優于十二平均律的新樂律

[摘要]本文針對十二平均律在應用上的缺憾，結合對廣泛應用的“音準曲線”的分析提煉，提出克服十二平均律之弊端的新世紀新的平均律——“新世平均律”。文中詳細介紹了有關“新世平均律”各方面的數據；與十二平均律以及與五度相生律的關系；論證了“新世平均律”的科學、合理和實用性；提出了新的樂音音高標準。并得出明確結論：“新世平均律”是優于十二平均律的更為準確實用的平均律，適應新世紀音樂發展的需要，應該而且能夠完全取代傳統的十二平均律，且對音樂領域的各個方面將會產生巨大影響。

[關鍵詞]十二平均律；五度相生律；律制；鋼琴調律；新世平均律

十二平均律是現今樂界起主導作用的音律。但由于其“不準”、與傳統樂律不甚協和等弊端，已不能滿足新世紀音樂發展的需要。

本文提出一種新的轉調方便的平均律——“新世平均律”（根據其結構和特點又可稱為“五度七分平均律”、“五度純平均律”）。不同于以往均分八度的各種平均律，獨辟蹊徑，以純五度音程等比均分為七份的頻率比為生律因數，形成所有音階。其特點是“純五度，寬八度”；即新律的所有五度音程都是無誤差的純五度音程，而八度音程稍微加寬形成“延展八度”。新的平均律適應新世紀音樂發展的需求，使五度音程準確，便于建立新的實用性強的統一的絕對音高體系；便于平均律樂器與各種樂器的合奏、聲樂的伴奏；“純五度，寬八度”符合人耳音感的實際需求，更進一步滿足了人們對鋼琴等平均律樂器的音準、協和性等方面的要求，使廣泛應用的平均律更加趨于完美。本文對“新世平均律”的科學性、合理性、實用性等做了各方面的論證，得出明確結論——“新世平均律”應當而且能夠完全取代現行的十二平均律。

以下分十個專題予以論證、說明。

一、十二平均律存在的缺憾與解決辦法

我國是綿延五千年悠久歷史的文明古國，音樂方面我國是旋律大國、音律大國。早在1581年，明代著名的律學家、歷學家、音樂家朱載堉就首創“十二平均律”，比歐洲人提前了數十年，對世界音樂發展產生了巨大影響，以至于現代鋼琴等多數樂器都是依十二平均律制造和定音的。

但是，由于十二平均律本身建構方面的固有缺欠，不可避免地在應用中顯示其不足之處，最大的問題是音不準。十二平均律的各音都是不甚精確的，因此十二平均律又被稱為“不準律”。

在十二平均律中，樂音最重要的純五度音程偏小（窄五度）；而八度音程，雖然理論上看起來絕對準確（純八度），但實際上聽起來并不準。正如音樂人所指出的：“人們在欣賞音樂的時候有這樣一種現象：即越是聽到旋律音向高音方向進行時，越是希望能夠逐漸高一些；反之，越是聽到旋律音向低音方向進行時，越是希望能夠逐漸低一點，這樣才在心理上有種滿足感，我們稱這種向高低音兩個方向逐漸擴展的現象為‘延伸’”。這是由于弦的物理特性和人們的聽覺習慣，使樂音有不同于物理音高的特點：高音應偏高些、低音應偏低些。嚴格按著十二平均律定音的鋼琴或電子琴，音樂家聽起來是感覺不準確、不舒服的，所以要用調律師人耳聽覺來矯正，這就形成偏離十二平均律的所謂“音準曲線”（也稱為“偏離曲線”）。由于鋼琴的音不準確，因此當鋼琴與管弦樂等配合時，就顯得不甚協調，互相讓步，互相遷就。比如將鋼琴的基準音調高些（443Hz）、管弦樂向十二平均律靠攏等。也嚴重影響人們用鋼琴聲做視唱練耳標準音時，對真正標準音的把握。連純五度都不準，談何掌握準確音高？實際上，人們的音樂實踐從來就沒有完全真正遵循過“十二平均律”，而是根據樂音實際要求以人耳聽覺感受為標準做了調整。譬如說鋼琴，在“基準音組”里是嚴格遵從十二平均律來分律，可是向其他音組延展時，就需遵從“音準曲線”（與十二平均律的偏差曲線）來矯正十二平均律的理論值。超過鋼琴中部的一兩個音組，鋼琴的音就與十二平均律的值相差越來越遠，到鋼琴兩端的琴鍵音，竟偏差達30個音分左右。

