基于功率流法的振動與聲輻射研究

李廣，吳文偉

（中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082）

基于功率流法的振動與聲輻射研究

李廣，吳文偉

（中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082）

文章以水中有限長加肋圓柱殼為研究對象，利用模態疊加法導出了在點激勵作用下殼體中傳播的功率流表達式，以及輻射聲功率的表達式，提出了輻射因子，通過數值算例探索了三種振動波功率流在不同頻段及不同位置的傳播特性，并在不同頻段對傳播功率流作了一定簡化，進一步分析了其能量傳播規律。

模態疊加法；功率流；聲輻射

0 引言

有限長彈性圓柱殼被廣泛應用于船舶、航空及石油工程等各個工程領域，因此研究其振動與聲輻射特性對工程實際應用具有重要指導意義。國內外學者對有限長圓柱殼結構的振動與聲輻射進行過大量的研究：Harari等[1]研究了具有任意邊界條件的水下有限長加肋圓柱殼體的振動與聲輻射；湯渭霖等[2]得到了有限長加肋圓柱殼的振動與聲輻射的近似解析解，并研究了肋骨對聲輻射的影響。

自Goyder和White[3-5]于1980年創建功率流理論以來，功率流方法作為一種結構振動的分析方法，被越來越廣泛地應用在振動分析中[6-9]。由于功率流既包含力和速度的幅值大小，也考慮了它們之間的相位關系，從而避免了單純使用速度或加速度有效值表示的振級落差帶來的一些問題，并且功率流反映了振動能量的傳遞，可以獲得系統中能量的傳遞規律。而輻射聲可以以聲功率的形式來表達，因此，振動與聲輻射可以從能量的角度來統一進行研究。

本文旨在以水中有限長加肋圓柱殼為研究對象，以振動功率流與輻射聲功率來分別研究振動與噪聲，分別得到殼體中彎曲波、縱波、扭轉波的振動功率流及其與輻射聲功率的關系，以及不同功率流之間的相互影響，為工程中類似結構的減振降噪及測試技術提供一定的指導依據。

1 水中有限長加肋圓柱殼的近似解析解

1.1 計算模型

如下圖所示的浸入在水中長為2L的彈性加肋圓柱薄殼，半徑為R，殼體厚度為h，h/a＜＜1，材料密度ρp，楊氏模量E，損耗因子η，泊松比μ，周圍流體介質密度ρ0，聲速c0，肋骨高度為hr，厚度為dr，間距為d，第j根肋骨位置為xj，薄殼振動可以用中面在x、θ、r方向的位移u、v、w來表示，其中u為軸向位移分量，v為圓周切向位移分量，w為圓周徑向位移分量，兩端邊界條件為簡支，即：

圖1 水中簡支有限長圓柱殼模型Fig.1 Simply supported finite cylindrical shell immersed in water

1.2 振動方程及其解的形式

假設振動為對稱振動，則殼體可以采用Donnell方程來描述：

其解的形式[6]設為：

其中：解的表達式中略去了時間項e-iωt，且該形式解僅適用于對稱激勵的形式。根據簡支邊界條件有：

1.3 外部激勵力

在這里，只考慮徑向激勵力，不考慮切向與軸向激勵力，將其展開為：

展開系數由下式給出：

1.4 外部流體介質反作用力

在簡諧（e-iωt）情況下，流體介質中的聲壓p（r，x，θ）滿足Helmholtz波動方程及邊界條件：

其中：k=ω/c0，同理將圓柱殼表面聲壓解寫為：

文獻[6]給出了聲輻射負荷引起的表面聲壓展開系數為：

1.5 肋骨反作用力

肋骨近似為只有徑向力g（x，θ）作用，同樣地，將g（x，θ）展開為：

高度。

1.6 求解耦合方程

在這里，我們同時略去了方程兩端力與位移中的時間項e-iωt，因此對結果并沒有影響。將以上駐波形式解、外部徑向激勵力、流體介質反作用力以及肋骨反作用力代入Donnell方程，得到：

