中職數(shù)學(xué)中圓錐曲線定義教學(xué)法

【摘 要】本文選用六個非常巧妙的體現(xiàn)圓錐曲線定義的典型例題進行兩兩類比分析講解，來鞏固和強化橢圓、雙曲線、拋物線的定義。

【關(guān)鍵詞】橢圓 雙曲線 拋物線 定義 典例

【中圖分類號】G712 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0171-02

基于中職生薄弱的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義讓他們理解起來相當(dāng)費勁。作為中職數(shù)學(xué)教師，如何讓圓錐曲線的定義在學(xué)生心中根深蒂固，筆者通過多年的中職教學(xué)經(jīng)歷，采取選擇典型范例輔助教學(xué)的方法取得較好的教學(xué)效果。選用體現(xiàn)圓錐曲線定義的典型例題，最好能夠非常巧妙地讓定義在解題中發(fā)揮作用，通過引導(dǎo)學(xué)生解決你所選的典例，讓學(xué)生體會到運用定義后問題的解決水到渠成，思路茅塞頓開，頭腦豁然開朗，今后觸類旁通。下面舉六個典例供讀者分享。

一 體現(xiàn)橢圓定義的典型范例

橢圓有兩個定義。第一定義：平面內(nèi)動點P到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的點的軌跡，其中兩個定點F1，F(xiàn)2是橢圓的焦點。用數(shù)學(xué)語言描述為：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，其中2a>2c>0。第二定義：平面內(nèi)動點P到定點F的距離與動點P到定直線距離的比為常數(shù)的點的軌跡。其中定點是橢圓的一個焦點，定直線是相應(yīng)于該焦點的一條準(zhǔn)線，常數(shù)是該橢圓的離心率。橢圓的離心率0

例1：點P是橢圓 上一點，F(xiàn)是橢圓的左焦

點，其中 ，求點P到該橢圓的左準(zhǔn)

線的距離。

分析講解：（邊講邊畫示意圖）由 ，得

知點Q是PF的中點，要求點P到左準(zhǔn)線的距離|PN|，由橢

圓的第二定義，有 ，要求|PN|，必須先求|PF|，

而題目已知 ，若把點P與該橢圓的右焦點F′連線，則不難發(fā)現(xiàn)直線OQ是△PFF′的中位線，由 ，得 ，知道了 ，如何求|PF|呢？這時引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生會很自然地想到橢圓的第一定義的運用。由橢圓第一定義得|PF|+|PF′|=2a=10，而|PF′|=8，故|PF|=2，把|PF|=2

帶入 不難算得 。該題非常巧妙地滲透了

橢圓的兩個定義，真所謂一題兩義，一石二鳥，一箭雙雕，通過該題可以讓學(xué)生對橢圓的兩個定義有個更好的記憶媒介，從而讓橢圓的兩個定義在學(xué)生心中扎根。

二 體現(xiàn)雙曲線定義的典型范例

雙曲線有兩個定義。第一定義：平面內(nèi)動點P到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值為常數(shù)2a（0<2a<|F1F2|）的點的軌跡，其中兩個定點F1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點。用數(shù)學(xué)語言描述為： ，|F1F2|=2c，其中0<2a<2c。第二定義：平面內(nèi)動點P到定點F的距離與動點P到定直線距離的比為常數(shù)的點的軌跡。其中定點是雙曲線的一個焦點，定直線是相應(yīng)于該焦點的一條準(zhǔn)線，常數(shù)是該雙曲線的離心率，雙曲線的離心率e>1。

例2：點P是雙曲線 上一點，F(xiàn)是雙曲線的左

焦點，其 ， 求點P到該雙曲線的左

準(zhǔn)線的距離。

分析講解：（邊講邊畫示意圖）由 ，得

知點Q是PF的中點，要求點P到左準(zhǔn)線的距離|PN|，由雙

曲線的第二定義，有 ，要求|PN|，必須先求|PF|，

而題目已知 ，若把點P與該橢圓的右焦點F′連線，則不難發(fā)現(xiàn)直線OQ是△PFF′的中位線，由 ，得|PF′|=8，知道了|PF′|=8，如何求|PF|呢？這時引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生會很自然地想到雙曲線的第一定義的運用。由雙曲線的第一定義得 ，而|PF′|=8，解得|PF|=4或

