高考數學一輪復習：全面梳理，有的放矢；同效復習

唐洵 雷勇

高三是高中時期最重要的一年，無論是學習方法還是心態調整，都顯得尤為重要.在這個階段，同學們要完成從『學生』到『考生』的轉變.作為考生，不僅要對高考考查的內容有更加堅實的儲備，更要在心態上做好迎接高考的準備。

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進入高三后，高考的腳步離同學們越來越近，壓力自然越來越大.此時，很多同學會發現一輪復習的學習狀態和新授課的學習狀態有明顯不同，如何科學地分配備科學習時間，每個學科的突破口在哪里……一時間所有問題都擺在面前，讓人感到無所適從，焦慮感油然而生.但是，不良情緒對同學們準備高考而言，有害無益.如何才能把情緒調整到比較理想的狀態呢？最佳方法就是制定一個合理的一輪復習計劃.在制訂計劃的過程中，同學們要對后續的學習時間、復習內容進行全面梳理，做到心里有數，有的放矢，這樣自然能起到穩定情緒的作用.制訂一輪復習計劃時需要注意以下幾個問題.

內容為主，習題為輔

很多同學在進入一輪復習后把大量精力花在解決各類復習資料的習題上，這是一個誤區，因為任何一套習題都不可能涵蓋所有的知識點和數學方法，儀靠做題，是無法找出學習中的所有漏洞的.正確的復習方法是“三個一”原則：

（1）課本看一遍，很多同學認為課本內容“簡單”，所以課本往往被大家忽略.事實上，課本與復習資料最大的區別在于課本的“系統性”，課本盡可能地講述了矢¨識的來龍去脈，同時上面的定理定義給出了最“官方”的說法，課本上的例題解答更經過了反復錘煉，嚴謹簡潔，是最好的解答范例.當你對一個命題感到似是而非時，最終都要回歸課本給出答案.

（2）筆記看一遍.筆記是從老師的角度對課本內容的一個詮釋和補充，對知識來源、知識間的關聯性，以及如何找到解決問題的方法等有更透徹的分析.

（3）曾經做錯或思路含糊不清的題目重新思考一遍.從曾經做錯或思路含糊不清的題目中能看出你當時學習過程中的問題有哪些，所學知識的薄弱環節在哪里，解決問題的方法策略是否有待提高等等。

“三個一”原則能讓同學們在一輪復習中既有效率又能最大限度地查漏補缺，當這些工作完成后，再安排一些練習，通過做題訓練答題的節奏，可進一步檢查和評估復習的效果.

反思是提高復習效率的關鍵

面對浩如煙海的備類復習資料，要想真正取其精華，就要在反思上多下工夫.反思大致分三個方面：其一，當完成一個題目后，要留出三到五秒的時間回憶該題的整體思路是什么，你是如何對題目條件和結論進行關聯的，在頭腦中對題目的解答過程形成一個整體印象；其二，對于一些經典題目，要反思能否對題目條件換個認識角度，找出其他與結論關聯的方式（即“一題多解”），借此讓自己的思維更加靈活發散；其三，一個章節的題目完成后，一定要留出時間提煉出整套試題著重關注了哪些知識點，主要運用了何種數學方法，通過分析和總結，在頭腦中形成整體印象.在一輪復習的過程中持續進行反思訓練，是逃離題海、提高效率的最佳方式.

安排時間分析往年真題

全國各地區的高考試題每年都保持了相對的穩定性，即無論是試題難度、考查的重難點，還是題目的設置方式，都會保持對以往試題的繼承.通過分析前三年的考題，可以在心里做到對當年的試題有一定的預期，提前把握答題的節奏，這樣在復習時也會更有針對性。

訓練表達的規范性

規范簡潔的表達不儀能讓閱卷老師更容易明白自己的答題思路，也能讓自己對題目的理解更加清晰，減少出錯的可能.同學們在解題的過程中，除了要關注題目的思路，還要關注別人的，從中有所借鑒.事實上，每個題目都沒有固定的表述方式或最好的表述方式，只要得出的每個結論和前面的條件之間都有定理定義作保障，表達就是嚴謹的.在練習初期，只要刻意去關注每個步驟是否嚴謹，隨著時間的推移，嚴謹的表達就會成為你的習慣.

筆者現對各章節內容進行簡單梳理，給出各部分必須掌握的知識要點，以及必須會做的題目，為同學們制訂一輪復習計劃提供參考.

函數

必會知識

1.會求一些簡單函數的定義域，如等。

2.能夠利用配方法、導數法、反函數等方法求基本初等函數的值域.

