淺談“轉(zhuǎn)化思想”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳銘珩

【摘 要】轉(zhuǎn)化思想就是要求我們換一個(gè)角度去看、換一種方式去想、換一種語言去講、換一種觀點(diǎn)去處理。本文將轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用做簡單地闡述，并通過對初中數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)題型的研究，初步分析該思想在解題中的應(yīng)用，使學(xué)生能夠在已有知識范圍內(nèi)解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，為數(shù)學(xué)解題提供捷徑。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)解題 ? ? 轉(zhuǎn)化思想 ? ? 轉(zhuǎn)化類型 ? ? 轉(zhuǎn)化方法

數(shù)學(xué)解題過程實(shí)際上就是不斷變更問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，化繁為簡、化難為易，將未知轉(zhuǎn)化為可知、已知的過程。如果學(xué)生在掌握“雙基”的同時(shí)，接受了數(shù)學(xué)思想，學(xué)會了數(shù)學(xué)方法，就能激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高分析問題和解決問題的能力，并為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面我結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)解題中常見的基本轉(zhuǎn)化類型和轉(zhuǎn)化方法。

一、運(yùn)用數(shù)與形之間的“轉(zhuǎn)化”，化抽象為直觀

初中數(shù)學(xué)是以“數(shù)”與“形”這兩個(gè)基本概念為基礎(chǔ)而展開的。《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《新課標(biāo)》）在學(xué)習(xí)內(nèi)容中要求：“能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考。”如運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系來解決有關(guān)函數(shù)方面的問題，可以通過圖形將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地翻譯出來，探索出一條合理而乘勢的解題途徑，從而達(dá)到解決學(xué)生心中存在的困惑、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的目的。

例1：如圖，已知一次函數(shù)y=x+m（m為常數(shù)）的圖像與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像相交于點(diǎn)A（1，3）。

（1）求出兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)解析式;

（2）求出兩個(gè)函數(shù)圖像的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo);

（3）寫出函數(shù)組y=x+m，y=kx的自變量的數(shù)值范圍。

分析：①本題要求函數(shù)解析式，只要把點(diǎn)A（1，3）代入函數(shù)關(guān)系式（點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)），即解得m=2，k=3。

②要求兩圖像的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)，只要解兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立成的方程組，解得的另一組解（數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)），即得點(diǎn)B（-3，-1）。此解題過程就是將數(shù)轉(zhuǎn)化為形的過程（使學(xué)生直接感受到抽象的方程組解，就是在平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)圖像的交點(diǎn)的坐標(biāo)）。

③要寫出函數(shù)值y=x+m>y=kx的自變量的取值范圍（若轉(zhuǎn)化為解分式不等式，則超出初中數(shù)學(xué)知識范圍），本題可通過把形轉(zhuǎn)化為數(shù)來解決，即通過觀察圖像可知。

二、把綜合問題“轉(zhuǎn)化”為基礎(chǔ)問題，變復(fù)雜為簡單

數(shù)學(xué)解題的過程是分析問題和解決問題的過程，對于較難（繁）的問題，可以通過分析將問題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)難度與學(xué)生的思維水平同步的小問題，再根據(jù)這幾個(gè)小問題之間的相互聯(lián)系，以局部知識的掌握為整體服務(wù)，從而找到解題的捷徑。

例2：如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG。

（1）設(shè)AE=x時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

（2）P是MG的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長。

分析：本題通過以下幾步轉(zhuǎn)化：（1）把動(dòng)點(diǎn)E轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，一般學(xué)生見到動(dòng)點(diǎn)就無從下手，找不到解題思路。只有將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，學(xué)生解題才能找到感覺。如何將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，就是我們常講的“動(dòng)中取靜”。當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，只可能存在三種情況。（2）把線段EF轉(zhuǎn)化用含x的代數(shù)式來表示;由M為AD中點(diǎn)，易證Rt△EAM≌Rt△FDM，得到EM=FM，在Rt△EAM中，由勾股定理得EM=，即EF=2。（3）把線段MG轉(zhuǎn)化用含x的代數(shù)式來表示;作MN⊥BC，構(gòu)造Rt△MNG∽Rt△EAM，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，得到MG=2。綜合上述三次轉(zhuǎn)化即得到△EGF的面積為y=2·2/2=2（x2+1）。

由第一步的“動(dòng)中取靜”的轉(zhuǎn)化可知：點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到B，所以自變量x的取值范圍為0≤x≤2;只要在圖中簡單地畫出點(diǎn)E分別在于A、B兩點(diǎn)重合時(shí)，線段MG的中點(diǎn)P的位置，很容易得到線段MG的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長為2。

三、把實(shí)際問題“轉(zhuǎn)化”為數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系

《新課標(biāo)》在基本理念中指出：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。”重視數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，是《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)之一。在解決實(shí)際問題時(shí)，教師要重在分析，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

例3：某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)。李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺燈。銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500。

（1）設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）

分析：（1）要解決“銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤”，也就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化二次函數(shù)的極值問題：即每月利潤=每件產(chǎn)品利潤×銷售產(chǎn)品件數(shù)。

（2）要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元”，即轉(zhuǎn)化為列一元二次方程解應(yīng)用題問題，由題意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解這個(gè)方程得：x=30，x=40。所以，要每月獲得2000元的利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元。

（3）要解決售價(jià)、獲利在一定范圍內(nèi)的所需成本最低這一實(shí)際問題，則需將本題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、二次函數(shù)來完成。

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想貫穿在數(shù)學(xué)解題的始終，而轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，沒有統(tǒng)一的模式可遵循，需要依據(jù)問題提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法。所以學(xué)習(xí)和熟悉轉(zhuǎn)化的思想，有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)變換方法，去靈活地解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，將有利于提高數(shù)學(xué)解題的應(yīng)變能力和技巧。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 胡淑榮.淺議數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想[A].高教改革研究與實(shí)踐（上冊）——黑龍江省高等教育學(xué)會，2003.

[2] 盧偉峰.數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化思想[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（江蘇教師），2011（01）.endprint