重視數學實驗 提升課程能力

【摘 要】數學實驗課與一般數學課的不同之處在于：素材的背景具有原生性，問題的揭示具有生成性，研究的內容具有綜合性，探索的過程具有實踐性，學習的方式具有自主性，思維的訓練具有延展性，目標的達成具有開放性。正因為如此，數學實驗課成為學生積累數學經驗、內化數學素養的載體，也成為提升教師課程能力的平臺。

【關鍵詞】數學實驗課 課程能力 自主建構 經驗 方法

數學實驗課以學生的學習活動為主體，以學生的親身體驗、再創造、再發現為主要途徑，強調學生與學生、學生與教師、學生與社會之間的合作與交流，注重激發學生的主體意識和主動建構的積極性，力圖改變傳統的課堂教學過分強調“執行教案”的狀態，容納師生的新體驗、新感悟，有即興發揮的創造，也有過程和結果的開放，最終引領學生“活學數學”“學活數學”。

一、解決問題、積累經驗是設計數學實驗課的基石

《初中數學課程標準》將過程性目標列為課程標準之一，積累數學活動經驗是過程性目標，而數學實驗課的開設就為學生積累數學活動經驗提供了機會。在這個過程中，學生和教師共同解決問題、積累經驗。

數學實驗課案例1：從排隊來認識負數

實驗活動1：首先，把全班學生按身高由低到高排成一列，并依次編為1號、2號……，然后再把學生分成4個學習小組，每組5-6人。學生回到各小組后完成下面兩個圖（線上寫姓名，線下寫數字）。學生在圖1中，把自己及小組成員的編號依次標在相應位置。在圖2中，要求學生首先把自己（我）放在0的位置上，再標出其他組員的對應位置。

實驗活動2： 把活動1中“按身高由低到高排成一列”改為“按年齡由小到大排成一列”，再完成與上面一樣的圖。

實驗活動3：讓學生自己確定排隊的標準，再完成相同的任務。

對于“認識負數”這一教學內容，一般的數學教學都是采用從具有相反意義的量引入，“把一個量記為正，那么另一個量就記為負”。大多通過“零上與零下”“上升與下降”“收入與支出”等實例的比較來強調引入負數的必要性，對學生而言都是被動地接受。許多學生難以感受到負數的實際存在，有的學生最終也不能理解“零并不表示沒有”這句話的真正涵義。

本案例將“認識負數”作為一節實驗課來上，可以幫助學生從生活經驗出發，不斷積累數學活動經驗，并自主完成從生活經驗到數學經驗的提升。學生在自主完成第一個圖時，其實就是把排隊時的“隊列”提升為圖上的“直線”，隊列中的“學生”提升為直線上的“點”，并對應一個數。在思考問題、解決問題的過程中完成了這一提升過程。面對第二個圖，學生在前面積累經驗的基礎上，進行較為深入的思考與合作交流，最終引出了負數。整個負數的引入過程親切自然，順理成章。學生切實感受到“負數的引入是必要的，負數就在我們身邊”，學生也自然而然地認識到：“由于‘0就是我’，所以‘零不能表示沒有’。”

本節數學實驗課沒有純粹的教師教的活動，更多的是從學生熟悉的生活場景出發，為學生營造一個寬松和諧、無拘無束的心理自由和安全的環境，讓學生以飽滿的熱情參與教學。體現了從學生熟悉的常識或基本的生活及學習經驗出發設計學習活動，讓學生在活動中體驗和感悟學習內容，尋求解決問題的途徑，獲得新知，解決問題，積累數學活動經驗，提高數學素養。這種思考與解決問題的方法，更符合人的認知規律，也是指導設計數學實驗課的思想基石。

二、提升經驗、學會方法是設計數學實驗課的核心

思想方法是數學的靈魂。它是眾多的數學問題解決后總結而成的，它凌駕于具體問題之上而熠熠生輝。數學思想方法對解決具體的數學問題具有指導作用，它不一定是非常明確的解題方法，但它總能指明解決問題的方向。

數學實驗課案例2：從翻轉茶杯來認識有理數的乘法法則

將學生4-5 人分為一組，按序編號，每小組選擇若干個大小一樣的茶杯。

數學實驗一：“3翻2”。3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經過若干次操作，能否使3只茶杯的杯口都朝下？

數學實驗二：“4翻2、3”。4只杯口都朝上的茶杯，先每次翻轉2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經過若干次操作，能否使4只茶杯的杯口都朝下？如每次翻轉3只茶杯呢？

數學實驗三：“5翻2、3、4”。5只杯口都朝上的茶杯，先每次翻轉2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經過若干次操作，能否使5只茶杯的杯口都朝下？如每次翻轉3只、4只茶杯呢？

數學實驗四：引導學生運用獲得的活動經驗，提出需要研究的問題——“5翻2”“5翻3”“5翻4”“6翻4”“6翻5”等。讓學生充分活動、交流、展示。

1.引導學生思考。

（1）“3翻2”是否的確無法實現？如何解釋？

提示：第一次翻轉后已有2只茶杯的杯口朝下，只有1只茶杯的杯口朝上；“每次翻轉2只茶杯”是否可以看作“將1只茶杯連續翻轉2次”？

（2）如何解釋“5翻2”也無法實現？

提示：第一次翻轉后已有2只茶杯的杯口朝下，還有3只茶杯的杯口朝上，問題轉化為上述的“3翻2”。

（3）關于“5翻3”。

提示：第一次翻轉后“5翻3” 轉化為“2翻3”；第二次翻轉后（將1只茶杯翻轉1次，另1只茶杯連續翻轉2次）問題轉化為“1翻3”；每次翻轉3只茶杯可以看作將1只茶杯連續翻轉3次。所以“5翻3”可以完成。

