向量在數學教學中的應用

【摘要】 向量知識是高中數學的重要內容之一，它有豐富的物理背景，同時具有代數和幾何兩種形式，是聯系代數和幾何知識的重要紐帶，能與中學數學教學內容中的許多主干知識綜合，形成知識交匯點.本文將通過分析近年熱點考題，從兩個方面來闡述它的運用：第一，通過它來解決平面幾何中的相關問題；第二，借用它的優良運算體系解決立體幾何問題.

【關鍵詞】 數形結合；基向量；建系

在學習向量的過程中，通過問題的探究解決，讓學生發現它的最大優點其實是思路清晰，過程簡潔，有助于提高學生的解題效率和有效性.同時高中數學向量知識以物理為背景，和實際聯系密切，有助于學生更好地體會數學和生活及其他學科之間的相互關系，進而理解數學的使用價值.

著名教育家布魯納說過：學習的最好刺激就是對所學的材料的興趣，簡單的重復將會引起學生大腦疲勞，學習興趣衰退.這充分揭示方法求變的重要性，若果我們重視向量教學，必然能引導學生拓展思路，減輕負擔.本文將從兩個方面來揭示向量在數學教學中的應用，培養學生學習向量的興趣及養成運用向量的方法解題的意識.

一、向量在平面幾何中的應用

例1 設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD = AB，BE = BC.若 = λ1 + λ2 （λ1，λ2為實數），則λ1 + λ2的值為多少？

解析 = - = - = （ - ）+ =- + ，又 = λ1 + λ2 ，且 與 不共線，所以λ1 = - ，λ2 = ，即λ1 + λ2 = .

點評 運用平面向量基本定理的關鍵是選擇恰當的基向量.

二、向量在立體幾何中的應用

例2 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形 .平面ABC⊥平面AA1C1C，AB = 3，BC = 5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，并求 的值.

解析 （1）證明：因為AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC.

因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC.

（2）由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由題知AB = 3，BC = 5，AC = 4，所以AB⊥AC.

如圖所示，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，則B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）.

設平面A1BC1的一個法向量為n = （x，y，z），則

n· = 0，n· = 0，即3y - 4z = 0，4x = 0.

令z = 3，則x = 0，y = 4，所以n = （0，4，3）.

同理可得，平面B1BC1的一個法向量為m= （3，4，0）.

所以cos〈n，m〉= = .

由題知二面角A1 - BC1 - B1為銳角，

所以二面角A1 - BC1 - B1的余弦值為 .

（3）設D（x，y，z）是直線BC1上一點，且 = λ .

所以（x，y - 3，z）=λ（4，-3，4），

解得x = 4λ，y = 3 - 3λ，z = 4λ.

所以 = （4λ，3 - 3λ，4λ）.

由 · = 0，即9 - 25λ = 0，解得λ = .

因為 ∈[0，1]，所以在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B.此時， = λ = .

點評 合理地建立空間直角坐標系，運用向量坐標法把空間幾何問題數學化，使問題明朗化. 若使用綜合法的話，靈活性強，多條輔助線的添加對于很多學生來說是個難點，不易掌握.

總之，向量是高中教學重要的內容，也是高考考查的重點之一，在平時的學習中，應該多滲透向量解決問題的意識，采用向量的“形—數”推理法，有很強的規律性，證明簡潔、明了，學生易運用，同時也有利于培養學生的嚴謹性和邏輯思維能力.

【參考文獻】

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