進而得到耦合方程：

以及u（x，θ），v（x，θ），w（x，θ）

2 振動功率流與輻射聲功率

2.1 振動功率流

根據殼體微元的應力—應變關系：

根據振動功率流的定義：

在位于軸向坐標為x的截面上，殼體的各個內力和力矩所傳播的功率流分別為：縱波功率流：

扭轉波功率流：

彎曲波功率流：

總功率流：

由縱波、扭轉波和彎曲波功率流表達式我們可以看出，每一種功率流都包含三部分，而對于純縱波、純扭轉波以及純彎曲波功率流而言，它們各自只與相應方向的應力與速度有關，即純縱波功率流只與軸向速度和軸向力有關，體現在縱波功率流表達式中則只包含項，同理，純扭轉波功率流只與切向速度和切向力有關，體現在扭轉波功率流表達式中則只包含項，純彎曲波功率流只與徑向速度和有效徑向剪力以及彎矩有關，體現在彎曲波功率流表達式中則只包含項。由此可見，分別表示縱波與扭轉波、縱波與彎曲波的耦合作用，其值大小分別通過T21、T31來確定，在確定的模態下，T21和T31隨著頻率及位置而變化。同理以及也表示相應振動波的耦合作用。

2.2 輻射聲功率

根據1.4的殼體表面聲壓表達式得到輻射聲功率為：

可見三個方向的位移中只有徑向位移w可以產生輻射聲，對比功率流的表達式，可知在功率流表達式的矩陣T中僅有T33項對聲功率產生影響，因此我們可以定義一個輻射因子S（ω），即：

它表示功率流對聲功率的影響，其中右端的分母項表示殼體中傳播的總純彎曲波功率流，因此我們就可以通過輻射因子并根據殼體中的純彎曲波功率流來預報輻射聲功率。

3 數值算例及結論

3.1 模型參數

取圓柱殼的基本參數：長度2L=3 m，半徑R=0.5 m，厚度h=0.02 m，圓柱殼材料密度ρp=7 800 kg/ m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，損耗因子η=0.01，泊松比μ=0.3，水的密度ρ0=1 000 kg/m3，水中聲速c0=1 500 m/s，肋骨參數：肋骨個數為9個，肋骨間距d=0.3 m，肋骨寬度dr=0.03 m，肋骨高度hr=0.1 m，肋骨材料與殼體材料相同。假設激勵力是位于x=0，θ=0處，峰值為1 N的徑向集中點激勵，方向沿半徑指向外部，殼體的環頻率約為1 750 Hz。文獻[9]表明當L/a＞3時，可認為自輻射阻抗遠大于互輻射阻抗，忽略互輻射阻抗對計算結果影響不大，因此可令p=m，但忽略互輻射阻抗并不等于忽略流體介質負荷。

3.2 振動功率流的貢獻分布

由以上分析可知，每一種功率流分別由三部分構成，一部分是對應方向的力與速度產生的功率流，另外兩部分表示其他方向的力產生的耦合作用。取殼體中傳播的功率流隨位置與頻率的變化進行研究。圖2～4給出了由激勵點向兩端傳播的縱波、扭轉波和彎曲波功率流的貢獻分布。

