初中數學方程與函數綜合題的幾種類型

摘 要：方程與函數綜合題是初中數學教學的主要內容之一。解這類綜合題，第一要掌握好數和式這些知識體系，它們是方程和函數的構成基礎；第二要掌握好方程的各種解法和相關定理，掌握好函數的概念及其各種性質，掌握好方程和函數間的各種聯系；第三要會適時恰當的運用方程與函數思想、轉化思想、分類思想，靈活運用配方、消元、代換、待定系數法等基本方法。

關鍵詞：初中數學；方程型綜合題；函數型綜合題；方程與函數型綜合題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）21-0062-03

方程與函數綜合題是歷年中考的必考內容，它主要是圍繞著方程和函數展開的，可分為三大類型：方程型綜合題、函數型綜合題、方程與函數型綜合題。

解方程與函數綜合題，第一要掌握好數和式這些知識體系，它們是方程和函數的構成基礎；第二要掌握好方程的各種解法和相關定理，掌握好函數的概念及其各種性質，掌握好方程和函數間的各種聯系；第三要會適時恰當地運用方程與函數思想、轉化思想、分類思想，靈活運用配方、消元、代換、待定系數法等基本方法。當然，解方程與函數綜合題，還要求我們有較強的分析問題和解決問題的能力，善于把綜合性的問題轉化為若干個基本問題來解決。下面我們逐一分析這三大類型：

一、方程型綜合題

方程型綜合題主要是以一元二次方程為主線，直接利用二次方程根的定義、方程的解法、根的判別式、根與系數的關系、不等式等有關知識來解決問題。

例1.設x1、x2是關于x的方程x2+4kx+3=0的兩個實數根，y1、y2是關于y的方程y2-k2y+p=0的兩個實數根。若x1-y1=2，x2-y2=2，求k和p的值.

分析：由根與系數的關系及已知，可建立關于k的二次方程，再利用根的判別式即可確定k的值，從而進一步求出p的值。

解：由已知得x1+x2=-4k，x1·x2=3，Δ1=16k2-4×3≥0；

y1+y2=k2， y1·y2=p，Δ2=k4-4p≥0.

∵x1-y1=2，x2-y2=2，

∴（x1+x2）-（y1+y2）=4，

即k2+4k+4=0，解之得k1=k2=-2.

當k=-2時，Δ1>0，故k=-2.

由y1·y2=p=（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=3+8k+4=-9，

∵當k=-2，p=-9時，滿足Δ2=k4-4p≥0，

故k=-2，p=-9.

說明：本題的關鍵是利用根與系數的關系構造方程，再結合根的判別式確定k，p的值。

練習：已知：關于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整數根，且關于y的一元二次方程 （k-1）y2-3y+m=0有兩個實數根y1和y2.

求：（1）當k為整數時，確定k的值；

（2）在（1）的條件下，若m>-2，用關于m的代數式表示y12+y22.

二、函數型綜合題

例2如圖所示，已知反比例函數y=■的圖象經過點A（-■，b），過點A作AB⊥OX于點B，△AOB的面積為■.

（1）求k和b的值；

（2）若一次函數y=ax+1的圖象經過點A，并且與x相交于點M，求AO：AM；

（3）如果以AM為一邊的正三角形AMP的頂點P在二次函數y=-x2+■mx+m-9的圖象上，求m的值.

分析：⑴由S△AOB=■k且b>0可求得k、b的值；（2）由直線y=ax+1過點A可求出a的值，從而得到M點的坐標，再由勾股定理求得AO與AM的值；（3）在Rt△ABM中，由AB與AM的值可求得∠BMA=30°，再分類討論點P位置的兩種情況，再由點P在拋物線上，得到M的值。

解：（1）由點A在第二象限，得b>0.又AB⊥OX于B，S△AOB=■，∴■-■b=■，∴b=2，∴A點坐標為（-■，2）.

由反比例函數y=■的圖象過點A，得2=■，∴k=-2■.

（2）∵一次函數y=ax+1的圖象經過點A（-■，2），

∴2=a（-■）+1，∴a=-■.

∴一次函數的解析式為y=--■x+1.令y=0，可求得M點的坐標為（■，0）.

在Rt△ABO中，

AO=■=■=■，

在Rt△ABM中，BM=BO+OM=2■，

∴AM=■=■=4.

∴AO：AM=■：4.

（3）由（2）得，Rt△ABM中，∵AB=2，AM=4，∴∠BMA=30°∵點A在第二象限，M在x軸的正半軸上，且∠AMB=30°，∠AMP=60°，∴點P的位置有兩種情況：①點P在第一象限，∵∠BMA=30°，∠AMP=60°，∴∠PMB=900，∴點P的坐標為（■，4）.由點P在二次函數y=-x2+mx+m-9的圖象上，得m=4；②點P在第三象限，可求得點P的坐標為（-■，-2）.由點P在二次函數y=-x2+mx+m-9的圖象上，得m=-5.綜上所述，m=4或m=-5.

說明：此題易錯處是考慮不周，第⑶問沒有分類討論，做此類題應多加注意。

練習：如圖所示，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-3，0）、（0，3）.

（1）一次函數圖象上的兩點P、Q在直線AB的同側，且直線PQ與y軸交點的縱坐標大于3，若△PAB和△QAB的面積都等于3，求這個一次函數的解析式.

（2）二次函數的圖象經過點A、B，其頂點C在x軸上方且在直線PQ上，求這個二次函數的解析式.

（3）若使⑵中所確定的拋物線的開口方向不變，頂點C在直線PQ上運動，當點C運動到C′時，拋物線在x軸上截得的線段長為6，求點C′的坐標。

三、方程與函數的綜合題

這類問題主要是溝通了二次方程與二次函數之間的內在聯系，解題的關鍵是抓住二次方程的有關理論與二次函數的有關性質，借助數形結合，就能尋找到解題的途徑。

例3已知拋物線y=x2-mx+2m-4.⑴求證：不論m為任何實數，拋物線與x軸總有交點；⑵當拋物線與x軸交于A、B兩點（A在y軸左側，B在y軸右側），且OA與OB的長的比為2：1，求m的值.

分析：拋物線與x軸有無交點的問題，可轉化為一元二次方程有無實數根的問題，應由根的判別式△=b2-4ac解決；問題⑵可以歸結為一元二次方程有一正一負兩根且兩根的比的絕對值等于2：1的問題，利用根與系數的關系解決。

解：⑴因△=（-m）2-4（2m-4）=（m-4）2≥0，故不論m為任何實數，拋物線與x軸總有交點.（2）設兩個交點的橫坐標為x1，x2，依題意，得：

x1=-2x2，x1+x2=m，x1·x2=2m-4，m<0

解之，得m=-2.

說明：把二次函數的某些問題轉化為求解一元二次方程的有關問題，是一種常用的解題思路。二次方程與二次函數既有區別，又有聯系，要善于把二者結合起來思考，往往能使問題迎刃而解。

練習：如圖所示，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，a>b，且a、b是方程■+■=1的兩個根.P是BC上一動點，動點Q在PC或其延長線上，BP=PQ，作以PQ為一邊的正方形PQRS.點P從B點開始沿射線BC方向運動，設BP=xcm，正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為ycm2.

（1）求a和b；

（2）分別求出0≤x≤2和2≤x≤4時，y和x之間的函數關系式.

總之，同學們對這類綜合性數學題要掌握思路，多做練習，熟能生巧，巧能生智。在積累了一定的解題經驗之后，必有一種高屋建瓴的感覺，大大提升攻克難題的信心。