淺談數學作圖能力的培養

【摘 要】數學教學很大程度上是培養學生運用所學知識解決問題的能力，它是一個嚴密和系統的過程。如何讓學生在學習過程中體現出學習的主觀能動性是數學教學中的一個重要課題，方法有多種多樣，而在教學過程中著力培養學生的作圖能力，是調動學生學習積極性的一個切入點。

【關鍵詞】活動能力 作圖 思維力 分類思想

一、數學作圖與分類思想的形成

例如，等腰三角形的畫法應用的教學。

如圖1所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（ ）個。

此題在等腰三角形的概念基礎上，考查學生對概念理解的全面性，怎樣才能準確地畫出符合條件的P點，而且不重復、不遺漏，這就要求學生做到認真分析，從而在分析與作圖過程中培養分析和解決問題的能力以及分類思想的運用。

a.當AB為腰，點A為等腰三角形的頂點時，作以點A為圓心，AB長為半徑的圓，與直線AB、BC相交的交點都是符合條件的點P。

b.當AB為腰，點B為等腰三角形的頂點時，作以點B為圓心，AB長為半徑的圓，與直線AB、BC相交的交點都是符合條件的點P。

c.當AB為底邊時，則點P在線段AB的垂直平分線上。

故符合條件的點共有8個，如圖2所示。

這一類題目都可以歸結到“兩圓一線”的基本作圖上來，這類問題的探究既讓學生經歷了問題的探討過程，體會了知識的系統性，也在探索過程中培養了學生的分類思想和化歸思想，使學生對等腰三角形的作圖問題有一個全面系統的認識。

類比題：

（1）若以原點O為圓心的圓與直線AB切于點C，求C點坐標。

（2）在x軸上是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標，若不存在，請說明理由。

二、數學作圖與知識的形成

從知識的形成角度來說，教學過程中要強化過程意識，注意數學概念、公式、定理、法則的提出過程，重視知識的形成、發展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規律的概括過程。也就是說，教學中要加強過程教學，真正做到結論和過程并重。從這點上來說，數學作圖能力的培養與發展，能幫助學生加深對知識的形成、發展過程的理解。學生自己動手操作的過程，就是積累經驗、培養能力的過程。

例如，在三角形全等條件的探索中，作三角形是基本操作，也是學生應該掌握的作圖基本能力，同時對于學生正確理解三角形全等的條件也有著舉足輕重的作用。

通過兩邊和兩邊夾角作三角形，學生明白了，根據兩邊和兩邊的夾角所作出的三角形是唯一的，故兩次用同樣的條件作出來的圖形是一樣的，即可以重合，這說明滿足兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。其中，在強調這個全等事實時，必須指出，其中角的條件是兩條邊的夾角，若不是夾角，三角形會全等嗎？即滿足兩邊和一角相等的兩個三角形全等嗎？如圖4所示，△ABC和△ABD中，∠BAC和∠BAD是公共角，是一對相等角，AB是公共邊，以點B為圓心BC長為半徑的弧與AC邊相交于點D，所以BC=BD，在這個圖中滿足△ABC和△ABD有兩邊和一角相等，顯然兩個三角形不全等，學生通過作圖就能一目了然。

解決該題的關鍵點就是要會作圖，通過分類思想，得到三種情形，即①如圖5所示，5cm和6cm是30°角的夾邊，②5cm是30°角的對邊，③6cm是30°角的對邊。而通過作圖不難得到，當5cm為30°角的對邊時，又有兩種情況（見圖6），故本題有四種不同答案。而題中甲、乙、丙給出的解答都不全面，補上第四種情況（如圖7），即“6cm是30°角的對邊”，便可全面求解了。

初中數學課程標準要求，學生“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考”。要達到這一要求，教師就要在平時教學中重視學生數學作圖能力的培養。當然，學生作圖能力的培養不能指望“一蹴而就”，而要“細水長流”，持之以恒。借助作圖幫助理解、分析題意這種思想要貫穿于整個數學教學之中。

（作者單位：江蘇省高郵市卸甲初級中學）