這些十二平均律的弊端有辦法克服嗎？轉調方便的十二平均律是不是唯一的平均律？是不是像某些專家所言“誰也不能推翻它、動搖它”？能不能還有既結構簡單、又操作方便、更精確一些的新的平均律呢？我的研究結論是：有！我主張的“新世平均律”就是將十二平均律的“窄五度”改成“純五度”，將十二平均律的“純八度”適當加寬延伸，改成“寬八度”，形成一種新世紀新的平均律，問題就解決了！

二、“新世平均律”的構成——“五度七分平均律”

筆者提出創建一種轉調同樣方便、結構同樣簡單、更科學合理、更符合樂音特點（而不是機械地僅符合物理聲音特點）的新世紀平均律，即“五度七分平均律”。

新的平均律是由國際標準音（a1=440Hz）開始，升高或降低的每個純五度音程都平均等比分為七份，每一份為音階最小單位（半音），由此而形成所有音階。這種新的平均律，按結構來說，筆者起名稱為“五度七分平均律”。按其特征也可稱為“五度純平均律”。純五度音程的頻率比為3∶2，所以按等比均分就是15開7次方：

715≈10596340226670483814266

一般應用可取七位有效數字：

715≈1059634（十二平均律為122≈1059463）

715≈231218（用分數表示的近似值）

由出發律始，五度七分平均律各音階依次為

純一度1507=1000000，0音分；

小二度1517≈1059634， 10028音分；

大二度1527≈1122824， 20056音分；

小三度1537≈1189783，30084音分；

大三度1547≈1260734，40112音分；

純四度1557≈1335917， 50139音分；

減五度1567≈1415583， 60167音分；

純五度1577=1500000，70195音分；

小六度1587≈1589451， 80223音分；

大六度1597≈1684236， 90251音分；

小七度15107≈1784674，100279音分；

大七度15117≈1891101， 110307音分；

純八度15127≈2003875， 120335音分。

上述五度七分平均律音階數據表明，純五度是準確的，約702音分（十二平均律的五度是700音分，比純五度窄了2個音分）；純八度增加了335音分。因此，“五度七分平均律”的八度音程是加寬（延伸）的，每隔八度加寬335音分（相當于五度相生律“最大音差”2346音分的七分之一）。這個335音分的音差，筆者命名稱為“八度音差”。

每隔八度加寬一個“八度音差”335音分，兩個八度音差（十五度）是67音分，三個八度音差是10音分。

上述數據還表明了“五度七分平均律”與十二平均律的半音差別。十二平均律半音是100音分，“五度七分平均律”半音是10028音分，比十二平均律高028音分。

如a1定為標準音440Hz（鋼琴鍵號為49A），那么“五度七分平均律”的中央C（音名c1鋼琴鍵號為40C）的頻率為261246Hz（十二平均律中央C為261626Hz，比“新世平均律”高25音分）。

將五度搞純了，相信不會有人反對。將八度加寬了，這一“寬八度”是否合適？是否符合人們“高音偏高些、低音偏低些”的聽覺習慣呢？我在下面對“寬八度”數據結合“音準曲線”坐標圖的分析中可以論證，這一“寬八度”的加寬（延伸）幅度是正巧合適的！

三、“純五度”與“寬八度”是音樂發展的切實需求

——論“新世平均律”的理論基礎

沿用了幾百年的十二平均律盡管存在“音不準”的弊端，但人們總認為這只能是唯一在理論上完美適用的平均律，再無他法。倍頻率2開12次方，還能有什么其他簡單適用的平均律（當然人們也提出過多種2開其他次方的平均律，譬如五十三平均律等，但都不適用）？所以有些專家就斷言十二平均律“誰也不能推翻它、動搖它”。

筆者要論證的是：十二平均律之所以能夠應用，完全是由于其最重要的音程——十二平均律中“五度”以及“四度”音程與純音的誤差，碰巧地比較精確。其五度僅比純五度小2音分，而五度又是生成其他各音階的基礎音程。向上可生成（用簡譜表示，省略高低音點）1、5、2、6、3、7，向下可生成4。由于每個五度少兩個音分，所以向上生成的各音也就較五度律逐漸偏小（7偏小了十個音分），而向下生成的4偏大兩個音分。總之，正是由于最重要的音程“五度音程”誤差較小（只小兩個音分），所以，十二平均律才有實際應用之可能。但是，這個誤差是隨著音域的增大而增大的，因此和自然律整體上“對不上牙“，給樂器配合帶來很大的不協和感。

