類比“虛橢圓”，研究雙曲線

☉江西省九江第一中學 伍錫浪

類比“虛橢圓”，研究雙曲線

☉江西省九江第一中學 伍錫浪

眾所周知，為了解決在實數范圍內不可能解出的方程x2+1=0而引入了虛數單位“i”.筆者拜讀了《2008年安徽卷（理）題22探幽》和《龍門專題：新課標高中數學解析幾何》之后，采用類比思想引入了虛數“i”，把雙曲曲線x2-y2=1也可以看成“虛圓”x2+（iy）2=1），利用橢圓已有的一些性質去類比研究了雙曲線的類似性質，敬請前輩們及廣大讀者批評指正.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于兩個

現摘抄文1的部分結論.

分析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）不難求證點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上.問題已經解決，但是思維的火花并未結束，問題在于Q點所在直線是條滿足什么條件的直線呢？轉動直線l，當l與橢圓相切時，此時，A、Q、B三點重合于切點，此時點Q依然滿足條然題目要求證明點Q在某條定直線上，那么這條直線是否為切點弦MN所在的直線呢？（如圖1所示）實際上，過P點向橢圓C所引兩條切線，兩=1，即2x+y-2=0，即Q點總在切點弦上.

圖1

文1證明了結論1，給出了結論2，筆者引入虛數“i”給出結論2的另一種證法.

背景2下面摘抄文2中利用點差法證明了橢圓的性質結論3，同時給出了雙曲線的類似的結論4.

筆者引入虛數“i”，在結論3的基礎上，給出結論4的另一種證法.

背景3下面再摘抄文2中的橢圓的性質結論5，以及雙曲線的類似的結論6.

有興趣的讀者不妨也可以在結論3的基礎上，證明上面的結論6.

小結：由此可見，類比“虛橢圓”研究雙曲線，為解決高中解析幾何中的問題，引出了新的途徑，不僅過程簡潔、新穎、獨特，效果事半功倍，而且能引導學生類比、聯想、分析和概括，有助于拓展開放性的思維空間，提高創新能力.

1.江民杰.2008年安徽卷（理）題22探幽［J］.中學數學（上），2009（3）.

2.傅榮強，佟志軍.新課標高中數學解析幾何［M］.北京：龍門書局，2010.F