初中學生數學易錯題錯正解法之比較

甘肅省教育科學“十二五”規劃2014年度“初中學生數學易錯題分析研究”課題（課題批準號：GS[2014]GHB0668）成果

初中學生數學易錯題是指初中學生在認知和解題過程中由于“對概念理解不透徹、忽視隱含條件、濫（誤）用運算律（運算順序）、憑直覺解題”等而出現的一些學生容易做錯的題.下面列舉出一些學生的易錯題，并給出正確解法與錯誤解法之比較：

例1 如果a2 - ka + 1是一個完全平方式，那么k的值是___.

錯解一 2.

錯解二 -2.

錯因分析 由于考慮問題不全面，錯解一只考慮了完全平方公式中的交叉項為正的情形，而錯解二只考慮了完全平方公式中的交叉項為負的情形.

事實上，當k = 2時，a2 - ka + 1 = a2 - 2a + 1是一個完全平方式；當k = -2時，a2 - ka + 1 = a2 + 2a + 1也是一個完全平方式.

正解 k = 2或k = -2.

例2 一元二次方程x（x - 1） = x的根是 （ ）.

A. x = 1 B. x = 2 C. x1 = 0，x2 = 2 D. x1 = 0，x2 = 1

錯解 方程兩邊同時除以x，得x - 1 = 1，所以x = 2.即選答案B.

錯因分析 由于給方程兩邊同時除以一個等于 0 的代數式而出現漏解的現象.

正解 將原方程化成x（x - 1） - x = 0，即將原方程化成x[（x - 1） - 1] = 0的形式，

∴ x（x - 2） = 0，∴ x = 0或x - 2 = 0.

∴ x1 = 0，x2 = 2. 所以本題選答案C.

例3 等腰△ABC中，∠A = 70°，求∠B，∠C的度數.

錯解 ∵ ∠A = 70°，∴ ∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°.

錯因分析 學生在這里誤認為∠A為等腰三角形的頂角，從而導致漏解，此題要用到分類討論的數學思想，即分∠A是頂角和底角兩種情況來討論.

正解 （1）當∠A是頂角時，有∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°.

（2）當∠A是等腰三角形的底角，而∠B是等腰三角形的頂角時，有∠B = 180° - 2∠A = 180° - 2 × 70° = 40°，∠C = 70°.

當∠A和∠B都是等腰三角形的底角時，有∠B = ∠A = 70°，∠C = 40°.

例4 已知一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB和OC，使∠AOB = 60°，∠BOC = 20°，求∠AOC的度數.

錯解一 ∠AOC = 40°.

錯解二 ∠AOC = 80°.

錯因分析 錯解一只考慮了射線OC在∠AOB內部的情況，而錯解二只考慮了射線OC在∠AOB外部的情況.

正解 ∠AOC = 40°或80°.

例5 計算 + （ ）2.

錯解 + （ ）2 = 3.14 - π + π = 3.14.

錯因分析 本題錯誤的原因是沒有正確理解 的意義， 表示a2的算術平方根，是一個非負數，所以當a ≥ 0時， = a；而當a < 0時， = -a.

正解 + （ ）2 = |3.14 - π| + π = π - 3.14 + π = 2π - 3.14.

例6 已知不等式組3 + 2x ≥ 1x - a < 0無解，則a的取值范圍是___.

錯解 a < -1.

錯因分析 在確定不等式組的解集時，沒有注意其中的字母是否可以等于邊界值.

正解 a ≤ -1.

例7 的平方根是 （ ）.

A. 3 B. C. ±3 D. ±

錯解 C.

錯因分析 由于粗心，將 按9對待了.

正解 （D）.

例8 “五一”黃金周期間，小明調查了某景點1日到7日每天的門票收入，其金額（單位：萬元）依次為1，1，2，1.3，1.2，1.1，1.1，0.9，據此估計五月份的門票的總收入為 （ ）.

A. 33萬元 B. 34.1萬元

C. 35萬元 D. 樣本缺乏代表性，以上均不正確

錯解 B.

錯因分析 本題錯誤的原因是誤用沒有代表性的樣本估計總體情況，也就是將樣本這7天的平均數1.1萬元看成總體的平均數，再把1.1 × 31 = 34.1萬元當成5月份的門票的總收入了，這要比實際總收入偏高，因此該樣本不具有代表性，無法以此估計總體情況.

正解 D.

評析 用樣本估計總體時，樣本容量越大，估計也就越精確.但是如果樣本容量過大，那么要花費較多的時間、人力、財力，因此，在一個具體的問題里，選擇樣本時要根據需要決定容量的大小，而且組成樣本的個體也不應該具有特殊性，即抽取的樣本應具有代表性.