專題復習：基本圖形的變式分析

近幾年中考綜合題中，開放性、探究性和創新性的考題越來越多，許多綜合題是由一些基本圖形改編而來。此案例以一基本圖形為載體，進行提煉、變式與拓展，以訓練學生學會思維，達到舉一反三。

自主復習，感受基本圖形

學生要能從復雜圖形中發現基本圖形，利用基本圖形解決問題。

1.回答下列問題并分析圖形特征，用紅筆畫出其中的“基本圖形”。

已知，如圖1梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一點，且△DEC為等腰直角三角形，∠DEC=90°。

問：△ADE與△BEC有什么關系？

引申：如圖2，將“等腰”去掉，△ADE與△BEC還全等嗎？它們什么關系？

2.試一試，你能從圖中找到“基本圖形”嗎？如圖3：直線L上有三個正方形a、b、c.若a、c的邊長分別是3和4，則b的邊長為……

引申：正方形a、b、c的面積之間有什么關系？

分析與思考：這節課中心任務就是“基本圖形”的識別與應用，因此將分析圖形特征的過程體現到學案中，讓學生在獨立探索的過程中發現兩種形式的“基本圖形”，即全等與相似，有效地突出本課教學的重點。“試一試”是基本圖形的變式應用，重點突顯了從復雜圖形中發現“基本圖形”。

在自主學習的基礎上，鞏固所學的知識。如圖4，已知矩形ABCD中，E是AB上一點，沿EC折疊，使點B落在AD邊的B′處，若AB=6，BC=10，求AE的長。

分析與思考：小組學習環節中題目選擇一定要抓住核心知識，引發學生思考，并能對數學的思想、解題的方法進行歸納或提煉，使方法系統化。這個題目體現了“基本圖形”中相似變換的應用，但教學中不能只處理到這個層次，要引導學生在獨立思考與小組交流相結合中找到所有不同的解法。這個題實際上很好地詮釋了解決幾何綜合圖形問題中的三種“求解工具”，即相似、勾股和面積等。

展示反饋，再探新知

已知：如圖五，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=9，BC=13，CD=4，E是AD的中點。求證：CE⊥BE。

分析與思考：如果把上題圖中的△BEC去掉，就變成了這個題目的圖形，這道題與前面的題在思路和方法上有根本性的改變，但卻是“基本圖形”的另一種變化，讓學生了解圖形的多變和內在的聯系。在課堂教學中，學生展示了7種不同解法，開闊了學生的視野，通過每種解法的分析總結，也很好地訓練了學生的思維深度。需要注意的是，這是一個策略開放試題，課堂教學中“放”得開，也要“收”得住，要注意討論之后的反思與總結，以及回歸到課的主題“基本圖形”中來。

拓展提升，學以致用

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=9，BC=13，CD=4。①在線段AD上是否存在點E，使∠CEB=90°？如果存在，直接寫出E點的位置;如果不存在說明理由。②在直線AD上是否存在點E，使△CEB為直角三角形？如果存在，求出E點的位置;如果不存在說明理由。

分析與思考：第一個問題是前一題的變式，有一定的聯系，學生不需要理解考題的背景，讓學生在已建構知識的基礎上，進行探究，抓住問題的慣性，減少學生在課堂上的審題時間。第二個問題將“線段”引申為“直線”，將“直角”引申為“直角三角形”，儼然已演變為一道中考壓軸題。這樣從易到難，逐步完成了中考壓軸題的“破題”過程，有效克服了學生對中考壓軸題的畏懼心理。第二個問題中滲透了分類討論思想，第一類∠CEB=90°（如圖表a），其實就是上一環節中的題目;第二類∠ECB=90°、第三類∠CEB=90°（如圖表b、c），作如圖所示的輔助線就正好構成了“基本圖形”，這樣求解簡單易行。通過這樣的練習，學生達到做一題、會一類、通一片的效果。這樣學習，學生更好地認清問題的本質，提高學生獨立探究和解題能力。本專題復習利用一個基本圖形，整合了初中數學的部分核心內容：全等、相似、勾股定理、方程等。讓學生不僅會解一道題，而且會解一類題，從而提高學生的數學思維能力，真正實現專題復習課的高效性。

（作者單位：山西省靈石縣教育科技局教研室）