音樂理論中，純五度是最重要的音程關系，它是律學的基礎音程，樂音的靈魂。古今中外傳統的五度相生律、三分損益律的全部音階構成都是由純五度生成；純律的絕大部分音程也是由純五度構成（只是大調2-6、小調5-2之間是小五度）。樂理上的各調關系（五度圈）等也同樣證明五度音程是樂理的最基本音程。所以純五度毫無疑問是音樂理論最重要的音程關系，動一而引發全局。所以這個音程不準，就會引發樂音音準系統的大問題。而本人提出的“新世平均律”，是繼三分損益律、五度相生律之后的又一純五度律制音律。推廣這一“五度純平均律”意義重大！

由于鋼琴的音是不準確的，連樂音最重要的純五度音程都不準，所以訓練有素的小提琴家聽鋼琴聲總感到“不準，偏低”，用鋼琴視唱練耳的結果是成批訓練成音高關系并不標準的“十二平均律耳朵”，這帶來諸多問題，使“鋼琴耳朵”與“小提琴耳朵”不一樣。長期受鋼琴視唱練耳訓練的學員，在學習小提琴等其他非平均律樂器、聲樂獨唱合唱等大量運用五度律、純律的音樂領域，也還得重新訓練矯正耳朵的音高感覺，這是多麼不合理和造成多大的時間、精力方面的浪費啊！

歷代中外律學家總把八度看成是樂音最重要的基礎音程關系，在純八度的基礎上分律。這是由于歷史條件所限，人們往往把物理音高等同于樂音音高，將八度音程看作是最重要的、必須完全準確的。可是，八度關系的各音實質上就是同一個音，由它并不能生成任何其他音階。倍頻率2只是物理上的純八度。過去由于科學測頻儀器不完備，律學家不了解實際上人耳聽覺的八度音程（就是樂音的八度音程）與物理機械的八度音程并不相同，它是遵循“音準曲線”所反映的“高音應偏高些、低音應偏低些”這一樂音客觀規律來進行音樂實踐（鋼琴調律等）的。嚴格按倍頻率2、4、8、16等音高調琴偏偏就聽著“不準”，會越發顯得“低沉”。十二平均律的頻率表規定得再精確，人們也從未認真施行過。根據十二平均律制定的國際、國家音高標準實際也基本上是“有名無實”的擺設，因為不能精確地依此校準鋼琴、電子琴等樂器，目前實際僅應用于中音“基準音組”的一兩個音組的分律。

歷來律學家都由于“黃鐘不能回歸本位”而大感遺憾、大傷腦筋，想出種種 “新律制”以既滿足純五度的需要，又滿足純八度。比如英國物理學家博贊克特等提出的“五十三平均律”，就是八度和五度都較精準了，可惜因律數太多并不實用。解決“黃鐘不能回歸”問題現在公認的辦法是十二平均律，其實還有更好的辦法解決。因為五度律生律十二次，較之八度疊加七次，確實是高了2346音分，好像“回不到本位”、“黃鐘不能回歸”；可是如要將2346音分分成七份，每份335音分；八度按著樂音音感的實際需要加寬（延伸）335音分，就是八度邁步稍大一點，“寬八度”的七步正巧和五度律生律十二次“喜相逢”，豈不妙哉？！這樣就使“黃鐘正好回歸本位”了，也是本人新平均律的設計思路。

以上就是“新世紀平均律”要構建成“純五度、寬八度”的“五度七分平均律”的基本設計原理。“寬八度”（延展八度）是現代發現的樂音重要的特點，是古人沒有想到的。但是歷史和現代音律學家都沒有把這一重要樂音特性反應到他們的律制中來，或者有所反映但公式繁難不便應用。這是很不合理的！

文本作者試圖首次在新律制中系統地吸收這一“寬八度”的樂音特點，同時繼承保留傳統音律“純五度”的共性，繼承保留十二平均律律制構建簡明的特點；使平均律樂音更貼近自然律五度相生律、音準更為精確，并且新世平均律的簡潔程度絲毫不遜于十二平均律。

