jié)果.

定理3 復(fù)合二次根式 （A > 0，B > 0，且A2 - B > 0）可化簡的充要條件是A2 - B為完全平方數(shù). （證略）

推論 復(fù)合二次根式 （a > 0，b > 0，且a2 - 4b > 0）可化簡的充要條件是a2 - 4b為完全平方數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

[1]李長明，周煥山.初等代數(shù)研究.北京：高等教育出版社，2001.

[2]江蘇省高師數(shù)學(xué)教育研究組.初等代數(shù)研究.江蘇教育出版社，1988.