12，把|PF|=4帶入 不難算得 ；把|PF|=12

帶入 ，不難算得|PN|=8，故所求距離是8或 。

該題如上面典例1一樣，也非常巧妙地滲透了雙曲線的兩個定義，一題兩義，一石二鳥，一箭雙雕，通過該題可以讓學(xué)生對雙曲線的兩個定義有個更好的記憶媒介，從而讓雙曲線的兩個定義在學(xué)生心中扎根。

通過橢圓與雙曲線的兩個定義類比，結(jié)合以上的兩個體現(xiàn)兩個定義的典例，能讓學(xué)生對橢圓和雙曲線的兩個定義在心中相互“呼應(yīng)”，對橢圓和雙曲線就像“孿生兄弟”一樣熟悉。

三 橢圓與拋物線定義交匯的典型范例

拋物線只有一個定義：平面內(nèi)動點P到定點F的距離等于動點P到定直線l的距離的點的軌跡。設(shè)動點P到定直線l的距離為|PN|，則拋物線的定義用數(shù)學(xué)語言描述為：|PF|=|PN|，其中定點F為拋物線的焦點，定直線l為拋物線的準(zhǔn)線。拋物線的離心率永遠為1。

例3：橢圓 的左準(zhǔn)線為l，左右焦點分別為

F1，F(xiàn)2；拋物線C2的準(zhǔn)線也為l，焦點為F2，若點P是曲線C1與C2的一個交點，求|PF1|。

分析講解：依題意畫出示意圖，作PN⊥l于N，為了看起來更簡潔，連接PF2。令|PF1|=r1，|PF2|=r2，由橢圓的第

一定義有r1+r2=2a=4，由橢圓的第二定義有 ，

由拋物線的定義有r2=PN，由上面的三個方程易得 ，

即|PF1|= 。該題非常巧妙地把橢圓和拋物線“雜交”，只

要結(jié)合題意畫出示意圖，應(yīng)用定義可輕松獲解，借助該題可讓學(xué)生對橢圓和拋物線的定義有了更直觀和感性的印象。

四 雙曲線與拋物線定義交匯的典型范例

例4：雙曲線 的左準(zhǔn)線為l，左右焦點分別

為F1，F(xiàn)2；拋物線C2的準(zhǔn)線也為l，焦點為F2，若點P是曲線C1與C2的一個交點，求|PF1|。

分析講解：該題與上面的典例3類似，解法也類似，依題意畫出示意圖，作PN⊥l于N，為了看起來更簡潔，連接PF2。

令|PF1|=r1，|PF2|=r2，由雙曲線的第一定義有|r1-r2|=2a=8，由已知r1>r2故r1-r2=8，由雙曲線的第二定義

有 ，由拋物線的定義有r2=PN，由上面的三個方

程易得r2=32，即|PF2|=32。該題非常巧妙地把雙曲線和拋物線“雜交”，只要結(jié)合題意畫出示意圖，應(yīng)用定義可輕松獲解，借助該題可讓學(xué)生對雙曲線和拋物線的定義有了更直觀和感性的印象。

五 雙曲線與拋物線交匯求雙曲線離心率的典型范例

例5：已知拋物線y2=2px（p>0）與雙曲線

有相同的焦點F2，點A是兩曲線的交點，且AF2⊥x軸，求雙曲線的離心率。

解析講解：依題意畫出示意圖，設(shè)F1是雙曲線的左焦點，過F1垂直于x軸的直線是拋物線的準(zhǔn)線，作AN垂直該準(zhǔn)線于N，由拋物線的定義得AF2=AN，顯然，AN=F1F2所以AF2=F1F2，在直角△AF1F2中，AF2=F1F2=2c，由勾股定理得AF1= ，由雙曲線的第一定義AF1-AF2=2a=

-2c，從而雙曲線的 。

六 橢圓與拋物線交匯求橢圓離心率的典型范例

例6：已知拋物線y2=-2px（p>0）與橢圓

有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，求橢圓的離心率。

解析講解：依題意畫出示意圖，設(shè)F′是橢圓的右焦點，過F′ 垂直于x軸的直線是拋物線的準(zhǔn)線，作AN垂直該準(zhǔn)線于N，由拋物線的定義得AF=AN，顯然，AN=FF′所以AF=FF′，在直角△AFF′中，AF=FF′=2c。

由勾股定理得AF′= ，由橢圓的第一定義有AF+AF′=2a= +2c。

從而橢圓的 。

以上的六個例題用來強化橢圓、雙曲線、拋物線定義效果非常好，典例1、2類比，典例3、4類比，典例5、6類比，效果更佳。

〔責(zé)任編輯：林勁〕