在汲取知識的過程中發展學生的智慧
——從“等差數列”的復習課設計談起

☉江蘇省白蒲高級中學 繆德軍

教學參謀

在汲取知識的過程中發展學生的智慧
——從“等差數列”的復習課設計談起

☉江蘇省白蒲高級中學 繆德軍

復習課是數學教學中的一種常見課型.有人說，平時的教學是栽活一棵棵樹，復習課就是為它們灌溉，使它們更茁壯地成長為一片林.因此，復習課在厘清有關基礎知識、基本方法，使它們結成塊、組成網的基礎上，還要搞清相關知識發展的來龍去脈、思維的發生與發展，讓學生從具體操作基礎上的理性認識過渡到宏觀指導下的整體認知，進而構建研究一類相關對象的思路和方法，也即學生的一種認知智慧.

實際復習課中，有的課堂收集大量習題，讓學生在題海里苦戰；有的“爆炒冷飯”，讓學生機械重復地訓練；有的采用“練習→講評→再練習→再講評”的教學方式，把學生會做每一道復習題作為教學目標.這樣教師累得不行，學生苦不堪言，而收效甚微，最為關鍵的是，這樣的課堂給學生留下的更多的是做了很多題，而不能留下思考研究一類問題的策略和方法，也即思考解決問題的智慧.

筆者最近執教南通市公開課“等差數列”，嘗試在復習設計上尋求突破，以求得讓學生在汲取知識的過程中更加發展學生的智慧，收到了良好的復習效果.

一、知識梳理，啟發思維

案例1：完成下列4題，并思考每道題所用到的有關知識和方法.

（1）在等差數列｛an｝中，前n項和為Sn，若a6=S3=12，則an=______.

（2）在等差數列｛an｝中，已知a1+a3+a5=18，an-4+an-2+an= 108，Sn=420，則n=______.

（3）在等差數列｛an｝中，前n項和為Sn，已知S4=2，S8=6，則S12=______.

（4）已知兩個等差數列｛an｝和｛bn｝的前n項和分別為

設計意圖：通過一組基本題的練習，幫助學生回顧等差數列的基本概念、公式與性質，讓學生在知識運用中再次理解有關公式、性質和方法，從而在基礎知識和基本方法的理解中建構自己的知識框架，進而使知識系統化、結構化，以加深對知識的理解及知識之間內在聯系的把握，便于相關知識在解決數學問題時能夠被靈活有效地調用.

教學過程：組織學生先獨立完成各小題；然后小組（每6人一組）合作學習，討論交流每道題所用到的知識及解決方法；一個小組代表在班級展示，其他組補充、完善；最后師生共同總結，形成基本認知框架.

小組3補充：對于第3題，也可以利用結論“若｛an｝成等差數數列”轉化為新數列來解決.

小組4展示：對于第4題，利用性質：若兩個等差數列｛an｝和｛bn｝的前n項和分別為An、Bn，

小組6解答：根據比例關系，設An=k（2n+1），Bn=k（n+ 3），再求得an、bn即可.

小組4質疑：這樣求得的an=2k、bn=k不

（沉默，各小組不自覺地討論了起來）

小組7釋疑：回到等差數列的求和公式，應該看到，An、Bn是關于n的二次式，設An=k（2n2+n），Bn=k（n2+3n），再利用an=Sn-Sn-1（n≥2）化和為項就可以了！

（鼓掌）

學生連續的、深刻的、有效的思維在此顯現無疑.最后，教師跟學生一起對剛才的過程進行總結、歸納、梳理.在此，既梳理了知識，又體現了方法，更揭示了思維.

設計反思：傳統教學中，教師往往直接把一些概念、公式、結論、定理告訴學生，讓學生記住，然后進行大量訓練，學生通過大量訓練會產生一種即時的效果，但隨著時間的推移，這種模式容易被固式，一旦遇上新的問題，學生也就束手無策了.

在這里，給學生幾個簡單的問題，由學生獨立或合作完成，問題解決的過程中，學生自然、不自覺地進行著有關基本知識與方法的回憶與梳理，再次強化理解了這些知識的來龍去脈和內在蘊含的結構聯系，經過這樣的梳理所形成的基本知識結構就不單單是知識記憶層面的，更有思維理解層面的，它是一個立體的、鮮活的知識架構，在今后的問題解決中，學生大腦中的有關信息更容易被具體情境快速激活.

二、典例剖析，凝練思維

案例2：設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

設計意圖：通過典型例題的研究與解決，尋求解決一類問題的方法與策略，凝練學生解決常見問題的常規思維，為進一步研究相關問題打下堅實的基礎.

教學片斷：學生先獨立完成，然后小組（每6人一組）合作學習，討論交流不同解法；一個小組代表在班級展示，其他組補充、完善；最后師生共同總結、歸納.

解法1：利用線性規劃知識.

