追問中深入探究中升華

☉江蘇省南京市第二十九中學 張云飛

·南京市張云飛名師工作室·

追問中深入探究中升華

☉江蘇省南京市第二十九中學 張云飛

《高中數學課程標準》對教材編寫要求：教材應注意創設情境，從具體實例出發，展現數學知識的發生、發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經歷數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈．教材的呈現應為引導學生自主探索留有比較充分的空間，有利于學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程．編寫教材時，可以通過設置具有啟發性、挑戰性的問題，激發學生進行思考，鼓勵學生自主探索，并在獨立思考的基礎上進行合作交流，在思考、探索和交流的過程中獲得對數學較為全面的體驗和理解．筆者認為，這不僅是對教材編寫的要求，更是對數學教師的要求，更是對數學課堂教學的要求．

波利亞曾說過“一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有變化但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”．

題目：在平面直角坐標系中，已知圓O：x2+y2=4，直線l：x=4，圓O與x軸相交于點A、B（如圖）．點P為圓O上任一點（異于點A、B），直線AP與l相交于點C．如設直線BP、BC的斜率分別為kBP、kBC，試證：kBP·kBC為定值．

以下記錄的是筆者和學生的探究過程．

一、定值是什么

定值問題是中學數學中較為富有挑戰性和趣味性的問題，尋找變化中的不變性是人類了解自然、認識自然并運用自然的目的之一．定值問題中的定值是變化中不變的值，可通過特殊化尋求．如：當點P為圓與y軸的交點時，易得kBP=－1，kBC=3，從而有kBP·kBC=－3．

知道了定值為－3后，如何證明對于圓O上任一點P，都有kBP·kBC=－3？

二、選擇誰為主動點

題目中有兩個動點．由題意知：當點P變化時，點C隨之而變化，當點P確定時，點C隨之而確定．反之亦然．也就是說，點P的坐標確定時，點C的坐標也隨之確定．反之亦然．

選誰作為主動點？

分析：如設點P為主動點，則點P的縱、橫坐標都在變，也就是說，如選點P為主動點，則有兩個變量．如選點C為主動點，注意到點C的橫坐標為4，則只有一個變量．如從變量的個數來看，選擇點C為主動點似乎比選擇點P方便一些．

果真如此嗎？

方法1：設點C的坐標為（4，h）.

得：

消去y并整理得：

探究反思：本來以為選擇點C為主動點似乎比選擇點P方便一些，但從以上方法1與方法2的實際解題過程來看，選擇點P為主動點比選擇點C更方便些．

這是為什么呢？（分析解題過程是提高解題能力最有力的舉措之一）

同學們通過分析方法1與方法2，發現：方法1之所以繁一些，是因為方法1首先要解一個一元二次方程（**），并求點P的坐標；其次，化簡kBP的過程比較繁．而方法2則利用設而不求、整體代換的思想簡化了解題過程．

三、方法1中的解方程組是必要的嗎

如前所述，方法1之所以比方法2繁一些，是因為方法1要解一個一元二次方程．那么，方法1中的解方程組的過程是必要的嗎？也就是說，在方法1中能不解方程嗎？（產生求簡的意識是達到求簡目的的先導）

還是分析方法1的解題過程．

解方程（組）的目的是為了用參數h去表示點P的坐標，進而用h表示kBP．同學們發現：用h表示kBP的過程是煩瑣的，但用h表示kBP的結果卻是簡潔的：kBP=－

之所以能由煩瑣到簡潔，是因為在這個過程中有了抵消或約去．

有了抵消或約去就有優化的可能．

如何優化呢？

反思：當把點C作為主動點時，只要用點C的坐標去表示點P的坐標，進而用點C的坐標表示kBP、kBC．但要用點C的坐標去表示kBP、kBC，是否一定要解方程（組）？從上面的方法3知道：這些都不是必要的．但在日常的課堂教學中，當把點C作為主動點時，總是不假思索地甚至認為是天經地義地去解方程（組），這是長期思維定勢的影響，這是思維膚淺的表現．誤把“只要”當“必要”！

