例說初中學(xué)生數(shù)學(xué)易錯(cuò)題

甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度《初中學(xué)生數(shù)學(xué)易錯(cuò)題分析研究》課題（課題批準(zhǔn)號(hào)：GS[2014]GHB0668）成果.

初中學(xué)生數(shù)學(xué)易錯(cuò)題是指初中學(xué)生在認(rèn)知和解題過程中出現(xiàn)的一些容易做錯(cuò)的題目.數(shù)學(xué)來源于生活，反過來為生活服務(wù)，但是如果運(yùn)用不好就會(huì)帶來麻煩.數(shù)學(xué)中的運(yùn)算板塊對(duì)概念、性質(zhì)等的要求非常嚴(yán)密，要是運(yùn)用不當(dāng)或理解不透徹，則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，現(xiàn)舉例說明如下：

例1 判斷正誤.

（1）0.04是0.16的平方根（ ）；（2）-16的平方根是+4（ ）；（3）16的算術(shù)平方根是+4（ ）；（4）-2的立方是8（ ）.

解析 上面的幾個(gè)小題中，（1）考查的是小數(shù)平方后小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)情況.如果不能正確的掌握，則必定會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.（2）考查的知識(shí)點(diǎn)是負(fù)數(shù)沒有平方根. （3）、（4）考查對(duì)概念的運(yùn)用. 所以，以上4個(gè)小題都是錯(cuò)誤的.

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，MN∥y軸，MN = 4，M（-4，2）則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_________.

錯(cuò)解 因?yàn)镸N∥y軸，MN = 4，M（-4，2），所以N點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)加4，由此可得N（0，2）.

正解 因?yàn)镸N∥y軸，點(diǎn)M（-4，2）所以M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等.又因?yàn)镸N = 4，所以N點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)在M點(diǎn)縱坐標(biāo)上加減4. 所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，6）或（-4，-2）.

評(píng)析 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是“平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變”.

例3 求到x軸距離為3，到y(tǒng)軸的距離是5的點(diǎn)的坐標(biāo).

錯(cuò)解 到x軸距離是3，到y(tǒng)軸的距離是5的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，5）.

正解 到x軸距離是3，到y(tǒng)軸的距離是5的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是（5，3）、（-5，-3）、（-5，3）或（5，-3）.

評(píng)析 此題考查了點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與坐標(biāo)點(diǎn)恰好相反，也體現(xiàn)了答案的多樣性.

例4 求方程（2x + 3）2 = 4的解.

錯(cuò)解 ∵（2x + 3）2 = 4，∴ 2x + 3 = 2. ∴ x = - .

正解 ∵（2x + 3）2 = 4，∴2x + 3 = ±2. 即2x + 3 = 2或2x + 3 = -2.

當(dāng)2x + 3 = 2時(shí)，x = - . 當(dāng)2x + 3 = -2時(shí)，x = - .

∴原方程的解是x = - 或x = - .

評(píng)析 此題考查直接開平方時(shí)，應(yīng)注意等式右邊的式子與開方的定義，否則就會(huì)漏解.

例5 已知p、q都是實(shí)數(shù)，且q = + -4，求qp的平方根.

錯(cuò)解 由根式有意義的條件可知p - 2 ≥ 02 - p ≥ 0即p ≥ 2p ≤ 2.亦即p = 2. ∴q = -4.

∴ qp = -42 = 16. ∴ qp沒有平方根.

正解 由根式有意義的條件可知p - 2 ≥ 02 - p ≥ 0即p ≥ 2p ≤ 2.亦即p = 2. ∴ q = -4.

∴ qp = （-4）2 = 16. ∴ qp的平方根是4.

評(píng)析 此題考查了負(fù)數(shù)的平方和負(fù)的數(shù)的平方這一字之差的區(qū)別，也考查了學(xué)生的綜合知識(shí)的能力.

例6 已知|x + 2| = 3，|y - 3| = 5，求x - y的值.

錯(cuò)解 ∵ |x + 2| = 3，|y - 3| = 5，∴ x + 2 = 3，y - 3 = 5. ∴ x = 1，y = 8. ∴ x - y = -7.

正解 ∵ |x + 2| = 3，|y - 3| = 5，∴ x + 2 = ±3，y - 3 = ±3.

即x = ±3 - 2，y = ±5 + 3. ∴ x1 = 1，x2 = -5，y1 = 8，y2 = -2.

當(dāng)x1 = 1，y1 = 8時(shí)，x - y = -7；當(dāng)x1 = 1，y2 = -2時(shí)，x - y = 3；當(dāng)x2 = -5，y1 = 8時(shí)，x - y = -13；當(dāng)x2 = -5，y2 = -2時(shí)，x - y = -3.

評(píng)析 此題考查了絕對(duì)值的意義及應(yīng)用，也滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

例7 已知直角三角形兩邊x、y的長滿足|x2 - 4| + = 0，則第三邊長為_________.

錯(cuò)解 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得x2 - 4 = 0，y2 - 5y + 6 = 0.

∵ x、y表示直角三角形的邊長，∴ x = 2，y = 3，或y = 2.

由勾股定理得第三邊長為： = 2 ，或 = .

錯(cuò)因分析 上述解法由于考慮不全面而造成錯(cuò)誤.當(dāng)直角三角形的兩邊為2和3時(shí)，并不能確定它們都是直角邊，斜邊有可能為3，故第三邊也可能為 = .

正解 第三邊長為2 、 或 .

例8 若多項(xiàng)式A = 3x2 - 2x + 1，B = -2x2 + x + 1，試計(jì)算A - 2B.

錯(cuò)解一 A - 2B = 3x2 - 2x + 1 - 2 - 2x2 + x + 1 = 3x2 - 2x2 + x - 2x + 1 + 1 - 2 = x2 - x.

錯(cuò)解二 A - 2B = 3x2 - 2x + 1 - 2（-2x2 + x + 1） = 3x2 - 2x + 1- （-4x2 + 2x + 1） = 3x2 - 2x + 1 + 4x2 - 2x - 1 = 7x2 - 4x.

錯(cuò)解三 A - 2B = 3x2 - 2x + 1 - 2（-2x2 + x + 1） = 3x2 - 2x + 1 - （-4x2 + 2x + 2） = 3x2 - 2x + 1 + 4x2 - 2x + 2 = 7x2 - 4x + 3.

正解 A - 2B =（3x2 - 2x + 1） - 2（-2x2 + x + 1） = （3x2 - 2x + 1） - （-4x2 + 2x + 2） = 3x2 - 2x + 1 + 4x2 - 2x - 2 = 7x2 - 4x - 1.

總之，數(shù)學(xué)問題是千變?nèi)f化的，但是只要我們掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)，把數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、推理等能靈活的應(yīng)用，做題時(shí)細(xì)心一些，考慮問題全面一些，錯(cuò)誤就會(huì)隨之減少.