“二項式定理”的教學實錄與反思

本文是廣東省教育科學“十二五”規劃課題：“高中數學新課程課堂教學典型案例研究”（課題批準號2012YQJK192）成果項目之一.

1. 教學設計背景

1.1 從教學內容看

本節內容選自人教版選修2-3第一章《計數原理》第三節，是在學習了排列組合之后，通過對二項式定理的探究，讓學生對二項展開式有更深入的理解，對二項展開式的形式有更準確的把握.

1.2 從教法及學法方面看

通過講授法、討論法、發現法等形式教學，讓學生參與、探究知識的形成過程，感悟其中所蘊含的數學思想和哲學思想，體驗猜想與嚴密的邏輯證明之間的聯系，激發學生大膽猜想的發散思維，同時養成嚴謹認真的人生觀.

2. 教學設計理念

本課是基于建構主義學習理論以及生本理念，學生在教師的指導下能動地建構自己的數學認知結構，通過交互式講解、獨立學習、集體討論以及發現學習的方式來形成自己的認知結構. 這種教學形式既激發學生探索的興趣，又尊重學生學習的主體地位，不僅關注學生對知識的掌握，同時關注學生對思想方法的理解. 學生帶著問題學習，自主探索，獨立思考，又結合學生之間的合作交流，充分感受探索的過程，能夠達到更好的學習效果.

3. 課堂教學實錄

3.1 創設情境，引入新課

師：（多媒體展示）同學們認識這位科學家嗎？

生：牛頓.

師：牛頓被譽為世界上最偉大的科學家之一，他不僅是物理學家和天文學家，也是一位數學家. 在1664—1665年間，22歲的牛頓發現了二項式定理. 二項式定理是關于“（a + b）n的展開式的形式”的結論.

師：當n = 2時，同學們并不陌生，（a + b）2等于什么？

生：（a + b）2 = a2 + 2ab + b2.

師：（a + b）3呢？請大家計算一下（教師巡查）.

師：哪名同學說一說你的結果？

生：（a + b）3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

師：很好. 你能告訴大家你是用什么方法得到的呢？

生：把（a + b）3看成（a + b）2（a + b），再展開.

師：非常好. 那你能不能快速展開（a + b）10？

生：（愣了一會兒）不會.

師：為什么？

生：如果要得到（a + b）10的展開式就要知道（a + b）9的展開式，這樣依次往前推非常麻煩.

師：確實是這樣. 如何才能更快地展開（a + b）n呢？

生：看看展開式隨著n的增大有怎樣的規律.

師：規律怎么找呢？我們要從哪幾個方面去看呢？請同學們討論一下，再告訴我你們的想法.

師：哪名同學說一說？請舉手發言.

生：我覺得首先要確定展開后有多少項.

生：每一項的次數變化也有規律，還有每一項的系數也在變.

師：非常好！方向把握很準確. 既然是規律，就應該對所有n∈N*都有統一的形式，我們還是從簡單的式子著手，看看如何對（a + b）n形成統一的理解. 我們要關注的有以下幾點：

（1）展開后有多少項；

（2）每一項的形式；

（3）每一項的系數.

3.2 領悟概念，交流理解

先來看看（a + b）2，它可看成（a + b）（a + b），請大家想想它的展開式有多少項？

生：四項a2，ab，ba，b2，合并后為三項a2，2ab，b2.

師：可以怎么理解？

生：前面因式選擇a，后面因式也選a，就出現a2；前面因式選擇a，后面因式選擇b，就出現ab，依此類推就是四項了，合并同類項后就是三項了.

師：很好！大家能不能用排列組合的觀點解釋合并為三項時各項的系數呢？請大家分組討論.

生：兩個因式都選a，得到項a2，它的系數就是C■■ = 1；兩個因式一個選a，一個選b，得到項ab，它的系數是C■■·C■■ = 2；兩個因式都選b，得到項b2，它的系數也是C■■ = 1.

師：太棒了！掌聲鼓勵！解釋得很到位. 我們還可以做這樣的處理，展開式的結果中各項的系數可當作兩個因式中選擇b的因式個數得來的. 即項a2看作兩個因式選了0個b，所以其系數為C■■ = 1；項ab看作兩個因式選了一個b，所以其系數為C■■ = 2；同理，項b2的系數是C■■ = 1.

