疊加：從平面向空間過渡的橋梁

小學生學習圖形，經歷著從“空間——平面——空間”的學習過程，這遵循的是學生的年齡特征和學習規律。在學習平面時，教師講授“點動成線、線動成面”的純數學化動態觀點，到空間學習時，教師再次疊加“面動成體”這一科學原理。筆者在教學六年級《圓柱和圓錐的認識》單元時，對“面動成體”的教學有深刻的體會。

鋪墊：為后續的教學奠基

在教學《圓柱的認識》時，書上對“面動成體”強調的是“一個長方形以它的一條邊為軸，旋轉一周，就能形成一個圓柱”，而筆者對這處的內容進行了補充，同時借助多媒體課件進行演示，把“動”分解為兩種形式：繞軸旋轉和定向移動。其中“繞軸旋轉”的知識原點是圓的形成，圓是一條線段繞它的一端旋轉一周所形成的圖形，而圓柱實際上就是無數的相等的線段進行上下疊加，繞它的一端進行旋轉組合成的圖形。

這樣的分析和解剖，意在讓學生感受到平面向空間轉化，只是無數平面的疊加，多了上下這一縱向維度，讓學生對整個知識的發生發展過程有一個充分的理解和認識。而“定向移動”的知識原點更加的簡單和直觀，點不斷地向一個方向移動疊加就能形成線，線不斷地向一個方向移動疊加就能形成面，而面不斷地向一個方向移動疊加就能形成體。而圓柱就是一個圓不斷地向一個方向移動疊加所形成的圖形，如果是斜向疊加就是斜圓柱，如果是正向疊加就是直圓柱，也就是六年級正在學習的。這兩種知識原點的剖析都與動態的疊加有關，這一出發點為學生后續知識的遞進學習進行奠基。

引導：為雜亂的思維梳理

《圓柱的體積》教學是對《圓柱的認識》的疊加理念的再次鞏固和提升，使學生的思維成螺旋狀態，把雜亂的思緒一一整理串成知識鏈。

書上對《圓柱的體積》的推導過程采取的是和圓面積推導相似的過程，筆者想：為什么立體圖形的體積推導方式會和平面圖形的面積推導方式相同呢？怎樣讓學生建立他們之間的聯系？如果僅僅從外觀上圓和圓柱差不多來解釋，缺乏科學性，而且發現學生往往會對這塊知識的聯系遺忘，因為我們只是表面的同化，并沒有進行深度的內化。如果借助疊加這一動態進行解釋，可能對學生的記憶有很大幫助，因此，筆者進行了鋪墊基礎上的延伸。

首先，對“圓的面積是怎樣推導的”進行鞏固復習，讓學生清晰理解拼成近似的長方形和圓之間的聯系，從而明確轉化是解決新問題的策略。接著，演示兩個等圓經過切割拼成長方形，然后進行疊加，再第三個等圓進行疊加，隨著圓的疊加變成圓柱，長方形也隨之疊加成為長方體，疊加的高度就是圓柱的高。這一過程，讓學生認識到圓柱的底面積就等于拼成的近似的長方體的底面積，還把圓到圓柱的過程進行充分演示，很好地架構了平面到空間的橋梁，更讓學生感受到每一個立體圖形都能在平面上找到一個圖形對應，平面的方法在空間中同樣適用，只是把這種方法進行反復疊加。如果說書上的拼合教學是方法的運用，那這種疊加就是知識本質的挖掘，能給學生一種更深層次的理解和運用。

鞏固：為精致的方法驗證

如果說方法的靈活運用、成功的解題是對課堂效率最好的證明，那習題的分析就是對知識原理最佳的迎合。當學生遇到問題而無法解答，能夠想到從平面入手來考慮，那就證明已經達到方法靈活運用的目的。

問題一：圓柱平均分成若干份，拼成一個近似的長方體，體積（ ），表面積（ ）。這個問題并不難，學生很容易得到體積不變，表面積變了。但表面積增加的是哪一部分呢？學生如果不借助圖或者學具是很難解答的。學生是通過圓到近似的長方形，周長多了兩條半徑，而反復的疊加，就是多了兩個以半徑為長、高為寬的長方形。這一回答又建構了平面周長和空間表面積之間的聯系，它們為什么在計算時不像體積一樣切成兩份就兩份，而會增加切口處，原來也是疊加的原理。筆者借機又再次強調了半圓柱的表面積計算容易忽略的切口長方形，學生頓時從半圓開始疊加。如果說學生的生成成就了疊加的策略，那疊加的策略也疏通了他們凌亂的思維，讓知識清晰而明確。

問題二：一個正方體中削一個最大的圓柱。這個問題對空間觀念弱的學生來說，理解并不容易，他們需要在腦海中構圖，清晰了才能找準方向。但往往這個“清晰”總是藏在混沌之間，無法顯現。不過，如果使用疊加的策略，似乎簡單很多。學生首先把它還原成平面，用“壓扁”來形容，這就成了“正方形中剪一個最大的圓”，這個平面概念是學生非常清晰的，當找到圓和正方形的關系后，再向高度疊加，那問題就相對容易，就像廣告中大樓從地面瞬間拔地而起一樣，不再高深而無法跨越。

問題三：長方體中削一個最大的圓柱。這個問題要比問題二復雜，因為三組不同的面，就導致削成的最大的圓柱形狀不同，體積也就不同。這個問題能真正從空間考慮完整解決的學生非常少。在講解時，很多學生無法換方位的想象，而現在利用“疊加”原理變得簡單了。學生先在長方體的面上找最大的圓，這時學生發現會出現三種情況；然后三種情況分別疊加，就會出現三種不同的圓柱；學生再進行計算后比較，把空間問題轉化成平面問題，就簡單了。

課堂教學是智慧的，當教師挖掘知識的本質，幫助學生整理思維，就不存在講不透的題、理解不了的題。疊加，建立在學生的需要之上，同時架構了平面和空間之間的橋梁，它是教學的一種策略，更是解決問題的一種方法。

（作者單位：江蘇省常州市武進區星河小學）