拼圖和公式教學案例

經歷不同的拼圖方法驗證公式的過程，能夠加深對因式分解、整式的運算和面積等的認識，通過驗證過程中數與形的結合，體會數形結合的思想，以及數學知識之間的內在聯系，獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增強對數學學習的興趣。

教學目標

知識與技能目標：學生借助圖形反映出部分“數”的幾何意義，初步用拼圖法將部分二次三項式進行因式分解。

過程與方法目標：經歷從具體問題抽象出數學問題，建立模型綜合應用已有知識解決問題的過程，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經驗。

情感、態度、價值觀目標：通過豐富有趣的數學活動，體會數學的奇妙，享受成功的樂趣。

教學重點：由“形”到“數”，可借助圖形反映部分“數”的幾何意義。

教學難點：理解拼圖與因式分解之間的內在聯系。

問題情境

師：同學們，在以往的學習中，你有過利用圖形獲得數學公式的經驗嗎？利用這個圖形你能獲得什么數學公式？

生：（a+b）2=a2+2ab+b2

師：你是如何分析題目得出這個數學公式？

生：把它看做一個整體得到面積為（a+b）2，分看計算面積得到面積為a2+2ab+b2。

設計意圖：回顧前面用不同的方法計算同一圖形的面積，引導學生從整體看，再從局部看，突出數學“算兩次”的思想。

活動材料：若干塊如圖所示的長方形和正方形硬紙片。

問題：選取適當的卡片，拼成一個長為（a+2b）寬為（a+b）的長方形。

學生拼圖，展示。

師：你能發現圖中隱藏的等式嗎？請將它寫下來。

生：①（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 ② a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）

設計意圖：學生體會到拼圖既可以進行整式計算，又可以進行因式分解，整式運算不用拼圖也能計算，不熟悉的多項式用已有的知識不能進行因式分解，但可借助拼圖進行分解，突出本節課的重點。

討論交流。

師：下面請剛才拼圖成功的學生分享拼圖的經驗。

生：根據長方形的長和寬，先拼出（a+b）或（a+2b）然后再去補拼其余部分。

師：如果直接讓我們拼一個面積為a2+3ab+2b2長方形，如何拼呢？

師：大家在拼圖時，感到困難的地方在哪里？

生：不知道需要多少卡片。

師：結合所給的卡片，你知道“a2”“ab”“b2”的幾何意義嗎？

生：a2是小正方形的面積，ab是長方形面積，b2是大正方形的面積。

師：那要拼一個面積為a2+3ab+2b2，你知道如何選擇卡片了嗎？

生：1張小正方形，3張長方形，2張大正方形。

設計意圖：教師引導學生分析二次三項式的結構特點以及它們的幾何意義，學生初步感受到不同紙片的選擇數量與系數之間的關系。（嘗試訓練）

師：任意選取若干塊上述所給紙片，嘗試拼成一個長方形，使它的面積 a2+4ab+3b2，并寫出相應等式。

生：a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b）

師：你是如何選取卡片的？

生：1張小正方形，4張長方形，3張大正方形。

設計意圖：學生能初步做到有意識地選擇卡片進行拼圖，并能結合圖形寫出等式;學生初步體會利用拼圖把二次三項式進行因式分解。

問題解決

利用拼圖的方法分解因式：2a2+5ab+2b2

設計意圖：學生能有意識、有技巧地選擇卡片進行拼圖，把二次三項式進行因式分解，初步形成拼圖的一般方法。

思考：你能用卡片拼一個面積為 a2+3ab+b2的長方形嗎？

設計意圖：第一，讓學生意識到并不是所有的面積都可以用卡片拼成長方形;第二，并不是所有的二次三項式都能利用拼圖進行因式分解;第三，能拼成長方形就能因式分解，能因式分解就能拼。

師：如果不能，是否可以添加或減少紙片數量，使之拼成一個長方形？

生：可以添加一個小正方形或一個大正方形，或減少一個長方形。

設計意圖：學生初步感受到二次三項式能否進行因式分解與它們的系數有關;學生能理解圖形與所得等式之間的聯系。

教學反思

本節課總體的設計理念：無意識地拼圖——教師引導下的有意識地拼圖——學生有技巧、有意識地拼圖——畫圖形因式分解——研究系數特點。

本節課借助于紙片進行拼圖活動，經歷操作、探究、解決問題的過程，探索拼圖與因式分解之間的內在聯系，先由“形”得到一些關于“數”的結論，然后借助圖形反映出部分“數”的幾何意義，在動手“做”中向知識的縱深發展，積累有效的基本數學活動經驗。

（作者單位：江蘇省南京市高淳區固城中學）