導學實質與復雜問題簡單化

一次，筆者在聽一位年輕教師講課，這節課的內容是“勾股定理的驗證”。該教師向學生提出問題：“請利用4個直角三角形拼成一個正方形，你有幾種拼法？”問題提出后，學生們開始思考，筆者也跟著思考問題的解法。

問題的緣起

這樣的問題，至少有4種拼法，見圖1、2、3、4。

后來，筆者發現按照教材的要求只讓學生按照圖4以C為弦長和圖5以（a+b）為弦長來拼圖，從而驗證勾股定理的合理性。圖2和圖3無法驗證勾股定理，屬于多余的問題。這位年輕的教師改動了問題，把原有的問題復雜化，使筆者一時沒有摸清思路，也讓學生無從著手。這位教師違背了導學的初衷。

筆者認為，導學的實質應該是把復雜的問題簡單化。如果把這位教師的問題改為：

問題一：請利用4個直角三角形拼成一個弦長C為邊長的正方形，求c2。

從圖7中可以看出，c2是4個直角三角形的面積和中間一個邊長為（b-a）的正方形的面積的和。

即：c2=4×（ab）+（a-b）2

=2ab+b2-2ab+a2

=b2+a2

由此勾股定理得到驗證。

問題二：請利用4個直角三角形拼成一個弦長（a+b）的正方形，求c2。

即c2=（a+b）2-4×（ab）

=a2+2ab+b2-2ab

=b2+a2

由此：勾股定理也得到驗證。這樣的問題既明確又簡單，學生容易掌握。善于把復雜的問題簡單化，這是教師的基本功。

同樣是這節課，還有一個問題，這位年輕的教師把問題模糊化，以為能讓學生思考，培養學生的思維能力，其實不然。她的下一個問題是：你能根據以下圖形寫出它的表達式嗎？如果我們把圖10的問題設計成問題三：

圖10中，（a+b）2=？

根據圖10：（a+b）2=？

（a+b）2=①的面積+②的面積+③的面積+④面積=b×a+b×（b+a）×（a+b）×a=ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2

根據圖11：（a-b）2=a2-①面積-②面積-④面積=a2-b×（a-b）-b2-b×（a-b）=a2-ba-b2+b2-ba+b2=a2-2ba+b2=a2-2ab+b2

導學就是把復雜問題簡單化

通過對以上問題的分析，筆者認為導學就是把復雜的問題簡單化。如何才能把復雜的問題簡單化呢？可以從以下三個方面著手：

首先，對問題的設計單一化。年輕教師的問題設計的過于復雜，學生做題無從著手，要經過反復的比對，擺成之后也不一定能驗證勾股定理，這樣的問題既浪費了學生的時間，也不能鞏固要學習的知識。本文的問題一、二就很單一，通過簡單的計算就能驗證勾股定理。

其次，對問題的分析做到有序化。教師幫助學生分析問題，要從直觀開始，做到從簡單到復雜，有條有理，條理清晰，一步一步來。比如，本文的問題三的解題過程。驗證完全平方公式。

（a+b）2=①面積+②面積+③的面積+④面積=b×a+b×（b+a）×（a+b）×a

這是4個圖形的面積=ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2

最后，問題解決的結論要明確。通過分析得出來的結論要明確，讓人一看就明白。

許多數學問題是神秘的，但是想明白了，結論又非常明確、非常現實，和生活密切相關，這正是人們熱愛數學，喜歡數學的理由。真心希望教師的導學能把學生引向神秘數學，導出許許多多熱愛數學的小數學迷。

（作者單位：江蘇省邳州市白埠中學）