四、問題的進一步思考

從方法3不難發現：kBP·kBC之所以為定值，是因為kBP和kBC之間有一種倒數型的關系，而這種倒數型的關系，確保了當h變化時，也就是點P變化時，乘積kBP·kBC中的h被約掉了，也就是說乘積kBP·kBC不隨點P的變化而變化（kBP和kBC之間的倒數型關系是這類問題的本質之所在）．

特別地，當m=4時，kB·PkBC=－3，也就是原題中的定值．當m=1時，kBP·kBC=3，此時直線l：x=1與圓O：x2+y2=4相交．

一般地，當m＜－2或m＞2，即直線l：x=m與圓O：x2+y2=4相離時，kB·PkBC為定值，是一個負數；

當－2＜m＜2時，也就是當直線l：x=m與圓O：x2+y2=4相交時，kB·PkBC為定值，是一個正數；

當m=－2或m=2時，直線l：x=m與圓O：x2+y2=4相切，但m=－2時kB·PkBC=0，而m=2時，kB·PkBC則不存在．

顯然，圓O：x2+y2=4的方程可一般化成x2+y2=a2，從而得到如下的一般化命題.

命題1：在平面直角坐標系中，已知圓O：x2+y2=a2，直線l：x=m（m≠a）．設圓O與x軸相交于點A、B（如圖）．點P為圓O上任一點（異于點A、B），直線AP與l相交于點C．如記直線BP、BC的斜率分別為kBP、kBC，則有

求解定值問題的途徑之一是努力創造或構造有關倒數型條件將參變量約掉，或者是努力創造或構造有關相反數型條件將參變量抵消掉．也就是說，在定值問題中，一般可以努力創設與參變量無關的情景，運用無關思想，以實現求解定值問題的目的．

五、問題的更進一步的思考

kBP和kBC之間之所以有倒數型的關系，是因為線段AB是圓O的直徑，而直徑所對的圓周角為直角，從而進一步地才有了kBP·kBC為定值．弄清了這層關系以后，聯想到橢圓和雙曲線中的相關定值，則易得橢圓和雙曲線中類似的定值問題．

六、一點感想

數學探究無處不在，關鍵在于師生有無探究的意識，是否養成了探究的習慣．探究不必那么“高，大，上”，只要有心，無疑處生疑，凡事都問一個為什么，處處有探究．比如，上面的方程（**）是如何解的？是用求根法還是因式分解法？

用求根法還是用因式分解法不僅有繁簡的差別，更有思維的差異．

數學教學的重要任務之一就是培養學生的思維能力．思維能力如何培養？在具體的課堂教學中，在解決具體問題的步驟中，在對具體問題的追問中．

如用求根法，較繁，只要有一定的運算能力即可．如用因式分解法，較簡，不是僅僅只有一定的運算能力就行的．要得到因式分解法，需具備一定的觀察能力、數形結合的能力等．

直線AP與圓O相交于點A，表明方程（**）有解x1=－2，從而由韋達定理易知方程（**）有另一也就是說，直線AP與圓O相交于點A，容易得到方程（**）的因式分解的解法．

再比如說，解方程組（*）時，為什么是消去y，而不是消去x？

從理論上來講，消去y還是消去x是對等的，但由于思維定勢的影響，一般地，總是習慣性地消去y．對于本題，如消去x，可能更好一些．

事實上，消去x，得：

（36+h2）y2－24hy=0（***）.

這個關于y的一元二次方程（***）比關于x的一元二次方程（**）就要易解得多了．

又比如，kBP的表達來比較龐大，比較嚇人，為什么一化變得那么簡單了呢？這其中有沒有什么規律？

只要我們的數學教學能在無疑處生疑，有疑釋疑，不存一疑，學生的探究能力、思維能力定會潛移默化地、潤物細無聲地得到提升．

1．吳新建．讓探究成為數學課堂的“常態”［J］．數學通報，2015（2）．

2．劉美良．探究激活思維智慧演繹精彩——由一道高考解析幾何試題引發的探究［J］．中學數學（上），2014（10）．

3．崔緒春．對一節發現教學法課例的思考與再認識［J］．中學數學（上），2014（12）．A