化歸思想在數學教學中的應用

【摘 要】所謂化歸，就是轉化與歸結，將待解決或未解決的問題，通過某種手段與方法經過分析、聯想、類比、思維等過程，選擇恰當的方法將問題歸結到一類已經解決或較容易解決的問題，最終求得問題的解決。在數學教學中，化歸思想隨處可見，應用廣泛。

【關鍵詞】數學教學 教學方法 解題方法

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0179-01

日本教育家米山國藏曾經指出：“學生們在初中、高中接受的知識，出了校門很快就忘記了，然而數學思想、精神、思維、研究、推理等方法卻終生難忘”。數學教學主要培養學生分析問題、解決問題的能力。問題是數學的心臟，而化歸思想是分析問題、解決問題的基本思想。著名教育家、數學家G波利亞在《怎樣解題》一書中說道：“不斷變換你的問題，直到最后成功地找到有用的東西為止”，這實際上就是化歸思想。

下面我們從幾個方面來歸納化歸思想在數學教學中的應用。

一 不等式與函數

一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者之間有著緊密的聯系，我們也經常將它們互相轉化來解決相應的問題。

已知f（x）= （n≥2），當a∈[0，1）

時，求證：2f（x）

分析：欲證：2f（x）

即證：（1x+2x+…nxa）-n（12x+22x+…+n2xa）<0，

這樣可以構造一元二次函數如，G（T）=nT2-2（1x+2x+…nxa）T+（12x+22x+…+n2xa）。

經過整理得：

G（T）=（T-1x）2+（T-2x）2+…+（T-nxa）2+n2xa-n2xa2

=（T-1x）2+（T-2x）2+…+（T-nxa）2+n2xa（1-a）

∵a∈[0，1）

∴G（T）恒大于0，那么G（T）的判別式恒小于0。

本題得到證明。

該題充分體現了將一元不等式的問題轉化到一元二次函數，將復雜問題簡單化的化歸思想。

二 代數與三角

若x、y、z∈R，求證： + + = ×

× 。

分析：直接通分化簡。但是化為三角更加簡潔。

證明：設：x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，（α-β）+（β-γ）=-（γ-α），tan[（α-β）+（β-γ）]=

-tan（γ-α），即： =-tan（γ-α）。

經化簡整理，本題得到證明。

三 高次向低次

一些高次方程、高次不等式、高次函數的問題，無法直接求解或很困難，因此我們可以將高次向低次進行化歸。

求函數y=sin4x+cos4x的周期、對稱軸。

分析：在三角函數的圖像與性質中，周期公式、對稱軸方程是針對一次的正（余）弦型、正切函數而言的，所以要將該高次函數向低次轉化。

解：y=sin4x+cos4x

=（sin2x+cos2x）2-2 sin2xcos2x

=1- ×（4sin2x cos2x）

=1- sin22 x= cos4x+

這樣我們就根據公式得到相應的周期和對稱軸方程。

四 數與形

判斷方程x+m= 實數根的情況，并求相應的m的范圍。

分析：這個問題如果從代數的角度來求解，思考的過程紛繁復雜。將其化歸為圖形進行分析，利用圖形解決該問題。

解：如圖，設y1= 其

圖像為單位圓在軸上方的部分，

-y2=x+m是斜率為1的一束

平行線，結合圖像。（1）當m<

-1或m> ，兩條曲線沒有交

點，即原方程沒有實數根。（2）

當m= 或-1≤m<1時，兩

條曲線只有一個交點（相切、相交），即方程只有一個實數根。（3）當1≤m< 時，曲線有兩個不同的交點，即原方程有兩個不等的實數根。

數學化歸思想是沿著復雜問題簡單化、生疏問題熟悉化、抽象問題形象化具體化的方向進行的。化歸是一種思想，一種思維模式。我們老師在日常的教學過程中要注重數學化歸思想的培養、滲透和應用。

〔責任編輯：林勁〕