充要條件的教學淺析

充要條件是數學中一個重要概念，包括充分條件、必要條件、充要條件。它主要討論命題的條件與結論的關系。本文擬通過課堂教學分析，使學生透徹理解和掌握這些關系及其本質特征，并能正確地應用這些概念對數學命題的條件和結論之間的邏輯關系作出判斷，進而激發學生學習數學的積極性，培養學生邏輯思維能力，提高課堂教學的有效性。教學分析如下：

一、充分條件

定義：性質A對于性質B的存在是充分的特征，如果有A的成立，可以得到B的成立。這就是說，條件A能保證結論B的成立，即條件A對于結論B的成立是充足的。

例1 如果兩個三角線全等，那么這兩個三角形的面積相等。

例2 若a，b都是正數，則ab也是正數。

例3 如果f（a）=0，那么多項式f（x）能被x-a整除。

在例1中，顯然兩個三角形全等的條件，完全保證了這兩個三角形面積相等的結論的成立；如果把條件改為兩個等底等高的三角形，這個結論仍能成立。但是，如果把命題的條件和結論互換，即如果兩個三角形的面積相等，就不一定是全等三角形。

根據上面的討論，對于充分條件的特征我們可以概括為：有此則必然，無此未必然。現在我們對這一特征作具體的分析：

（1）所謂“有此則必然”，記作A B，即表示只要具備了條件A，事件B一定能夠成立。如例2，a，b都是正數的條件，也完全保證了積ab是正數的這個結論成立。

（2）所謂“無此未必然”，應作兩方面理解，即“未必然”包含著“然”與“不然”兩種可能。

（1）先看“無此也可然”的情形，如例2，如果把條件改為a，b都是負數，結論也仍然成立，這說明，對于充分條件，只要有此即可，并不是非此不可。換句話說，把條件A撤換后，命題中的結論仍有成立的可能。

（2）再看“無此也可不然”，如例3，如果f（a）≠0，那么多項式f（x）就不能被x-a整除。這就是說，如果沒有條件A，事件B就不可能成立。

（3）如果把條件和結論互換（或互否），命題不一定成立，即B A不真（或A B不真）。仍如例2，若ab積為正數，這兩個數不一定是正數。

事實上，例1，例2，例3的條件對于各自結論的成立來說都是充分條件，而例1，例2由于他們的逆命題或否命題不真，則條件僅僅是充分的。

二、必要條件

定義：性質B對于性質A的成立，是必要的特征，如果B不成立時，不可能有A成立。這就是說，如果沒有條件B就沒有結論A，那么就說條件B對于結論A的成立是必要的。

例4 如果tanA=tanB，那么A=B。

例5 對應角相等的兩個三角形全等。

我們可以看出，這兩個命題是不成立的，但他們的逆命題都成立。另一方面，命題中條件對于推出各自的結論又都是必不可少的。但僅有這些條件，對于保證結論的成立，也還是不夠的，而沒有這些條件，結論就不成立。

類似前面的討論，對于必要條件的特征，也可概括為有此不必然，無此必不然。我們也對這個特征作具體分析：

（1）所謂“有此不必然”，即如果具備了條件B，不能保證結論A一定成立。這里也包含著“然”與“不然”兩種可能。如例4，例5的條件就不能保證結論一定成立，因此是不夠的。而前面例3的條件，對于結論的成立是必要的，又是充分的。

（2）至于“無此必不然”，就是說如果沒有條件B，則事件A就不能成立，即條件B是不能被撤換的。如例4，顯然若tanA≠tanB，則A≠B。

（3）如果把條件B和結論A互換（或互否），命題一定成立。即逆命題或否命題為真。如例5，若兩個三角形全等，則他們的對應角相等。

例3，例，4，例5的條件對于各自結論的成立來說，都是必要條件，而例4，例5，由于只是逆命題為真而原命題不真，即條件并不能保證結論一定成立，故條件僅僅是必要的。

三、充要條件

定義：性質A對于性質B是充分必要的特征，如果A的成立，得出B的成立；并且A不成立時，不可能有B成立。這就是說：如果原命題的成立，他的逆命題也成立，則我們說原命題的條件是既充分而又必要的，也即A B。

例6 若b2-4ac=0，則實系數方程ax2+bx+c=0（a≠0）必要等根。

例6還可敘述成：要使實系數方程ax2+bx+c=0（a≠0）有等根，必須且只須b2-4ac=0。這里術語“必須”表示“必要條件”，而“只須”就表示“充分條件”。同樣，對于例3我們也可敘述為“要使多項式f（x）能被x-a整除，必須且只須f（a）=0”或當且僅當f（a）=0，多項式f（x）能被x-a整除”。

如果A是B的充分必要條件，那么B也是A的充分必要條件。在實際應用中，我們把充分必要條件簡稱為充要條件。同時，還必須了解，我們說充分條件，應視為也包含充要條件，不要把它看成只“僅僅是充分的但非必要的”，即充分條件可以是充要條件，也可以是“僅僅是充分的”，對于必要條件，也可作同樣的理解。

（作者單位：襄陽職業技術學院）