反證法在實變函數教學中的應用探析

【摘 要】反證法是一種重要的證明方法，在許多數學問題的證明上具有重要作用，可以將一些運用直接證明方法難以證明的問題很容易地證明出來。本文主要介紹反證法的概念及特點，并通過幾個典型的例題，說明反證法在實變函數教學中的應用。

【關鍵詞】反證法 實變函數

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0068-01

數學的證明方法主要分為直接證明和間接證明。反證法是間接證明的一種，在數學證明中有著獨特和重要的作用，不管是在初等數學還是在高等數學中，反證法的應用都十分廣泛。反證法能將一些正面復雜的問題簡單化，即避開問題的正面，從反面尋求解決辦法。任何問題都能一分為二，其中一面復雜，另一面自然相對簡單。這是反證法的直觀理解，下面給出嚴格的定義。

一 反證法的概念及一般解題步驟

1.定義

反證法指的是從反面的角度，對問題進行思考的一種證明方法。換言之，就是對題設肯定，卻對結論否定，在這個過程中推出明顯的矛盾（主要包括與題設的矛盾，與已知定理、公理、定義和性質的矛盾），從而得出原命題成立。

2.邏輯依據

反證法的證明方法之所以可靠，其邏輯依據就是邏輯學中的矛盾律和排中律。人們在實踐中得出這樣的規律：對于任何一個命題，它要么是真命題，要么是假命題，不可能出現既真又假，不真不假的情況，也即是說不可能有第三種情況的存在。這就體現了邏輯學中的矛盾律和排中律。

3.一般的解題步驟

反設：假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立。

歸謬：從這個命題出發，經過推理證明得出矛盾。

結論：由矛盾判斷假設不成立，從而肯定命題的結論正確。

二 實變函數教學中適用反證法的幾種問題

證明某些存在性問題，這類問題需要證明存在即可，從正面去證需要一一驗證，有時不容易做到，這時可以運用反證法，否定結論得出矛盾會容易一些。

例1，若 的基數為c，證明：存在n0，使得An0的

基數也是c。

證明：由于 =c，我們不妨設 。用反證法，

若

=pi（Ai），i=1，2，…，則 ≤

所以對每個i，存在εi∈R＼ 。于是ε=（ε1，ε2，…，εn，…）

∈E∞。下證 。事實上，若 ，則存在i，使

得ε∈Ai，于是εi=pi（ε）∈pi（Ai）= ，這與εi∈R＼

矛盾，所以 ，這又與ε∈E∞矛盾，所以至少存

在某個i0，使 。

對于存在性的問題，從反面證明比正面證明容易下手，證明過程也比較簡單，所以對于這類存在性問題的教學，采用反證法會起到很好的效果。

1.證明某些集合相等或包含命題

這一類命題，當從正面很難推導出集合之間的包含關系時，則考慮從反面運用反證法證明。

例2，證明（AB）′=A′。

證明：因為A?AB，B?AB，故A′?（AB）′，B′?（AB）′，從而A′′?（AB）′。另一方面，假設P?（AB）′，則必有P?A′′。否則，若P ? A′′，那么將有P ? A′且P ? B′，因而有P的某一鄰域（P），在（P）內除P外不含A的任何點，同時有P的某一鄰域（P），在（P）內除P外不含B的任何點，則由鄰域基本性質知，存在（P）?（P）（P），在（P）中除P外不含AB的任何點，這與P?（AB）′ 的假設矛盾。

在這個題目中，如果直接證明，由于P?（AB）′ 不能直接推出P?A′或P?B′，所以直接證明行不通，只能轉化為反面才能證明。由此可以看出反證法在證明集合相等方面的重要性。

2.證明某些函數列收斂命題

這類命題的特點是，正面直接推導時，沒有相關的定理或性質作為依據，即所給的條件不滿足已知的定理。此時，需要從問題的結論出發進行推導，得出與條件的矛盾。

例3，設mE<+∞，對于{fn}的任何子函數列{fnk}，存在{ fnk }的子函數列{ fnkj }，使得 fnkj（x）=f（x）a.e.于E，

證明在E上依測度收斂于f（x）。

證明：若在E上，fn（x）不依測度收斂于f（x），則存在

δ0>0，使得 mE[| fn-f |>δ0]≠0，從而可知，存在ε>0以及

子函數列{ fnk }，使得mE[| fn-f |>δ0]>ε>0。又可知，存在{ fnk }

的子函數列{ fnkj }在E上a.e.收斂于f，由于mE<+∞，由勒貝格定理，fnkj（x）在E上依測度收斂于f（x），得出矛盾，則假設不成立，因此在E上fn（x）依測度收斂于f（x）。

三 結束語

由以上幾個簡單的小例子可以看出，反證法在實變函數教學中的應用很廣泛，應該要求學生掌握這種證明方法。并且，在講解時，重點是讓學生掌握這種證明方法的思想和內部邏輯依據，這樣才能真正達到教學效果。

參考文獻

[1]程其襄、張奠宙、魏國強等編.實變函數與泛函分析基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010

[2]楊婷.數學中反證法的應用[J].佳木斯教育學院學報，2013（3）

[3]王樹忠.數學分析教學中的“反證法”探析[J].林區教學，2007（7）

〔責任編輯：龐遠燕〕