高中數(shù)學(xué)拋物線兩個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)

【摘 要】筆者在研究拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)了拋物線的兩個(gè)結(jié)論，拋物線上的切線有很多性質(zhì)，它能和許多角聯(lián)系起來(lái)，解決一些角與角的轉(zhuǎn)換問題，通過參考文獻(xiàn)，筆者現(xiàn)將之整理成文，現(xiàn)與大家共同探討。

【關(guān)鍵詞】拋物線 切線 角平分線 重要結(jié)論

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）12-0128-02

一 兩個(gè)結(jié)論

結(jié)論1：如圖1，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線上任意一點(diǎn)，MT是拋物線在M的切線，MN是法線，ME是平行于坐標(biāo)軸的直線，則法線MN必平分∠FME，即φ1=φ2。

結(jié)論2：如圖2，M、N、P三點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，M、N在P點(diǎn)異側(cè)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過P向拋物線引兩條切線PA、PB，則PA、PB平分∠FPM，∠FPN。

上述兩個(gè)結(jié)論主要考查直線、拋物線、曲線的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)。

二 通性通法分析

比較這兩個(gè)結(jié)論可以看出它們的共同特征：（1）條件：拋物線上的切線問題，給定拋物線C：y2=2px。結(jié)論1是在拋物線上任取一點(diǎn)M做一條切線MT，結(jié)論2是從拋物線準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)P向拋物線上引兩條切線PA、PB。切點(diǎn)為A、B；（2）研究的問題相近：切線平分角的問題，涉及直線與焦點(diǎn)有關(guān)。查閱高考試題及有關(guān)高中的數(shù)學(xué)資料，可以找到諸多與此相似的問題，由于拋物線方程可以看作為函數(shù)的表達(dá)式，因而研究的思路更加寬闊、活躍，在高考試題中頻頻出現(xiàn)。

求拋物線切點(diǎn)弦所在直線方程的常見通法是：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率寫出切線方程，利用已知點(diǎn)在切線上展開思路。（2）聯(lián)立方程研究位置關(guān)系。利用已知設(shè)出切線方程，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，利用判別式為0展開思路。（3）待定所求直線方程，通常用斜截式。聯(lián)立直線方程與拋物線方程，用韋達(dá)定理列出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式消參求出所待定的系數(shù)。用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率和聯(lián)立方程研究直線與拋物線的位置關(guān)系均為課標(biāo)的要求，在人教A版教材中的例、習(xí)題中都有相應(yīng)的題目。

三 解題思路和策略

兩個(gè)結(jié)論都先從導(dǎo)數(shù)的幾何意義入手，將切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來(lái)。

結(jié)論1是根據(jù)兩垂直直線斜率之積等于-1，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出垂直與切線且經(jīng)過切點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出此直線與拋物線軸的交點(diǎn)坐標(biāo)N，計(jì)算出|FN|和|FM|的長(zhǎng)度，判斷出△FNM是等腰三角形，再根據(jù)ME∥軸線推出內(nèi)錯(cuò)角相等，即證。詳細(xì)證明過程如下：

結(jié)論1證明：取坐標(biāo)系如圖，設(shè)此時(shí)拋物線方程為y2=2px（p>0），因?yàn)镸E平行x軸（拋物線的軸），∴φ1=φ2，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），對(duì)y2=2px兩邊求導(dǎo)得：2yy′=2p。

即： 所以，直線MT的斜率為 。

則法線MN的方程是y-y0=- （x-x0），令y=0，

便得到法線與x軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)（x0+p，0），所以|FN|=

|x0+p- |=x0+ ，又由拋物線的定義可知，|MF|=x0+ ，

∴|FN|=|FM|，由此得到φ1=φ2=φ3，若M與頂點(diǎn)O重合，

則法線為x軸，結(jié)論仍然成立。

結(jié)論2是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式寫出切線PA所在的直線方程，根據(jù)角平分線定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，得出切點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離與切點(diǎn)A到PF的距離相等。得出PA平分∠FPM，同理得出PB平分∠FPN。

詳細(xì)證明過程如下：

所以點(diǎn)A到FP的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，故PA平分∠FPM，同理PB平分∠FPN。

四 學(xué)生應(yīng)該突破的瓶頸

第一，在解題過程中，不會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的重要工具，導(dǎo)數(shù)的幾何意義使得求曲線的切線方程十分便捷。

第二，沒有養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)、分析問題的好習(xí)慣。這類問題的典型特征是變量多、關(guān)系式復(fù)雜，容易使學(xué)生迷失方向，看到很多式子不知如何推算。而產(chǎn)生這種問題的原因是沒有用數(shù)學(xué)思想去指導(dǎo)分析問題，沒有從整體上對(duì)解題進(jìn)行規(guī)劃，明確解題的方向路線。解題思路是圍繞如何選擇有效途徑消參來(lái)展開，推算則不再盲目。

參考文獻(xiàn)

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[2]傅建紅.圓錐曲線綜合問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：數(shù)學(xué)金刊（高考），2013（1）

[3]龔偉楓、吳潔.圓錐曲線新解[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013（4）

〔責(zé)任編輯：林勁〕