豐盈教材：讓學習自然發生

分數、除法、比是有著密切聯系的數學概念，很多情況下它們是相同數量關系的不同表示形式。隨著《義務教育數學課程標準（2011年版）》的頒布，各種版本的教材先后修訂了前期的實驗教材，最新修訂的蘇教版六年級上冊教材把原來實驗教材“分數除法”和“比”合并成一個單元，毫無疑問，如此修訂更有利于學生體會知識間的聯系，構建模塊化的知識系統。

仔細比對兩個版本教材中關于“比的意義”的編排，大同小異。修訂版教材第一個例題主要教學兩個同類量的比。并分別表示出小軍和小偉走的路程和時間的比。在這兩個例題的基礎上，教材引導學生回顧學習過程，討論兩個數相除的關系可以怎樣表示，并通過交流，概括出比的意義。

這樣的教學過程也無可厚非，但多年的教學實踐告訴我，僅憑兩個例子就試圖概括比的意義比較牽強。在不改變知識本質的前提下，如何讓例題盡可能地貼近學生的現實，利于學生自覺地抽象出數學知識與方法成為我再次執教“比的意義”一課的出發點與歸宿。

一、改換教材，讓素材貼近學生

“教材只是個例子”，這個例子應該盡量貼近學生的現實，但問題是現行的教材并不只是為某個地區、某個學校、某個班級學生量身定做的，為了兼顧使用范圍更為廣闊的地區的學生，它只能選取大眾化的例子。這樣的例子對生活背景、數學現實截然不同的學生而言，自然略顯蒼白。

為了消除學生對呈現內容的素材的陌生感，我們在設計教學時，理應在關注學生現實的基礎上，精當地改換成離學生生活、學習更近的例子。這在《比的意義》一課的教學中尤為突出。我在充分研讀教材的基礎上，對教材中的兩個例題進行了改換，將教材中關于果汁與牛奶的例子改換為班級男、女生人數，從學生人數之間的關系說起，一點也不突兀，在師生輕松的對話中首先認識了同類量的比。

師：（出示芭蕾舞圖片）同學們，看過芭蕾舞嗎？芭蕾舞是一種高雅的舞臺藝術，舞蹈演員在跳芭蕾舞時都很特別。

生：踮著腳。

師：對，這是為什么呢？其實這里面也蘊含了一些數學知識，通過今天這節課的學習，相信大家就能明白其中的道理。現在讓我們把目光拉回我們的班級，課前老師調查了我們班的男女生人數。

出示：男生18人，女生13人。

師：你能用以前學過的知識描述我們班男女生人數之間的關系嗎？

生1：男生比女生多5人，女生比男生少5人。

生2：男生人數是女生的■，女生人數是男生的■。（板書兩個分數）

師：同學們反應特別迅速，這里“多5人、少5人”表示的是男女生人數之間的相差關系，而“■、■”則表示男女生人數之間的倍數關系。數學上，“男生人數是女生的■”我們還可以說成“男生人數與女生人數的比是18比13”。

課堂伊始，通過“芭蕾舞演員踮著腳跳舞”這一現象勾起學生學習的興趣，點燃學生探究的熱情，同時準確找尋新舊知識的連接點，以“你能用以前學過的知識描述我們班男女生人數之間的關系嗎”這一問題引領學生展開全課的學習，并順承學生的思維，自然引出本節課的核心概念——比。這樣，學生始終圍繞身邊的事例學習，倍感親切，久而久之，數學那種慣有的高深感蕩然無存。

二、增刪教材，讓學習體驗豐富

由于教材受版面、篇幅等條件的限制，對于同一知識點不可能呈現更多的例子引領學生學習，一般都是一個例子承載一個知識點。但反觀學生的學習過程，僅憑一個例子就希望學生能深刻地掌握某一知識技能顯然不夠現實。為此，我們教師在設計教學時應根據學情，適度增加一些例子，以拓寬學生的思路，豐富學生的學習體驗。

《比的意義》一課的教學，倘若在教材兩個例題的基礎上就嘗試歸納概括比的意義，看似也合情合理，但學生沒有太多的感受，此時，“兩個數相除又叫做兩個數的比”只是一串無意義的文字符號，作為一個核心概念，如此處理略顯單薄，概念本身的構建尚不牢固，更談不上向相關聯知識的衍生、拓展了。在反復的磨課中，我最終確定不急于引領學生去歸納比的意義，而在兩個例題后增加了一些例子。

其一，在本班男女生人數比后面增加一個六（2）班學生人數比，并與本班學生人數比進行比較。

師：課前老師也調查了六（2）班男女生人數之間的關系。

出示：六（2）班男生人數與女生人數的比是5：4。

師：讀讀這句話，你覺得六（2）班男生多還是女生多？

生：男生多。

師：感覺真不錯，確實是這樣的。那比比“18：13”和“5：4”這兩個比，你能不能就判斷我們班的男生一定比六（2）班男生多呢？

生：不能，這里的5和4不表示具體的人數，表示六（2）班總人數中，男生占5份，女生占4份。

其二，在“南京南站”的文字材料后趁熱打鐵，連續呈現用“總價÷數量=單價”和“長方形的面積÷長=寬”這兩個數量關系解決的問題情境，讓學生在不同的情境中一次次地與“比”不期而遇。