3.明確函數奇偶性的含義，能夠判斷所給函數是奇函數還是偶函數.

4.會畫出五種冪函數的圖象，掌握五種冪函數各自的性質，如定義域、值域、單調性等.

5.理解指數函數、對數函數的概念，明確兩者直接的關聯與區別，熟記兩類函數的圖象與性質.

6.給出一個簡單的函數，能夠判斷該函數的圖象，或通過畫函數的圖象來研究函數的性質.

7.理解函數零點的含義，懂得判斷所給函數有幾個零點.

必做例題

例1（2015北京卷）如圖1-1，函數f（x）的圖象為折線ACB，則不等式的解集是（） 【解析】由圖知，設g（x）=，在同一坐標系中畫出f（x），g（x）的圖象（如圖1-2），令，解得x=l，故不等式的解集為{x|-l

必學策略

函數是高考的熱點問題，是打開高考成功之門的金鑰匙，作為面對高考的考生，同學們要掌握哪些策略呢？①在求值域時，常用配方法、換元法、圖象法、單調性法、導數法等，但無論用哪種方法一定要優先考慮函數的定義域.②在判斷函數的奇偶性時，要注意三點，一是函數存在奇偶性的前提是定義域關于原點對稱；二是可以利用定義法和圖象法判斷函數的奇偶性；三是能夠利用“奇同偶異”研究函數的單調性.⑧在比較指數函數、對數函數的大小時，往往借助函數的單調性，有時也引入0，1作為中間變量進行過渡，④在判斷零點時有“三寶”，一是解方程，二是用定理，三是圖象法，其中圖象法可以轉化為單個函數的圖象與x軸的交點或兩個函數圖象的交點.如果能系統地構建這些知識，做到對癥下藥，那么你就成功實現了從學生到考生的蛻變。

導數

必會知識

1.能夠求出函數在某點處切線的斜率以及切線的方程.

2.能求簡單復合函數，注意合理地拆分復合函數，以免漏求.

3.會利用f（x）在某區間上的正負判斷函數的增減性.

4.能夠利用導數的方法求解函數的極大值與極小值.

5.會利用導數法求一個函數在閉區間上的最值.

6.會求定積分的值，會利用定積分計算去邊圖形的面積.

必做例題

例2（2015新課標卷I）已知函數

（I）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點的個數

【解析】（I）設曲線y-f（x）與x軸相切于點則

即

因此，當時，x軸為曲線y=f（x）的切線

必學策略

有關導數幾何意義的問題可能會與解析幾何知識交匯，注意“兩直線平行，斜率相等；兩直線垂直，斜率相乘等于-1”；在求函數的單調區間時，優先考慮函數的定義域，再利用f（x）>O或f（x）<0求函數的單調區間；若已知函數的單調性求參數的取值范圍，則令f（x）≥0或f（x）≤0，再利用分離參數法求參數的取值范圍；對于不等式的恒成立問題，注意將其轉化為函數的最值問題進行求解.

三角函數及解三角彤

必會知識

1.能夠利用三角函數的定義、公式求三角函數的值.

2.合理使用誘導公式，求三角函數的值、化簡三角函數式、證明三角恒等式.

3.借助圖象理解正弦函數、余弦函數、正切函數的單調性、奇偶性、周期性等性質.

4.理解y=Asin（ωx+ψ）的實際意義，借助三角函數解決一些簡單的實際問題.

5.會用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，了解它們的內在聯系.

6.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

必做例題

解三角形問題是高考的高頻考點，作為面對高考的考生，同學們在研習高考題的同時，還要掌握此類問題必要的解題策略：（1）邊角混合的問題，應當適度轉化，全部化為邊或全部化為角；（2）當三角形的面積公式與余弦定理混合出現時，有時需要合理配湊，得到完全平方的關系；（3）處理實際的問題應當選擇合適的三角形，將邊角關系放在三角形中進行求解.

數列

必會知識

1.給出數列的遞推公式，能夠求解數列中的某一項；對于一些有規律的遞推公式，能夠合理使用進而轉化求得通項公式.

2.會求等差數列的通項公式與前n項和公式.

3.會求等比數列的通項公式與前n項和公式.

4.能夠分析所給數列的結構，進而選擇合理的方法實現數列求和.

必做例題

必學策略

數列求和問題是高考的必考問題，作為即將走上考場的同學們，你們知道數列求和有哪些方法嗎？數列求和問題一般轉化為等差數列或等比數列的前n項和問題，不能轉化的再根據數列通項公式的特點選擇適當的方法求解.一般常見的求和方法有：（1）公式法（直接利用等差或等比數列的前n項和公式）；（2）分組求和；（3）錯位相減法；（4）裂項相消法。

圓錐曲線

必會知識

1.會求橢圓的方程，會求橢圓的基本性質如離心率、長軸、短軸等.