圖2 縱波功率流的貢獻分布Fig.2 Distribution of longitudinal wave power flow ratio

圖3 扭轉波功率流的貢獻分布Fig.3 Distribution of torsional wave power flow ratio

圖4 彎曲波功率流的貢獻分布Fig.4 Distribution of bending wave power flow ratio

由圖2～4我們可以得出以下結論：

（1）在低頻段縱波功率流與扭轉波功率流占主導，而在中高頻段則以彎曲波功率流占主導；

（2）由圖2可知，在整個頻率范圍內，縱波受到其余兩種波的影響都較大，尤其是在500 Hz以下的低頻段；

（3）由圖3可知，不論是在低頻段還是高頻段，扭轉波受彎曲波的影響都很小，可以忽略不計，因此，可以令T32=0；

（4）由圖4可知，在超過800 Hz的頻段，彎曲波受縱波和扭轉波的影響都很小，可以忽略不計，因此，可以令T13=0和T23=0；

（5）對比圖2（d）、圖3（d）以及圖4（d）可知，在500 Hz以下的低頻段，彎曲波功率流對總功率流的影響很小，可以忽略不計，而在超過環頻率1 750 Hz后，彎曲波功率流成為功率流的主要部分，其次是縱波，扭轉波所占的比例最小；

（6）由（2）、（3）和（4）的分析可知，在500 Hz以下的低頻段，功率流表達式（33）可以寫為：

由（3）和（4）的分析可知，在大于800 Hz且小于環頻率的頻段內，功率流表達式可寫為：

由（5）的分析可知，當頻率超過環頻率后，功率流表達式可近似寫為：

圖5 輻射因子Fig.5 Radiation factor

即：

3.3 輻射因子

根據2.2的分析，得到輻射因子隨頻率的變化曲線，如圖5所示。其中，圖中的縱坐標取對數。由圖中輻射因子隨頻率的變化曲線，在已知純彎曲波功率流PB′（ω）后可依據該曲線對輻射聲功率進行預報，即：

4 結論

由以上分析可知，在工程實際應用中，若需要測量加肋圓柱殼中功率流的傳播，在某些頻率范圍內可以忽略某些形式的振動波，例如在上述算例中，在500 Hz以下頻率范圍內，只需測量縱波與扭轉波功率流，而在環頻率以上范圍，如果只需定性分析傳播功率流的特性，近似地可以只測量彎曲波功率流。而輻射因子則可以根據殼體中傳播的純彎曲波功率流來預報輻射聲功率。因此，本文能夠為實際工程測試及噪聲預報提供一定的指導依據。

[1]Harari A,Sandman B E.Radiation and vibrational properties of submerged stiffened cylindrical shells[J].J Acoust.Soc. Am.,1990,88(4):1817-1830.

[2]湯渭霖,何兵蓉.水中有限長加肋圓柱殼體振動和聲輻射近似解析解[J].聲學學報,2001,26(1):1-5. Tang Weilin,He Bingrong.Approximate analytic solution of vibration and sound radiation from stiffened finite cylindrical shells in water[J].Acta Acustica,2001,26(1):1-5.

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[4]Goyder H G D,White R G.Vibration power flow from machines into built-up structures,Part II:wave propagation and power flow in beam-stiffened plates[J].Journal of Sound and Vibration,1980,68(1):77-96.

[5]Goyder H G D,White R G.Vibration power flow from machines into built-up structures,Part III:power flow through isolation systems[J].Journal of Sound and Vibration,1980,68(1):97-117.

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[10]劉濤.水中復雜殼體的聲-振特性研究[D].上海:上海交通大學,2002. Liu Tao.Research on sound and vibration characteristics of complex cylindrical shell submerged in water[D].Shanghai: Shanghai Jiaotong University,2002.

Vibration and sound radiation research based on power flow method

LI Guang,WU Wen-wei
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

This paper studies stiffened finite cylindrical shells in water based on modal superposition approach.Expressions of vibrational power flow and sound radiation power are obtained and the radiation factor is proposed furthermore when the shell is excited by a point force.The propagation characteristic of three kinds of vibrational power flow in different bands and positions are also explored through a numerical example.In different bands,the expressions of propagation power flow are simplified in order to analyse the propagation regularity of energy furthermore.

modal superposition approach;power flow;sound radiation

TB532

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.05.016

1007-7294（2015）05-0609-10

2014-12-25

李廣（1986-），男，工程師，E-mail：466786274@qq.com；

吳文偉（1969-），男，研究員。