多元視角下的基本不等式再認識
——一道高考題的源與流帶來的啟示

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興

多元視角下的基本不等式再認識
——一道高考題的源與流帶來的啟示

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興

每年6月份的高考如期而至，而綜觀各個省的高考題，都會有一些新穎的題目.但與此同時，也有一些直接來自于教材上的題目，只不過進行了修改與提煉.所以高考命題者們經常提到一句話，說高考題“源于教材而高于教材”，由此來說明教材的重要性.其實，教材是教學之本，其重要性是不言而喻的，那么能否通過研究高考題來進一步加深對教材中的公式、定理與例、習題等內容的認識呢？答案是肯定的［1］.本文就是根據2014年浙江省的一道高考題，通過挖掘其來源，從而從多角度來認識所要考的某一知識點.

一、高考題呈現

浙江省2014年的理科第17題與文科第10題是同一道題，題目是：如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確命中目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小（仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角）.若AB=15cm，AC=25cm，∠BCM= 30°，則tanθ的最大值是_________.其中在文科高考卷中改成了選擇題.

對此題的解法，本文不再贅述了，考到的知識點較多，綜合性很強，是一道好題.

圖1

二、源自教材

該高考題作為理科填空題與文科選擇題的壓軸題，自有它的道理，因為此題要考查學生的知識與能力眾多.首先它具有應用題的性質，要讓學生理解題意后分析，然后從立體幾何入手，由線面夾角概念繼而轉化為函數，最后求最值時又要用到基本不等式.可以說從立體到平面，從幾何到代數，再到最值問題都涵蓋了.但從實際生活常識來看，該題涉及的其實就是最大視角問題，而這種問題曾在人教版教材（必修5）3.4節“基本不是這樣的.

圖2

如圖2，樹頂A離地面am，樹上另一點B離地面bm，在離地面cm的C處看此樹，離此樹多遠時看A、B的視角最大？

顯然，教材上的習題也是日常生活中涉及的視角最大問題，只不過已抽象成在二維平面上討論，而高考題把它改成了三維空間，在立體空間上討論射擊的視角最大問題，可兩者在本質上討論的是相同問題，所以這道高考題源于教材中的習題.但如果繼續挖掘，發現教材上的這道習題又起源于數學史上第一個極值問題［2］.

三、始于Regiomontanus問題

在15世紀的歐洲，有一位德國數學家，叫雷吉奧蒙塔努斯（Regiomontanus，1436-1476），他的著作《論各種三角形》曾對三角學的發展產生了很大影響，是現代三角學的雛形.他于1471年在給朋友的信中就提到了這樣一個問題：“一根垂直懸掛的桿子，從地面上哪點看上去它最長（也就是視角最大）？”，這個問題被稱為迄今為止數學史上的第一個極值問題，即最大視角問題.

圖3

如圖3，把桿子表示成線段AB，假設點P是地面上使得θ=∠APB最大的點，則設OA=a，OB=b，OP=x，∠OPA=α，∠OPB= β.所以有：tanθ=tan（α-β）=最大值，即θ取最大值.

由此可見，教材中的習題其實就是雷吉奧蒙塔努斯提出的最大視角問題，兩者如出一轍.如果繼續深入挖掘，就會發現當θ最大時的其實就是兩個正數a、b的幾何平均數.觀察圖3，當OP為OA與OB的幾何平均數時，θ最大.此時，如果過P、A、B三點作圓，就會發現該圓與直線OP相切，P為切點，于是對基本不等式≤（*）的幾何解釋或證明又有了新的認識.

四、基本不等式的再認識：多元視角

圖4

1.從歷史視角認識：Regiomontanus問題的拓展

受雷吉奧蒙塔努斯問題解決的啟發，并對它進一步拓展，于是基本不等式的證明就有了新的方法.

如圖4，圓O外一點A，過A作圓O的切線AD，切點為D，連接AO交圓O于C、B.設AC=a，AB=b.由圓O的切割線定理有：AD2=AC·AB=ab，故AD=

2.從幾何視角認識：創建幾何模型

（1）半圓模型.