這是繼五度相生律、三分損益律、純律之后的又一純五度律制，把平均律也囊括其中了。這是實現樂音大統一、相互協調、互補互進的重要的新型平均律，理應引起樂界高度重視！

總之，十二平均律的特點是“窄五度”、“純八度”；而“新世平均律”的特點是“純五度”、 “寬八度”。實現“純五度”當然很好，可是大家的疑問是：“寬八度”合適嗎？會不會偏差越來越大？

新律每個八度都加寬335音分。這一音差（335音分），即為“八度音差”。兩個八度音差為67音分，三個八度音差為10音分。這些“偏差”隨著音域向高低兩端延伸而逐漸增大，但我們從下面的圖中可以看到，實際的音響效果是這些“偏差”非但沒有越來越大，反而是變小了或消失了。

四、“音準曲線”的解析

——論“新世平均律”的科學合理性

下面的圖1是根據儀器實測出來的，一般鋼琴調律的實際音高與十二平均律標準值之間的偏差所形成的所謂“音準曲線”圖（也稱“偏離曲線”，圖中較粗的曲線）。圖2是我們把“新世平均律”六個音組的頻率值同時畫在圖中（斜線）。

圖1“音準曲線”（調律后實測頻率與十二平均律標稱值平均偏差曲線）

圖2十二平均律的“音準曲線”與“新世平均律”對照比較分析圖

圖中橫坐標數值為頻率（Hz），縱坐標數值0音分為十二平均律標準值，正負值為偏離十二平均律的音分數；較粗的曲線即為“音準曲線”，斜線為“新世平均律”。

“新世平均律”的斜線的畫法：橫坐標取鍵盤中心鍵45F或標準音49A（本圖取45F），分別向左右延展三個八度（9F-81F，生成誤差正負10音分）；縱坐標取左側低音端-10音分，右側高音端+10音分；連接縱橫坐標的兩個交點，即形成“新世平均律”的斜線軌跡。

圖中可見：在中音區，兩條線近乎重合；自45F鍵起“音準曲線”向琴鍵兩端逐漸偏離十二平均律。比如，高于標準音a1八度的音a2理論值為880Hz，專家實測的鋼琴頻率為88101Hz，高出了2音分。比較“新世平均律”的高335音分，“新世平均律”實際只是高了135音分。人耳是很難分辨這一個多音分的差別。

圖中清楚表明，到了接近鍵盤兩端位置，“新世平均律”斜線居然和“音準曲線”曲線相互交叉了（18D、73A），這兩個交叉點表明兩律音高正好相等。隨著音域向鋼琴鍵盤兩端延伸，“新世平均律”的音高偏差非但沒有變大，反而減小至零了。圖中顯示，在鍵號16C至76C的這一段最常用的五個音組的音域內，“新世平均律”的音高與“音準曲線”的偏差均小于3個音分。因此對于用傳統調律方法調好的鋼琴，和用“五度純平均律”調好的鋼琴，一般人聽起來實際并無明顯差別（敏銳的音樂人耳朵當然可以聽出差異）。

我們看到：“新世平均律”（斜線）比十二平均律（中央水平線）更貼近音樂家聽覺感到舒服的、調律師人耳調出的“音準曲線”，這是運用了數學上經常采用的“用斜直線近似代替曲線”的簡化辦法（就是將曲線“線性化”）。圖中明確顯示：在常用的倍低音（大字組）、低音（小字組）、中音（小字一組）、高音（小字二組）、倍高音（小字三組）五個音組范圍內，“新世平均律”都能提供使音樂家感到舒適準確滿意的音高效果頻率值。335音分的“寬八度”可以說恰到好處！十二平均律實際上只是“物理音高”平均律，而“新世平均律”才是樂界所需要的“樂音音高”平均律。

