自然對數底e在現實生活中的應用

【摘 要】本文從自然對數底e的由來出發，結合自然對數底e與其極限的關系，探究并總結其極限形式在現實生活中的應用，進而說明標準極限形式的使用價值。

【關鍵詞】自然對數底e 數列極限 復利律 自然律

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0071-01

一 自然對數底e的由來

e作為數字常數，我們會經常用到，在高中的課本上我們第一次認識它。e是自然對數函數的底數，有時稱它為歐拉數，是以瑞士數學家歐拉命名的。e是怎么來的呢？在歷史上，自然對數底e曾和一個商人借錢的利息息息相關。從前，有個商人向一個財主借錢，但是財主有個條件：每借1元，一年后的利息是1元，年利率100%，即一年后連本帶利還2元；財主好高興，利息好多啊！財主仔細算著，半年的利率為50%，本息是1.5元，一年后還1.52=2.25元。如果半年結一次賬，利息豈不比原來還多，那如果一年結3次，4次……365次，那不是發財了嗎？

財主算了算，每年結算3次，1元錢到期的本息和是：

（1+ ）3=2.37037……元，每年結算4次，1元錢到期的

本息和是：（1+ ）4=2.44140……元，財主又想，一年結

算1000次：（1+ ）1000=2.71692……元。結果令財主

大失所望，他本想結算次數越多，利息增長得越快，沒想到

（1+ ）n的值隨著n的增大而增大，但是增加的數值極其有

限，并且不管結算多少次，連本帶利的總和不可能突破一個

上限。數學家歐拉把（1+ ）n的極限記作e。e=2.71828……，

即自然對數的底。

二 自然對數底e的應用

1.關于復利計算的應用

生活中關于e本身的應用不是很多，但是它的極限形式

（1+ ）n有很多重要的應用。以e為底的對數叫作自然對

數，它自然反映的是與自然界的現象有關的函數關系，我們把以e為底的指數或對數和自然界的關系叫作自然界的復利律。愛因斯坦說：復利是世界第八大奇跡，世界上最偉大的力量不是原子彈，而是復利。復利的計算是對本金及其產生的利息一并計算，也就是利上有利，它的計算特點是，把上期末的本利和作為下一期的本金，在計算時每一期本金的數額是不同的，其計算公式是：s=p（1+i）n。其中s=總和，p=本金，i=利率，n=持有期限。

2.關于信道容量的應用

信道容量是信道的一個參數，反映了信道所能傳輸的最大信息量，其大小與信源無關。對不同的輸入概率分布，互信息一定存在最大值，我們將這個最大值定義為信道的容量。信道容量分析是信息論研究的重要內容，帶限加性高斯白噪聲信道的容量分析是一類典型的問題。帶限是指傳輸通道的頻帶限定在某一范圍內，設帶寬為B，干擾噪聲為加性噪聲，且服從均值為零，方差為N0的高斯分布，設可用的總功率為PS，由著名的香農信道容量公式，得平均信道容量

為：C（PS）=Bln（1+ ）。根據公式分析，同時增加帶

寬和發射功率，在一定條件下可以使信道容量增加，在擴頻

通信中，如CDMA系統中常采用這樣的方法。在 固定

的情況下，增加傳輸信號占用的頻帶，則可以擴大系統容量。但是在衛星通信中，頻譜資源非常豐富，而能量資源有限，PS不能無限增加，在PS固定的情況下，如果通過增加帶寬

增加容量呢？ ，根據這

個極限形式，我們發現，無限增加帶寬帶來的容量增加是有限的。通過這些簡單的極限計算，我們能認識到這種方法的局限性，也避免了盲目的嘗試。

3.數學美之自然對數底e

說到數學美，最先想到的必定是“一”，它具有更多的變換群作用下的不變性，是擁有自然普遍規律的表現。可以與之媲美的自然是自然對數底e，它有著直線的剛勁與坦率、曲線的優美與含蓄。

自然律是e及由e經過一定變換和復合的形式，e是自然律的精髓，也是自然律量的表達。自然律的形象表達是螺線，螺線的數學表達式通常有五種：（1）對數螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）回旋螺線。英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲很早便體會到，旋渦形和螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。

自然律一方面體現了自然系統朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統只有通過一種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展（如細胞繁殖）的本質，正是具有這樣把有序和無序、生機與死寂予以同一形式的特點，自然律才是在美學上有重要價值。

自然對數的底及其極限形式在生活中的應用還有很多，需要我們善于挖掘與總結。

參考文獻

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