（多媒體展示）（a + b）2 = C■■a2 + C■■ab + C■■b2 = a2 + 2ab + b2.

師：請一名同學用同樣的方式解讀一下（a + b）3的展開過程.

生：三個因式中0個選b，得項C■■a3，三個因式中1個選b，得項C■■a2b，三個因式中2個選b，得項C■■a1b2，三個因式中3個選b，得項C■■b3. 所以結果是（a + b）3 = C■■a3 + C■■a2b + C■■ab2+C■■b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

師：（a + b）2展開式中的三項C■■a2，C■■ab，C■■b2可不可以看作統一的形式？

生：可以，第一項C■■a2 = C■■a2b0，最后一項C■■b2 = C■■a0b2，于是每一項都可看成C■■a2-kbk（k = 0，1，2）.

師：（a + b）3的展開式是否也是如此？

生：是的.

師：接下來請大家試著寫出（a + b）n的展開式.

生：（a + b）n = C■■an + C■■an-1b + C■■an-2b2 + … + C■■abn-1 + C■■bn. 師：為了突顯展開式的統一形式，二項式定理可歸納如下：

教師板書：（a + b）n = C■■anb0 + C■■an-1b + … + C■■an-kbk + … + C■■a0bn.

其中Tk+1 = C■■an-kbk稱為二項展開式的通項，C■■，C■■，…，C■■，…，C■■稱為二項展開式的二項式系數.

師：我們關注一下前面提到的三個要點，即二項展開式的項數、項的形式及其系數.

生：展開式有n + 1項，項的形式為anb0，an-1b，…，an-kbk，…，a0bn，其系數為C■■，C■■，…，C■■，…，C■■.

師：“C■■”表示的是什么意思呢？

生：表示二項式（a + b）n中有k個因式選擇b，剩下的n - k個因式則選擇a.

師：下面大家觀察展開式的形式，說說其主要特點有哪些？

生：第一，各項中a呈降冪排列，b呈升冪排列；第二，a與b的次數之和始終為n；第三，C■■的上標與b的次數相同.

師：這名同學觀察能力非常好，特點也總結得很到位，掌聲鼓勵！

師：同學們注意到（a + b）n中間是“+”號了嗎？如果把“+”號改為“-”號，即（a - b）n的展開式會是什么樣子呢？

生：我們可把（a - b）n看作[a + （-b）]n，所以（a - b）n = C■■an（-b）0 + C■■an-1（-b） + … + C■■an-k（-b）k + … + C■■a0（-b）n.

師：太棒了！看來大家對二項式定理的基本形式已經理解得非常透徹了. 接下來就看看大家能不能在實際問題中用好這個定理了.

3.3 拓展延伸，學以致用

例1 寫出（1 - 2x）6的展開式.

（學生上黑板板書）解：（1 - 2x）6 = C■■16（-2x）0 + C■■15（-2x）1 + C■■14（-2x）2 + C■■13（-2x）3 + C■■12（-2x）4 + C■■11（-2x）5 + C■■10（-2x）6.

變式一：寫出（1 - 2x）6展開式中含x3的項、第六項以及它的二項式系數和系數.

生：（1 - 2x）6展開式中含x3的項是C■■13（-2x）3.

生：第六項是C■■11（-2x）5，它的二項式系數是C■■，系數是C■■·（-2）5 = -216.

師：非常棒，你能清楚地區分二項式系數和系數，說明你對概念的理解很到位，再接再厲！

變式二：若我們把（1 - 2x）6寫成（-2x + 1）6，其展開式有什么特點呢？

生：結果是一樣的.

生：展開式的順序顛倒過來了.

師：對了. 雖然展開式的結果實質上是一樣的，但是形式上順序是反過來的. 當我們談到第幾項時，這兩種寫法就會有差別，例如（1 - 2x）6的展開式的第二項是C■■15（-2x）1 = -12x，可是（-2x + 1）6的展開式的第二項卻是C■■（-2x）511 = -216x5.

師：請大家看看下面這個問題怎么解決.

例2 化簡：（x - 1）4 + 4（x - 1）3 + 6（x - 1）2 + 4（x - 1）1 + 1.

生：可以把x - 1看成a，1就是b，系數的排列順序也剛好可看成C■■，C■■，C■■，C■■，C■■，所以結果就是[（x - 1） + 1]4 = x4.

師：這名同學能夠準確觀察展開式的特征，并還原到二項式，說明他對公式的逆用是非常熟練的.

