“說”出來的問題“說”出來的思考

摘 要：說題是一種教學研討形式，通過說題，教師把對數學知識的掌握、對數學方法的理解以及個人的教學理念融入到說題的過程中去，可以更好地提升教師業務素質，提升數學學科教育教學水平。說出來的是解法，聽出來的是思想和方法，呈現的是教師的學科理論功底。

關鍵詞：選題；說題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）27-0058-03

說題是近年來課程改革與實踐中出現的一種教學研討形式，它對于促進教師對例題、習題、各種試題的深入研究，把握命題的趨勢，進而指導課堂教學，引導學生提出問題，提升教師專業素養，整體提升數學學科教育教學水平，有著非常積極的作用。從形式上看，說題大致可分為“學生說題”、“教師說題”及“師生互動說題”三類。現結合自己的教學實踐，通過說題實例，談談對教師說題的思考。

一、選題

要盡量貼近教學實際，多從教材選題，精選高考題，支持原創，題目選擇不是越難越好，而是越有代表性越好。

例題：對于c>0，當非零實數a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使2a+b最大時， - + 的最小值為

.（2014年高考遼寧卷理科第16題）

這是一個多元函數最值問題，也是最近幾年高考試題中時常出現的，充分體現了等量關系和不等關系的辯證統一。多元函數的最值問題一般都含有兩個或兩個以上的變元，常與函數、方程、不等式、三角、線性規劃等知識交匯，綜合性強，技巧性高，之所以選擇這個題目，主要是考慮題目呈現的知識和思想方法有利于提升教師的業務素養，可以考慮用來教學研討。

二、說題

作為一道填空壓軸題，本題創新意識濃厚，打破常規，由已知條件（方程）求函數的最值，同時把一個最值作條件，求三元函數的最值問題。該題的編擬充分體現課程標準理念和教材的設計意圖，簡樸中顯特色，平凡中見真諦，所用到的知識比較基礎，不偏不怪，但要想完整解答，須具備較強的思維能力和分析問題、解決問題的能力，彰顯了“由知識立意轉向能力立意”的命題理念。

說題過程中，一定要避免“就題說題”，說題不是解題，某種程度上，說題更需要于無聲處“說”驚雷。說題還應避免說成一個教學設計，說題除了說出背景、解法，更重要的是說出其題目中滲透的數學思想和數學方法以及對思維培養方面的作用等。說題有時是教學設計的一個片斷，但要高于教學設計，同時還要避免形式化，程序化。由于說題的對象是教師，在說題過程中，要把對數學知識的掌握、對數學方法的理解以及數學教學的理念融入到說題的過程中去，說出來的是解法，聽出來的是思想和方法，呈現的是教師的學科理論功底。

思考一：遇到一個比較復雜的問題怎么辦？毫無疑問，可以考慮轉化為兩個或兩個以上相對簡單的問題，通過對簡單問題的解決，進而解決復雜的問題，即化繁為簡，這也是解決數學問題的最常用的化歸的數學思想。按照這個思路，本題可以轉化為以下兩個問題。

問題一：對于c>0，當非零實數a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，求2a+b的最大值；

問題二：在問題一的基礎上，求函數y= - + 的最小值。

思考二：對于多元函數的問題，一個基本思路，就是轉化為一元或二元函數，也就是消元，這樣就把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，因為在中學階段，學生能夠處理的主要是一元和二元函數，其中二元函數主要是借助于不等式或轉化為一元函數來處理。接下來就從這兩個角度來處理本題。

1.轉化為二元函數，借助不等式處理。

解法一：利用不等式ab≤ 2。

由題意得

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）

=（2a+b）2- 2b（2a-b）≥（2a+b）2- 2

= （2a+b）2，∴（2a+b）2≤

∴2a+b≤ .

因此，當且僅當2b=2a-b即2a=3b時，等號成立，將2a=3b代入c=4a2-2ab+4b2，得c=10b2，問題一得解。

問題二可以利用問題一的解答，把三元函數轉化為一元（二次）函數，達到了消元的目的，進而求解。即y= - + = - + = -22-2，∴ymin=-2.

要想熟練地使用基本不等式解決問題，必須對于不等式的各種應用比較熟練，以上問題一的解答方法來源于下面一個常見的問題：

已知x>0，y>0，x+y+xy-3=0，求x+y（xy）的最小（大）值。

解法二：利用柯西不等式。

由題意得4a2-2ab+4b2=c，配方得，2a- 2+ b2=c

∴（2a+b）2=1×+ × b2

≤12+ 2·（2a+b）2+ b2

= c.