五、“新世平均律”的基本數據計算方法

“新世平均律”的另一名稱是“五度七分平均律”。就是將純五度音程等比均分為七等分，每一份即作為新平均律的半音，累計生成各律（各個音階）

因為純五度音程高低音頻率比為3/2，也就是將15開七次方。

715≈10596340226670483814266；一般應用值為1059634

“新世平均律”的1059634自乘7次，得15 ，所以凡是五度關系都是純五度。

而十二平均律的五度音程都是比純五度小2個音分。

新世平均律的1059634自乘12次，得20038754738，比倍頻率2高335143音分。常用值取335音分，此即“八度音差”。

“新世平均律”的標準音A也定為440Hz。

將440依次除以1059634，即得出鋼琴鍵號49A以下的48降A、47G等各音；將440依次乘以1059634，即得出鋼琴鍵號50升A、51B等各音。

鋼琴中央C鍵號為40C，“新世平均律”的頻率為261246Hz。

（十二平均律中央C為261626Hz，比新世平均律高25音分。）

鍵號為n的頻率值計算公式為（單位Hz）：

440×715n-49

也可以用下面的簡化公式計算

“新世平均律”鍵號第11G鍵的頻率為487Hz（十二平均律為49Hz）

鍵號為n的頻率值簡易計算公式為（單位Hz）：

487×1059634n-11

此公式精度足以滿足實際應用需要。

音分的計算公式：

設有兩個頻率N1、N2需要比較二者相差的音分值。首先將兩者相除，再取對數，最后乘以系數3986即可。

39863137×logN1N2

例如：計算“八度音差”，用科學計算器先將“新世平均律”半音比率1059634生律12次得20038754738，除以2（物理標準倍頻率）得10019377369，取對數得出一個數，這個數乘以3986即得到二者相差335143音分的答案。簡化值為335音分。頻率比1059634和“八度音差”335音分是“新世平均律”最重要的兩個基本常數。

六、“新世平均律”與五度相生律的緊密聯系

由于“新世平均律”的所有五度音程都是純五度，所以“新世平均律”就與傳統的最重要音律——五度相生律、三分損益律之間存在內在的緊密聯系。由于三分損益律和五度相生律在中西方音樂史上舉足輕重的地位和沿襲至今的廣泛應用，相信五度律和平均律的這一“結緣”，是樂界的一大幸事，所帶來的和諧統一將影響音樂活動的方方面面。

如以某音為二律共同的始發音，上行（或下行）依純五度生成各律音階。顯然，所有這一系列音的高度，二律是完全相同的，就是說音階完全重合，沒有偏差。因此說，“新世平均律”與傳統五度相生律有著密不可分的天然聯系。人工律與自然律這一契合，是多么美妙的事啊！這樣“樂器皇后”小提琴的空弦G、D、A、E，大提琴C、G、D、A就與“樂器之王”鋼琴的對應鍵（28C、35G、42D、49A、56E）音高完全相同了。這在應用上，給樂器合奏、視唱練耳帶來極大的協和、便利。

在一個八度內，五度相生律和“新世平均律”音階音高相差都是“八度音差”的整數倍。我們用簡譜數字符表示，兩律的1、5相同，按五度相生生成的2、6，五度律音階比新律高一個“八度音差”，即335音分；這是由于高音2、6減純八度回到基本音組，就比按寬八度回歸高了335音分。同理，3、7回歸基本音組需低兩個純八度，所以五度律比新律高兩個“八度音差”即67音分。而4，是升一個純八度到基本音組，因此比新律低了一個“八度音差”。

在以往“三大律制”（五度相生律、純律、十二平均律）之間，是沒有兩律在很寬音域的某些系列音階完全重合的現象存在的。而在新設計的“新世平均律”與傳統“五度相生律”（或三分損益律）之間，就實現了一系列的音高等位。在鋼琴的任何調式里，兩律都有12個音是完全相同的（每隔五度即七個半音鍵就碰到相同音）。一般樂器都是以五度相生律為主的，與十二平均律的鋼琴配合每隔五度就產生2個音分的誤差，累積起來音差很大。而應用“新世平均律”就可以在很大程度上克服這一不和諧難題。

我國是音樂歷史極為悠久的“旋律大國”，延續千年的“三分損益律”與西方畢達哥拉斯五度律本質上是一樣的。正如陳其射教授所指出的“五度律素始終是我國生律的核心元素”，“五度律素觀始終是中國律制的主宰，它先入為主，根深蒂固，深入人心，一直延續至今。”如今，“新世平均律”巧妙地化解了“黃鐘不能回歸”這一千古難題，又保持了“五度純”，平均律與三分損益律重合，為弘揚民族文化提供了廣闊的發展舞臺。新平均律與五度律的這一“結合”，為我國民族音樂、民族樂器發展提供極大便利，可以更多、更好地利用鋼琴等平均律樂器來創作、合奏、獨奏、伴奏……；旋律會更為高昂、明亮、準確！也更方便使中國民族音樂走向世界舞臺。

