初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在7～9年級(jí)學(xué)段目標(biāo)中明確指出：“學(xué)生要初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力. ”新一輪數(shù)學(xué)課程改革從理念、內(nèi)容到實(shí)施，都有較大變化，向廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師提出了挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中需要從數(shù)學(xué)的角度利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，這就是說(shuō)數(shù)學(xué)解題是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，教學(xué)中的解題教學(xué)也就必不可少.

一、中學(xué)生接觸的普遍是狹義上的數(shù)學(xué)題，這些數(shù)學(xué)題的標(biāo)準(zhǔn)形式包括兩個(gè)基本要素：條件（已知、前提），結(jié)論（未知、求解、求證、求作）

解題就是溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，包括解和解題依據(jù). 如何進(jìn)行解題教學(xué)？進(jìn)行解題教學(xué)首先幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚問(wèn)題的已知條件是什么，未知的是什么，求解的是什么；其次分析并找出已知與未知之間的聯(lián)系，包括直接的聯(lián)系以及間接的聯(lián)系，提示學(xué)生回憶是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題，是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題，是否知道一個(gè)可能用得上的概念或定理，能不能利用它或者有關(guān)的結(jié)果，利用它的方法又是什么，應(yīng)該引入哪些輔助元素；第三，實(shí)施求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一個(gè)步驟.

例1 手工課上，小明準(zhǔn)備做一個(gè)形狀是菱形的風(fēng)箏，這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和恰好為60 cm，菱形的面積S（單位：cm2）隨其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)x（單位：cm）的變化而變化. （1）請(qǐng)直接寫(xiě)出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)x是多少時(shí)，菱形風(fēng)箏面積S最大？最大面積是多少？

已知條件是菱形的一條對(duì)角線以及對(duì)角線之和，（1）中求解的是菱形的面積，教師幫助分析菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，已知一條對(duì)角線是x，另一條則為（60 - x），從而S = - x2 + 30x.（2）中求解的是函數(shù)的最值，提示學(xué)生回憶是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題并聯(lián)系二次函數(shù)求最值，提出利用它的方法是什么（配方法），實(shí)施求解計(jì)劃得出結(jié)果為當(dāng)x = 30時(shí)，S有最大值，最大值為450 cm2.這種啟發(fā)提示滲透了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基本原理，讓學(xué)生做解題的主人，放大放慢學(xué)生的思維過(guò)程并展示給學(xué)生，以提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

二、解題教學(xué)的目標(biāo)不僅僅是解出題目的答案，而是教學(xué)生學(xué)會(huì)如何解題

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特點(diǎn)首先是簡(jiǎn)單模仿，這一階段通常是一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、公式的基本運(yùn)用. 對(duì)學(xué)生解題而言，更重要的是跨越模仿和練習(xí)而產(chǎn)生的高層次的領(lǐng)悟，即理解領(lǐng)會(huì)，這是學(xué)生自己去體會(huì)解題思路的探求，解題策略的形成，獲得能力的增長(zhǎng)的最好途徑. 但教學(xué)實(shí)際中很多學(xué)生都只會(huì)停留在模仿與練習(xí)上，很難形成自己的領(lǐng)悟，為了克服這些，解題教學(xué)必須堅(jiān)持以學(xué)生為本，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，由學(xué)生自覺(jué)分析，對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行自覺(jué)地反思，使理解進(jìn)入到深層結(jié)構(gòu). 這也是一個(gè)通過(guò)已知學(xué)未知、通過(guò)分析怎樣解題而領(lǐng)悟怎樣“學(xué)會(huì)”解題的過(guò)程，也是一個(gè)理解從“自發(fā)到自覺(jué)、從被動(dòng)到主動(dòng)”的創(chuàng)新階段.

例2 如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC = 90°，AB = 2BC = 2CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，線段OA，OB的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn). （1）求證：△FOE ≌ △DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點(diǎn)G，H，求 的值.

學(xué)生完成（1）題證明全等容易進(jìn)行：根據(jù)已知平行條件找到內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)中點(diǎn)得出AB = 2EF，進(jìn)一步得出EF = CD，找出證明三角形全等的條件是角角邊. 第（2）題三角函數(shù)值的求解需要轉(zhuǎn)化的思想，即∠OEF = ∠CAB的轉(zhuǎn)化. 這兩個(gè)題目的求解對(duì)于一般學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單模仿和變式練習(xí)應(yīng)該能夠順利地完成. 但第（3）題可能就沒(méi)那么通暢了，需要教師在解題教學(xué)中側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力、探索能力和主動(dòng)求知的欲望. 第（3）題需要學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中形成自己對(duì)解題的探索領(lǐng)悟，通過(guò)（1）的結(jié)論得出OE = OC，需要解題教學(xué)中強(qiáng)調(diào)適當(dāng)選取條件和相應(yīng)的結(jié)論，主動(dòng)探索之后，達(dá)到一定的分析能力和解決問(wèn)題的能力，△CEH∽△CAB，從而得出EH = = AB = CD和GH = CD，才能完整地求解答案為 .

三、解題教學(xué)應(yīng)注重分析問(wèn)題內(nèi)在的數(shù)學(xué)聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng)

教學(xué)中要注重分析思路的探索過(guò)程，分析題目?jī)?nèi)在的數(shù)學(xué)聯(lián)系，在分析過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上做必要的概括，這樣可以充分培養(yǎng)學(xué)生的各種綜合能力. 化歸、建模、數(shù)形結(jié)合、類比、歸納、猜想假設(shè)等思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中是比較常見(jiàn)的.

波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中指出：“解題是人類最富有特征的一種活動(dòng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的中心環(huán)節(jié)，是一種實(shí)踐性技能，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)良好心理素質(zhì)的重要手段. ”初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要教師激發(fā)學(xué)生的富有特征，同時(shí)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與解題技能，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為成為對(duì)社會(huì)發(fā)展有用的人奠基.