（4）一次“6翻4”的操作相當于進行兩次“6翻2”。

2.實驗結論。

在生活中，“杯口朝上” 與“杯口朝下”意義相反，數學上常用正負數表示具有相反意義的量。如用“+1”表示“杯口朝上”，那么“杯口朝下”就可以表示為“-1”。翻轉茶杯的問題就變為：經過若干次操作，表示各個杯子狀態的數字從“+1”變為“-1”。

下面我們用各個數字積來代表茶杯的整體狀況。翻轉1只茶杯，就是改變1只茶杯的杯口朝向，即相當于改變1個因數的符號。同時翻轉3只茶杯，就是同時改變3個因數的符號，這時若干茶杯的整體狀況改變；同時翻轉2只茶杯，就是同時改變2個因數的符號，這時若干茶杯的整體狀況不改變。這樣，我們就可以用有理數乘法運算的“符號法則”來解決“翻轉茶杯”的問題了，也就把“翻轉茶杯”的問題“數學化”了。

以“3翻2”為例 ：

由于每次翻轉兩只茶杯，整體狀態不發生改變，始終為“+1”，不可能變為目標狀態的“-1”，所以“3翻2”是不可能實現的。

3.方法應用：試用這種方法解釋其他情形。

“同號得正，異號得負，幾個非零因數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數的個數為奇數時，積為負，當負因數的個數為偶數時，積為正”。一般的課堂教學中都是教師隨意舉例得出法則，教會學生用來解題即可。很少有教師會細究法則的原因。而這節數學實驗課，使學生對這一法則有了進一步理解。

本節課針對問題情景，合理地設計數學實驗內容以及教學方法，既考慮到學生的直接經驗，啟發學生思考，以提升他們的數學活動經驗，也考慮到問題的數學實質，培養學生的數學素養，讓學生發現方法，講解方法，引導他們總結思想方法。從具體教學中可以看出，學生能夠借助所學的知識和生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，學生在實驗、討論、解決問題等活動中表現出來的興趣、好奇心、投入程度、合作態度、意志力和探索精神等，都比常態課要高得多。

三、運用方法、形成觀念是設計數學實驗課的靈魂

通過數學實驗活動，學生經歷了數學問題的提出、分析和解決的過程，通過對數學思想方法的領悟和內化，他們在頭腦中會逐步留下對數學的綜合性認識，這就是數學觀念。它是學生對數學的理性認識、情感、態度、價值觀的綜合體，對數學觀念的追求應該是學生學習數學最原始、最永恒、最有效的動力。一旦形成積極、正確的數學觀念，學生就會有學以致用的意識和能力，會積極參與合作學習，能夠積極思考、勇于探索，既能夠發現自己的思維方式中的錯誤，接受別人的幫助，調整思維策略，也能夠勇于懷疑、大膽創新，還能夠表現自我、展示思維、迸發智慧、體驗成功。

數學實驗課案例3：五邊形能鑲嵌嗎？

問題1：只用正方形或者是等邊三角形的地板磚能不能將一塊地面鋪滿？

實驗活動一：拿出準備好的正方形和等邊三角形的硬紙片試著拼。

問題2：正五邊形能鑲嵌嗎？

實驗活動二：拿出準備好的正五邊形硬紙片試著拼，觀察并討論為什么正三角形、正方形可以鑲嵌，而正五邊形不可以。

問題3：全等的三角形、四邊形能不能進行鑲嵌呢？

實驗活動三：拿出準備好的全等的三角形和四邊形，只利用全等的三角形或者只利用全等的四邊形，試著拼一下。

問題4：用不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌要具備什么條件？

實驗活動四：正五邊形是不可以進行鑲嵌的，普通的五邊形是否能夠鑲嵌呢？

對于這一問題，《教師用書》給出的參考答案是：“用全等的五邊形不能鑲嵌平面，因為在圖形的每一個拼接點處，無法用五邊形的某些角構成周角?！钡珜W生卻通過實驗、猜想、驗證發現五邊形是可以鑲嵌的。學生還通過網絡平臺發現，迄今為止，已經發現有十多種可以鑲嵌的五邊形。本課之所以這樣設計，就是從這一錯誤經驗出發，讓學生通過自我學習與積累，運用所掌握的方法，勇于懷疑、大膽創新，幫助他們養成良好的治學品質和嚴謹的學科素養，形成積極的數學觀念。沒有一種解題方法是最完美的，我們的數學課應該承擔起培養學生質疑能力的重任。每個學生的想法都有其發生、發展的過程，這些過程都應該被關注。也許有些想法是錯誤的，但這種錯誤也同樣有價值。讓學生參與實驗，不僅可以調動學生的積極性，還能發現教師解決問題的片面性。數學實驗課使合作探究成為可能，使知識的流動有了載體。

（本文獲江蘇省第十三屆“五四杯”中學青年教師教育教學論文競賽一等獎；作者單位：江蘇省連云港市朐山中學）