在直角坐標系a1Od中，作出不等式組所表示的可行域（如圖），當斜率過點（1，1）時，a4取得最大值4．

師：講得很好，但有一點需要修正，二元函數的最值問題常用線性規劃知識或待定系數法來處理是不錯，但更為重要的方法是利用基本不等式、消元法和數形結合，而利用線性規劃知識僅只是數形結合中的一類情況.哪一位同學來點評一下三種解法？

生1：解法1、2實際上是一樣的，都是用基本量a1、d來表示條件和結論，利用線性規劃知識或待定系數法來處理；第三種解法聯系性質，比前兩種解法簡潔.

師：點評準確，仍舊是基本量法和性質的運用，轉化后就是一個二元函數的最值問題，后面的處理值得注意.從以上解法中可以看到數列的公差d的取值范圍嗎？

生2：d≤1，從解法1和解法3中容易看出.

設計反思：復習課是在學生已有相關知識基礎上的教學.因此，在復習課上，應留給學生更多的時間與空間，組織學生的學習活動，引導學生進行相關問題的自主與合作學習，從而在自主學習與合作探究中主動建構.

處理本題的方法很多，但不論是哪種方法都要讓學生明白解決一個等差數列問題，要考慮回到等差數列的定義，從等差數列最基本的量a1、d出發，再去聯系其他，這是學生最容易接受也是最容易做到的.因此，在復習課上，應堅持讓所有的問題都從基本概念、公式、性質的理解和基本題的熟練掌握開始，讓目標的達成由易到難，循序漸進.

三、設疑引問，創新思維

案例3：設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S4≥10，S5≤15，求ak（k≥4）的最大值.

設計意圖：對例題進行深入的研究，以期從復習等差數列的定義擴展到所有與等差數列的通項公式和前n項和公式相關的問題，甚至擴展到等差數列的有關性質，加深學生對等差數列的通項公式、求和公式以及相關基本性質的認識和理解，以起到一種宏觀建構的作用.

教學片斷：師：d≤1結合a4≤4，能看到什么？

生3：a5≤5.

生4：進一步可以得到a6≤6，a7≤7，…，ak≤k（k≥4）.

（全體同學一片欣喜）

師：再聯系條件S5≤15，我們還能想到什么？

生5：可以看到S6=S5+a6≤21，S7≤28，…，進一步可求得Sn的最大值.

（全體同學鼓掌）

到此，學生在解決問題的過程中，不斷認識問題的本質，并從本質的理解與思考中提出了新的問題，激發了學生的思維活力.

師：對于新問題“設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S4≥10，S5≤15，求S6的最大值”，還需要回到求a4的最大值的思路上嗎？

生6的自語：把S4、S5、S6都用基本量a1、d表示出來，然后用線性規劃知識或待定系數法來求，但好像比較繁．

生7：我有一個簡單的方法.設Sn=An2+Bn，把S4、S5、S6再用線性規劃知識或待定系數法求S6.

師：你為何想到這么做？

生7：這里條件和結論中只有Sn.

師：太好了！等差數列問題中，既有Sn又有an時，用a1與d統一關系較為合理；若僅涉及Sn時，設Sn=An2+Bn統一關系運算較為簡捷.

（留時片刻，讓學生體會并加以理解）

生8突然發言：老師，我還有一個方法.這個題還可以用剛才的性質來解，“若Sn是等差數列的前n項和，則｛an｝的前n項和，S4≥10，S5≤15，求S6的最大值”就轉化為用｛bn｝的首項b1和公差d來表示，再用線性規劃知識或待定系數法可求得b6，再求S6.

生9：還可以更簡單，令bn=dn+k，和剛才Sn時一樣，bn也可以簡化！

師：太棒了！學生的思維被激活了！

牛刀小試：（2004年高考江蘇第20題變式）設無窮等差數列｛an｝的前n項和為Sn，求所有無窮等差數列｛an｝，使得對一切正整數k都有Sk2=成立．

設計反思：一個看似簡單的問題，卻包含著如此豐富的內容與思想，在問題的引導、學生的獨立思考與合作探究中進行著深入的剖析、挖掘、生成、變式與拓展，不僅加深了學生對原有問題的理解，更重要的是在解法的探究、問題的變式拓展的過程中，學生通過類比或歸納的思想提出新問題、發現新結論繼而解決新問題的能力得到了真正的培養.如此圍繞框架性主題的一題探究，可有效摒棄“題海戰術”，從而提高典例教學的有效性.

復習課要訓練學生模式化的解題思維，讓學生熟練掌握解決常規問題的通性、通法，但思維不能固化.在此，復習要設計及時的設疑、追問，能讓學生的思維走向靈活、走向深入，進而在深入思考中發現新的問題，并提出問題，提出問題永遠比解決問題來得更重要.如此，學生的思維將更加深刻、更加多向，解決問題的思維必會得到創新.更重要的是學生在問題解決的過程中學會了一類對象的思考方法，而這正是發展了學生的學習智慧.A