由于新平均律實現了音程五度純，因此在應用上，只需改變個別音就可適應于傳統音律。比如適當抬高七音（7-1·），就可實現五度相生律的導音向主音靠攏的“傾向性”旋律特征；適當降低三音（1-3-5），就可實現純律三和弦的和聲特征。與十二平均律各音都對不準的情況相比，這就容易多了。

七、實施“新世平均律”在鋼琴調律、

有品樂器制作、電聲樂器定音方面的變化

實施“新世平均律”簡便易行，有很強的可操作性。

鋼琴調律是實施新平均律的重要手段。就鋼琴調律來說，按“五度七分平均律”調律，要比按目前的十二平均律調律簡化容易得多。因為五度都是純五度關系（無拍音），很容易把握，依次調正音準。五度內只需均分七份，操作簡單。基準音組分律和延展都較容易。利用以往十二平均律調律的豐富經驗，改為按純五度、寬八度的“五度七分平均律”調律，是很方便順暢的，技術上沒有難度。應注意的是，應用人工聽拍音向鍵盤兩端琴鍵擴展純五度時，也有一個”高音偏高、低音偏低”的現象發生，應注意與八度、十五度檢測相結合、協調，不至于使八度過寬。

用“新世平均律”調律，也給運用“音準儀”等儀器調律提供極大方便。因為以往用儀器調律如果完全按十二平均律標準頻率表來調，效果肯定較差，需運用所謂“音準曲線”來矯正。而應用“新世平均律”，可以直接按“新世平均律”頻率表規定的頻率標準數值來調律，即可達到滿意的音準效果。這樣就提高了調律工作效率，也可以使更多人加入調律隊伍，勝任調律工作。

對于有品的弦樂器，譬如吉他、琵琶等，采用“新世平均律”，有品弦樂器的品柱位置應當做一點移動。“新世平均律”的品柱位置比十二平均律更靠琴碼一點。十二品至二十四品品柱位置，兩律相差值為空弦弦長的千分之一（以十七品為最，向琴碼移動弦長的千分之10258586），其余品柱移動都小于千分之一。

例如，假定琵琶弦長（從弦枕到琴碼）為04米，那么十一品至二十四品的各品柱安裝位置都向弦枕移動04毫米。

電子合成器、MIDI、電鋼琴、電子琴等電聲樂器的頻率整定就更為簡單，只需按“新世平均律頻率表”調整即可。

這些樂器按新的樂音音高標準來調音，就使得這些樂器都成為“標準音高發生器”。尤其是普及率極高的鋼琴，將成為巨大的音域寬廣的“標準音高發生器”，這為視唱練耳等聲樂基本訓練、鋼琴與樂隊合奏合練等音樂活動和演出，帶來從未有過的便利、協和。這將給樂界帶來深遠影響。

八、“三律同源”——論“新世平均律”的理論淵源

這里所說的“三律”是指五度相生律、十二平均律和“新世平均律”。

人們總以為十二平均律將倍頻率2均分為十二等分形成的“十二平均律”是最自然合理不過的了，想象中不可能還有別的更簡單實用的平均律。但是并沒有認真思考一下：作為“不準律”的十二平均律為什么可以長時間地稱霸樂壇而存在？

這是因為：作為樂音最重要的五度音程，十二平均律碰巧地誤差不大，比較精確。盡管比理想值少了1955音分（一般取2音分），也還算是比較準。由此派生的其他音階，盡管誤差越來越大，也還是可以接受的。所以十二平均律盡管沒有什么音是絕對準確的，就因為最重要的五度音程比較地精確，所以才可能沿用至今。

這期間音樂家和律學家是相互妥協的。律學家認為只有十二平均律可以旋宮轉調，提不出更好更實用的平均律，滿足于對十二平均律歌功頌德；音樂家不是律學家數學家，也只能接受這一套音不準但可自由轉調的十二平均律。而律學家因為音樂家并不認可完全機械地按十二平均律規定的標準音高調律鋼琴的音響效果，所以搞出偏離十二平均律的“偏差曲線”來迎合音樂家的樂感需求。這都是相互遷就、相互妥協的結果。如今這一尷尬局面有望得以解決。