2.會求雙曲線的方程，會求雙曲線的基本性質如離心率、漸近線等.

3.會求拋物線的方程，能夠利用拋物線的定義求距離的最值.

4.掌握直線與圓錐曲線的位置關系；能解決圓錐曲線的簡單應用問題.要注意三種圓錐曲線與直線位置關系的異同；能夠利用一元二次方程根與系數的關系求解弦長、定點、定值、范圍等綜合性較強的問題，

必做例題

例6（2015湖北卷）一種作圖工具如圖2-1所示，O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞0轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，日.DN=ON=1，MN=3，當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞0轉動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2-2所示的平面直角坐標系.

（I）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設動直線l與兩定直線分別交于P，Q兩點.若直線I總與曲線C有日只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

必學策略

在設橢圓的方程前一定要做到先定型，再定量，注意記憶公式計算離心率；在設雙曲線的方程前一定要做到先定型，再定量，注意記憶公式計算離心率；此外要會利用雙曲線的漸近線方程直接求雙曲線的離心率；注意合理利用定義轉化拋物線上的點到焦點的距離與其到準線的距離；處理直線過定點的問題時，將要證明過定點的直線方程表示為某參數的直線系方程的形式，再由直線系方程求出定點；處理定值問題時，將要求解的定值表示為某參數的函數關系，再化簡得到定值.此外，解圓錐曲線中的定點、定值問題可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再視具體情況進行研究；同時，要學會巧妙利用特殊值解決有關定值、定點問題的選擇題或填空題，如將過焦點的弦特殊化，變成垂直于對稱軸的弦來研究等.求最值或范圍的常見解法：（1）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用圖形性質來解決；（2）代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求最值，在求最值的過程中，注意使用求函數最值常用的代數方法：配方法、換元法、導數法、單調性法等；（3）不等式法：通過基本不等式，不等式的性質或一元二次不等式等求最值.

立體幾何

必會知識

1.能夠記住球、棱柱、棱錐、臺體、球體的表面積和體積的計算公式.

2.能夠利用平行或垂直的判定定理判斷空間線面的平行、垂直關系.

3.對于所給三視圖，能夠通過想象還原出一個空間幾何體.

4.會求空間向量的數量積及其坐標表示，能運用數量積判斷向量的共線與垂直.

5.能用向量方法解決三種空間角的計算問題，

必做例題

例7（2015四川卷）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖3-1所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N.

（I）請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）：

（Ⅱ）證明：直線MN∥平面BDH：

（Ⅲ）求二面角A-EG-M的余弦值.

概率與統計

必會知識

1.給出一個實際問題，能夠判斷具體使用三種抽樣方法中的哪一種.

2.會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖，要記住頻率分布直方圖和莖葉圖.

3.給出一組相關數據，會求回歸直線的方程.

4.能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，解決簡單的實際問題.

5.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.

6.記憶古典概型及其概率計算公式，會運用樹形圖、列舉法以及排列組合原理求解.

7.記憶幾何概型的概率計算公式，注意長度模型與角度模型的區別.

8.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.

9.了解獨立性檢驗（只要求2x2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用，

必做例題

例8（2015新課標卷Ⅱ）某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A、B兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：

A地區：62 73 81 92 95 85 74 64 5376 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區：73 83 62 51 91 46 53 73 6482 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（I）根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖（如圖4-1），并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）；

（2）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

記事件C：“A地區用戶的滿意度等級高于B地區用戶的滿意度等級”假設兩地區用戶的評價結果相互獨立根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求C的概率。

【解析】（I）兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖如圖4-2：

通過莖葉圖可以看出.A地區用戶滿意度評分的平均值高于B地區用戶滿意度評分的平均值：A地區用戶滿意度評分比較集中.B地區用戶滿意度評分比較分散.

（2）記CA1表示事件“A地區用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”；CA2表示事件“A地區用戶的滿意度等級為非常滿意”；CB1表示事件“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”；CB2表示事件“B地區用戶的滿意

必學策略

一般的，求離散型隨機變量的期望一般分為4個步驟：求隨機變量取值，求概率，列分布列，進而計算期望.特別的，作為考生，對于這類簡單的問題，并不是埋頭苦做，而是先分清這是什么形式的分布列，如二項分布、超幾何分布、相互獨立事件的分布等，進而動手解題。