變式三：若（1 - 2x）6 = a0 + a1x + a2x2 + … + a6x6，那么a0 + a1 + a2 + … + a6 = .

生：由展開式可知a0 = C■■16 = 1，a1 = C■■15 × （-2） = -12，a2 = C■■14 × （-2）2 = 60，a3 = C■■13 × （-2）3 = -160，a4 = C■■12 × （-2）4 = 240，a5 = C■■11 × （-2）5 = -192，a6 = C■■（-2）6 = 64，所以a0 + a1 + a2 + … + a6 = 1 - 12 + 60 - 160 + 240 - 192 + 64 = 1.

師：這名同學用了最基本的辦法，通過套用二項展開式的通項公式求出各項系數，再求和，基本功很扎實. 還有沒有其他做法呢？

生：不用這么麻煩. 只要令x = 1，就可以得到（1 - 2）6 = a0 + a1 + a2 + … + a6，即a0 + a1 + a2 + … + a6 = （-1）6 = 1.

師：這名同學能靈活應用二項式定理，根據所求式子與二項展開式的共同點構造出符合題意的定理形式，說明他已經完全把握到了二項式定理等式兩邊的特征. 學習一個公式，不光要會正用，還要會逆用，甚至變形用. 非常好！

3.4 回顧反思，歸納小結

師：請各小組總結這節課同學們都有哪些收獲.

生：我們組總結了，這節課主要就是學了二項式定理，知道了二項式如何展開.

生：我們組補充一點，就是大家要注意二項式系數與系數是不同的概念.

生：還要注意公式的逆向使用.

師：大家總結得都很好，我更佩服牛頓能夠敏銳地發現二項展開式的規律，并最終成就了微積分的產生，大家課下的作業：（1）查閱相關資料，找到關于牛頓二項式定理推廣的形式；（2）完成課本P36習題1.3A組第1題、第2題.

4. 教學反思

新課程標準指出，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式，同時注重學生情感、態度和價值觀的培養. 這就要求我們教師放下權威，變以前的“教師中心”為“學生中心”，充分體現學生的主體性和能動性，從學生的角度去設計問題，選擇例題，成為學生的合作者、促進者、指導者，創造良好的課堂氛圍和人文精神，培育學生學習數學的積極的情感與態度，形成正確、健康的價值觀與世界觀.

從這個角度看，本節課主要還存在以下兩點不足之處：

（1）這節課主要還是以“師問生答”為主要的教學形式，綁架了學生的思維，不利于學生自主探究能力的培養.

（2）學生已經建立了學習小組，但是課堂上沒有充分發揮學習小組的作用，特別是組間的討論缺乏.

鑒于這兩點不足，教師可采取一些措施來彌補.例如，在探究二項式定理的發現過程中，可以放手讓學生分組討論，先在組內形成結論，再把有價值的結論提出來作為組間討論的材料，然后教師根據學生們的反應作出評價. 既能充分發揮學生們的主動性，又能培養學生們的興趣和堅韌的探究精神. 又如，在習題演練的過程里，學生展示自己的成果后，讓其他學生進行點評和修正，這樣也能充分發揮學生們的主觀能動性，讓學生們通過比較更好地鞏固所學內容，構建自己的知識結構.

5. 教學評析

本課的設計理念是啟發式教學，過程的把握也很好，能讓學生從特殊到一般，循序漸進地形成自己的知識系統，遵循認知規律，很好地完成了教學任務. 在授課過程中，主要有以下亮點：

（1）充分發揮了學生的主體作用. 整節課都能看到學生認真思考，積極參與，生生交流、師生交流比較到位. 教師主要起到引導和評價的作用，讓學生能充分體會二項式定理的發現過程，肯定學生的思考成果，提供給學生交流的平臺.

（2）問題設置合理，梯度恰當. 在探究二項式定理的過程中，教師的提問恰到好處，讓整節課顯得清晰自然，學生的思維步步深入，最后形成結論；例題及變式也不生硬，都是借助同一模型，避免了學生做重復的工作，把注意力集中在理解、區分二項式定理中的概念及形式的分析.

（3）通過數學史來引入，增加了課程廣度. 給學生介紹數學史，激發學生的學習興趣，增加學生的見聞，讓學生領略數學史上先輩們堅忍不拔的探索精神，培養學生們形成正確的學習觀和價值觀.