下面要證明的是：五度相生律、十二平均律、新世平均律，這三律其實是出發于同一數學近似公式，三律實質是“同根同源”的。

五度相生律或三分損益律，有一個生律12次不能還原位或“黃鐘不能回歸”的歷史問題。數學表達式為（公式中≥表示“略大于”，≤表示“略小于”；純五度的高低音頻比為3/2，純八度的高低音頻比為2）：

3212≈12974633789

27=128

12974633789≥128

3212≥27①

數學解釋：就是說按五度律生律12次后，理想值是應正好回歸始發音（2的7次方）。可惜實際是略大于2的7次方，高了百分之1364（129746÷128=101364），合2346音分（應用中常采用24音分），這一音差律學上稱為“最大音差”或“古代音差”。

公式①反映的是眾所周知的五度相生律之“不能回歸本位”（黃鐘不能還原）這一音律學重大歷史難題。可簡稱“黃鐘回歸公式”。

將①式的兩邊開12次方，左右位置交換，得：

1227≤32②

數學解釋：②式表明，2開12次方是十二平均律，生律7次后，略小于3/2，就是十二平均律的五度略小于純五度。這是將五度律壓縮，將“最大音差”24音分平均分攤到12個五度音程中，使得五度都小了2個音分。而這正是十二平均律能夠得以應用但又不準的數學依據。沒有這個近似公式，十二平均律是不可能應用的（因為音高與傳統音律之間的偏差就會過大）。但這一公式原來是由五度相生律的“黃鐘回歸”公式直接轉化而來，有內在的必然聯系。

②式的兩邊開7次方，就得

122≤715③

數學解釋：③式的左邊是十二平均律，右邊正是“五度七分平均律”（新世平均律）。③式說明兩律都來源于五度律的“黃鐘回歸”公式①，且二律的基本半音進率近似相等（1059463略小于1059634；新平均律每個半音只增大了028音分）。

由此我們不難看出：十二平均律與“新世平均律”原來是同根同源的兩個同胞兄弟，理論上平等，本來并無誰強誰弱之分，可是應用在音樂實踐中就有“勉強適用”與“更為適用”之分，只能取其一。顯而易見，十二平均律雖然勞苦功高，但已年邁體衰，理應退休；而新生的“新世平均律”正是年輕有為、蓄勢待發、應該上馬奔馳！

將③式的兩邊分別乘12次方，左右位置交換得：

71512≥2④

數學解釋：④式是說“新世平均律”生律12次后，新的倍頻率略大于倍頻率2。實際是高了335音分。原理是將八度延伸，“黃鐘回歸”問題的“古代音差”2346音分均分為七等分，每份335音分均攤到每個八度內。這正巧符合樂音“高音要高些、低音要低些”的“寬八度”的實際需求，適應了人耳的聽覺感受。

比較十二平均律與“新世平均律”，都是為化解“古代音差”而采取不同的“消化”辦法。十二平均律以所謂“純八度”為準，壓縮五度律，將“古代音差”24音分平攤到每個五度中，結果每個五度因此都減小了2音分。而“新世平均律”是以純五度律為準，延伸八度，將“古代音差”24音分平攤到每個八度中，使每個八度都擴大335音分。哪個更合理呢？音樂實踐證明，后者更合理！

通過以上四個公式的分析，我們看到，五度相生律、十二平均律、“新世平均律”的基本數學基礎公式都起源于同一近似公式①“黃鐘回歸”公式，就是說“三律同源”！三律原來都是由一棵樹根發起（一個公式導出）的三根枝杈，并推出了眾多重要參數。所以公式①簡直可稱為“律學基本公式”。因此，認為“新世平均律”的提出理論牽強、唐突、生僻、不牢固等疑慮，都是不必要的。“新世平均律”的理論基礎與十二平均律一樣堅實可靠，合理合規。但因為其更符合樂音實際需求，因此就更有應用價值，完全取代十二平均律自然合理。至此，我有理由說：十二平均律已經完成其歷史使命，可以光榮地退出歷史舞臺了；歷史將證明：“新世平均律”（五度七分平均律）才是恒久的、不可替代的最佳實用平均律。