師：前幾天老師在網上瀏覽到這樣一條信息：“京滬高鐵南京南站”是亞洲最大的樞紐站，從南京到北京約1000千米的路程，原來大約要10小時到達，現在大約4小時就可以到達。

師：從這條信息中，你能找到一些比嗎？

學生獨立思考，同桌交流。

生1：原來時間和現在時間的比是10：4。

生2：現在時間和原來時間的比是4：10。

師：眼力不錯，一下子就找到了兩個不同的比，不過老師從這條信息中還能找到新的比。一起來看—— （出示：1000：10）

師：讀讀這個比，你知道這是誰與誰的比嗎？

生：1000：10是路程與時間的比。

（出示：路程：時間）

師：說得不錯，我們知道路程與時間有這樣的相除關系（出示：路程÷時間=速度），通常我們把路程除以時間又說成路程與時間的比。受老師的啟發，現在你還能從這條信息中找到新的比嗎？

生：1000：4。

師：這是誰與誰的比呢？

生：路程與現在時間的比。

師：其實，除了在“路程÷時間=速度”這一數量關系中我們能找到比，在我們學過的其他數量關系中，同樣能找到比。比如——

出示：

師：解決這樣的問題，你能想到什么數量關系式？

生：總價÷數量=單價。

師：從中你能找到比嗎？

生：足球總價與數量的比是240：3。（出示：總價：數量=240：3）

接著出示：

師：從這幅圖中你又想到什么數量關系式呢？

生：長方形的面積÷長=寬。

師：那么你又能想到什么比呢？

生：長方形面積和長的比是60：10。（出示：面積：長=60：10）

師：（屏幕集中出示所有例子）剛才我們認識了這么多比的例子。現在你覺得兩個數的比就表示兩個數之間怎樣的關系？

生：表示兩個數相除的關系。

師：確實，兩個數相除又可以叫作兩個數的比。（板書）。

這里改編例題，從班級男女生人數到一則網絡信息，在鞏固同類量比的同時，巧妙地引出不同類量的比，課堂教學一氣呵成，層層深入，逐步完善學生對比的認識，真正感悟到比的意義，使學生對比的理解既豐富又透徹。

至此，學生積累了豐富的有關比的認識，比的意義在學生的腦海中已呼之欲出，當屏幕再次呈現學生經歷的所有比，并追問“你覺得兩個數的比就表示兩個數之間怎樣的關系？”時，學生感受非常深刻，不難想象，在如此豐富的經歷中建構起來的“比的意義”一定會更加堅固。

當然，也并非所有的課都需一味地增加素材，有些課中，我們可以將部分重復的練習刪除，減輕學生過重的學習負擔，讓他們有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。

三、重組教材，讓知識自然生長

教材只是根據教學大綱提出的一般的教學內容，教師在備課時，應從學生角度，用學生的思維和已有經驗去思考：怎樣才能更貼切地反映知識的發生和形成過程，使學生“再創造”知識的過程真實自然。其實，就教材而言，其內容呈現的順序，在許多時候若能進行適當的調整，可能更適合學生頭腦中知識的鏈接、衍生。

上述教學中，在揭示比的意義后，組織學生對比、分數和除法進行了對比，學生在交流討論中統一了認識：a：b=a÷b=■（b≠0），但我總覺得就此打住有點意猶未盡，反復斟酌后，我大膽重組了教材，將下節課有關“比的基本性質”的內容有機融合到練習中。課上，當我出示“在作業本上畫△和○，使△個數與○個數的比為2：1”時，學生并未能感知到什么，只是嘗試著用不同的方法表示出2：1，一共出現了三種方法。隨后，我以“△△○”為例，又出示了一組，學生自然會看出4：2，接著我再出示一組，學生異口同聲地報出：“6：3。”與此同時，已經有學生搶著說：“后面是8：4。”也有學生開始嘰嘰喳喳：“就是2：1。”我不置可否，而是繼續出示“△△○△△○△△○……△△○”，這一回打破了大部分學生固有的思維，也再次推動了所有學生的思維，不一會兒，“2：1”的聲音響徹教室。這一環節，學生主動感知了“比的基本性質”，雖說這不是本節課的教學內容，但這一練習引領學生主動地再創造著“比的基本性質”，有了這樣的經歷，下節課學生系統探究“比的基本性質”時定會更為順暢，輕松實現了知識的自然生長。在學生理性認識比的基礎上，通過動手創造比，進一步認識比的內涵，深化學生對比的理解。在特殊的情境中，學生感知著“比的基本性質”，在進一步溝通比、分數和除法的關系的同時大大豐富了學生對比的認識，學生的思維也在這樣的過程中得以發展。

值得注意的是，我們的調整是為了學生更好地掌握知識，發展智能，絕不能為重組而重組，打破原教材的整體性。只要我們不違背教材的基本原理、基本內容、基本思想、基本方法，講授教材上的知識時所用的方法應是仁者見仁，智者見智，應充分發揮自身的創造性，豐盈教材內容，讓學生的學習更自然地發生。

（劉正松，南京師范大學附屬中學新城小學，210019）

責任編輯：趙赟