圖5

上面的證明方法是通過比較線段長短而得，事實上在人教版教材中也提到了這種方法.教材在得出基本不等式后，給出了圖5，然后讓學生探究基本不等式的幾何解釋.在圖5中，CD⊥AB，AD⊥BD.設BC=a，AC=b，由射影定理可知CD2=AC·BC=ab，即b）.顯然，在直角△COD中，CD＜OD，得證，其中圖5稱為基本不等式的半圓模型.

（2）等腰直角三角形模型.

圖6

圖7

圖6 稱為等腰直角三角形模型，是通過比較面積大小證出基本不等式的，而這種方法是直接借鑒了中國古代證明勾股定理的方法：出入相補原理，即面積變換法［3］.事實上，人教版教材在引入不等式a2+b2≥2ab時就是用比較面積大小的方法，模型是趙爽弦圖，如圖7.所以從幾何角度來認識基本不等式，半圓與等腰直角三角形這兩個幾何模型反映了基本不等式的本質：線段長短或面積大小的直觀體現.

3.從代數視角認識：構造數列與方程

（1）構造等差數列.

（2）構造方程.

對兩正數a、b，構造一元二次方程（x-a）（x-b）=0，即x2-（a+b）x+ab=0有兩個實根a、b，故判別式Δ=（a+b）2-4ab≥0，所以當且僅當a=b時取等號，（*）式得證.

通過構造二次方程，然后利用判別式來推導，方法簡單明了，易于理解.所以從純粹的代數運算來證明基本不等式，也是方法眾多，而且很簡便，如教材上用的作差法.但不同的方法，可以從各個角度全方位地認識該不等式.

4.從物理學視角認識：運動模型

設想有兩個質點A和B做直線運動，其中A做勻速運動，B做加速運動，但質點B還具有這樣的性質：隨著時間的變化，位移按等比數列變化，換言之，質點B每經過一個相等的時間間隔，位移都增加到前一個位移相同的倍數，這樣質點B的運動規律就可表示成：s0、q為常數，q＞1）.如圖8，設在時刻t1，質點A與B的位移大小都是a，而在時刻t（2t2＞t1），質點A和B的位移大小都是b（a＜b）.下面來計算質點A與B分別在中間時刻時的位移大小.

圖8

由于質點A做勻速運動，所以A在中間時刻正好運動到a、b的中點，即位移為.質點B在a處的位移是：a=在b處的位移是：所以質點B在中間時刻t=

這時候的大小關系是很直觀的.因為質點A與B都是從t1時刻的位移a到t2時刻的位移b，兩者在相同時間內運動了相同的位移.而質點B做加速運動，所以它在前半段時間的平均速度小于后半段的平均速度，故前半段時間走過的距離必小于后半段所走過的距離，即在時間中點，質點B沒有到達位移中點，于是有a=b時等式就成立了.

從物理學角度來認識均值不等式，圖8其實就是日常生活中的運動模型，基于生活經驗都能很好地理解這個模型，可以說既直觀又有生活氣息.

五、結束語

通過對高考題的深入挖掘，找到了其來源，發現是來自教材中的習題，然后經過改編所得，而再深入研究教材習題，更發現了其源頭，原來曾是歷史上的數學家研究過的問題.經過再挖掘，得出了對基本不等式的更深認識，可以從幾何、代數、物理等不同視角全方位拓展，從而感受到數學的博大精深.

一年一度的各省份高考題值得一線教師去深入研究，因為在研究過程中會反過來促進教師對數學知識點的深入理解.本文從各個角度給出的均值不等式的證明方法，均可供一線教師在數學課堂上直接進行教學之用，而這些方法無疑會增強學生的思維彈性，啟迪學生的數學思想，進而提高解題能力.

1.王伯龍.重視教材習題的挖掘，培養學生的數學思維能力——一道課本習題的復習教學［J］.中學數學（上），2014（7）.

2.張小明.均值不等式的HPM學習單設計［J］.中學數學教學參考（上），2012（10）.

3.汪曉勤，韓祥臨.中學數學中的數學史［M］.北京：科學出版社，2002.A