九、新的國際樂音音高標準

如前所述，依照十二平均律制定的國際國內樂音標準頻率表，除中音部的一兩個音組用于基準音組分律外，實際上都沒有被認真施行過。那么這個表上的數值再精確，也是形同虛設。在高音、超高音、低音、超低音等各音組中，實際并沒有應用價值，按實際所測調律后的樂器頻率值都與十二平均律頻率表不符。

而應用“新世平均律”，電子音響設備（MIDI、電鋼琴、電子琴等）完全可以依照“新世平均律”的頻率表調正頻率；鋼琴除特高和特低（鍵盤最兩端琴鍵）音外，常用的五個音組也是完全可以用“新世平均律”所規定的頻率表調律，并且都是五度純。這就為樂器之間的合奏、協奏、配合聲樂的伴奏等等帶來極大便利。這是新世紀音樂發展的需要，是樂律學適應時代發展的必然改變。“新世平均律”的理論基礎堅實可靠，實用方便，收效明顯，影響深廣，希望廣大音樂人相信科學、堅定信念、棄舊圖新、立志改革！

“新世平均律”樂音絕對音高標準頻率表

MIDI鍵號鋼琴鍵號頻率（Hz）MIDI鍵號鋼琴鍵號頻率（Hz）211A2728796545F349003222A#2891526646F#369815233B3063956747G391869244C3246666848G#415238255C#3440286949A440000266D3645437050A#466239277D#3862837151B494043288E4093187252C523504299F4337277353C#5547233010F#4595927454D5878033111G4870007555D#6228573212G#5160417656E6600003313A5468157757F6993583414A#5794247858F#741064續表

MIDI鍵號鋼琴鍵號頻率（Hz）MIDI鍵號鋼琴鍵號頻率（Hz）3515B6139777959G7852573616C6505918060G#8320853717C#6893898161A8817053818D7305008262A#9342853919D#7740628363B9900004020E8202238464C1049044121F8691368565C#1111604222F#9209668666D1177884323G9758878767D#1248134424G# 1034088868E1322564525A1095758969F1401434626A#1161099070F#1485004727B1230339171G1573564828C1303709272G#1667394929C#1381459373A1766835030D1463839474A#1872195131D#1551129575B1983845232E1643629676C2102145333F1741649777C#2227505434F# 1845509878D2360335535G1955569979D#2501095636G#20721710080E2650245737A21957410181F2808295838A#23266910282F#2975765939B24654410383G3153216040C26124610484G#3341256141C#27682510585A3540506242D29333310686A#3751646343D#31082610787B3975366444E32936210888C421243

十、版權聲明和作者倡議

“新世平均律”和對其各方面的研究結論是作者多年樂律學研究的成果，具有原創性、新穎性、邏輯嚴密性、結論明確性和現實意義重大等特點。根據中華人民共和國著作權法，作者擁有該文著作權。不允許任何組織、團體和個人，剽竊抄襲本文內容。如經發現，侵權必究。引用必須注明原作者及文章出處，并及時和作者用電話、郵箱、QQ等保持聯系。

作者倡議：希望此文引起各地音協、大專院校、演奏團體、音樂專家、鋼琴家、提琴家、指揮家、作曲家、鋼琴廠家、調律師、音樂教授、音樂教師的廣泛注意，積極試用；有興趣的各位志士同仁，我們可以共同組織“五度純平均律聯誼會”，聯誼會宗旨是研究實驗推廣交流“新世平均律”，使我國在樂音、樂律方面走在世界前列，為新世紀音樂發展做出開創性貢獻！

朱載堉時代，我們錯過了率先推廣應用十二平均律的歷史機遇；這一次，“新世紀平均律”就擺在我們面前，我們還要錯過嗎？

[參 考 文 獻]

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[2] 繆天瑞.律學[M].北京：人民音樂出版社，1996.

[3] 陳其射.“樂問”對樂律研究的啟示[J].中國音樂學，1998（4）.

[4] 孟維平，孟維鴻 ，仲維辛，陸舟.十二延伸律——十二平均律在音樂實踐中的修正[M].人民音樂，1993（9）.

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[6] 廖志堅.鋼琴及其調律[M].中國文聯出版社，2004.

[7] 陳儀進.鋼琴調律修護指南[M].世界文物出版社，2002.

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（責任編輯：崔曉光）