當（2a-b）2= c2a=3b時，解得，c=10b2以下同解法一。

需要指出的是，柯西不等式的使用方法有多種，技巧性很強，詳見參考文獻[2]，此處不再贅述。

2.把多元函數轉化為一元函數，換元法是常用的方法 。通過換元可以化繁為簡、化難為易，把復雜問題轉化為比較簡單問題，從而使問題得到解決。換元的方式有：整體換元、三角換元、均值換元等。

解法三：判別式法。

令2a+b=t，b=t-2a代入4a2-2ab+4b2=c得到24a2-18at+4t2-c=0，該方程是關于a的二次方程，且有實數根，所以△≥0，解得t2≤ c。即（2a+b）2= c，再把代入，得到2a=3b，以下同解法一。

在一元二次方程中，判別式是聯系等量關系和不等關系的一個橋梁，適當地設置主元，有時會有意想不到的結果，值得認真體會。

解法四：減少未知量的個數，三角換元也是經常采用的方法。

由題意得4a2-2ab+4b2=c，配方得，2a- 2+ b2=c

令（2a- = cosθ b= sinθ

可得2a= sinθ+ cosθb= sinθ

∴2a+b= sinθ+ sinθ+ cosθ

= sinθ+ cosθ= sin（θ+φ）

所以2a+bmin= ，即（2a-b）2= c以下同解法一

除了以上兩種換元方法，對條件適當變形，注意一下換元時機，也有類似方法。另外，對a，b進行代數換元也是一種處理方法，考慮到學生實際，不再一一介紹；對于程度比較好的學生，可以考慮作一介紹，詳見參考文獻[2]。

思考三：代數問題處理過程中，如果能夠充分考慮代數式的結構特征，有時還可以有意外的收獲，本題使用正余弦定理后，同樣達到了減少變量個數的目的，可以很好地提升對知識的理解。

解法五：由題意，a，b同號，當a>0，b>0由4a2-2ab+4b2=c得（2a）2+（2b）2-2·2a·2b· =（ ）2，由余弦定理，可以構造三角形，所以cosθ= ，sinθ= = 由正弦定理得

2a+b=

= 2sinA+sin（A+θ）

= sinA+ cosA

= sin（θ+φ）

所以2a+bmin= ，即（2a-b）2= c以下同解法一。

當a<0，b<0時，用-a>0和-b>0分別代替上面的a，b，同理可求。

當然，此題還有一些其他解法，比如數形結合，可轉化為截距。說題未必一定要把所有解法說完（某種程度上也不太可能），而是要把處理問題的通性通法說清楚，這才是說題的目的。本題思想深刻，內涵豐富，將知識內容和等價轉化、數形結合、換元法等數學思想和數學方法融為一體，讓人感覺平凡中出新意。此題也進一步啟示我們，數學教學應加強數學知識間的聯系，突出數學思想和數學方法的挖掘、提煉和滲透，加強思維探究，突出培養學生對新問題的選擇應變能力和分析問題、解決問題的能力。

三、說題與解題

把題說好離不開對解題方法的研究，而解題能力是一個數學教師素質的重要組成部分，因此，提高數學教師的解題能力顯得尤為重要。通過說題活動中的解法探究，能清晰了解試題的背景，能多觀點、多角度地對試題進行剖析；通過變式拓展，不僅能體現數學的思想和方法，突出數學的本質，而且能在課堂教學中幫助學生加深理解，達到解一題知一類的效果，提高解題的實效。長期堅持“說題”必然促使教師自身掌握的數學知識的熟練，其理論學習變得越來越廣博而深刻，理論應用變得熟練而高效，從而促進教師自身素養產生質的變化，由經驗型教師逐步提升為理論型教師、科研型教師。

參考文獻：

[1]孔祥武.例談多元函數最值的求法[J].湖北：華中師范大學，2014，5～6.

[2]洪恩鋒，李 濤，魏定波.2014年高考遼寧卷理科第16題解法賞析[J].湖北：蘇州大學，2014，8.

[3]黃麗生，朱信富.多視角審視 全方位探究——2014年遼寧卷高考（理）第16題解法賞析[J].湖北：湖北大學，2014，9.

[4]程 堅.高中數學教師說題探究[J].江西：江西師范大學， 2014，8.