基于隨機灰度圖的空間自相關指數的計算與分析

陳叢

（福建師范大學協和學院，福建 福州 350108）

1 空間自相關

自相關作為一種常用的數學工具在不同領域有不同含義。隨著時間的推移，自相關這個概念被擴展應用于各個研究領域，如圖像處理、通信工程、醫學研究、地理科學等。空間自相關這一研究領域的理論基礎是由美國地理學家W.R.Tobler所指出的空間相關性的存在。地理學第一定律[1]可以表述為：“Everything is related to everything else,but near things are more related than distant things.”空間自相關使統計學在地理學領域中獲得了更大程度的運用，它的發展推動了空間統計學、計量地理學等學科的發展；這種相關性也可以擴展到圖像分析領域。

空間自相關既可研究地理對象，判斷不同對象之間的空間聯系；也可針對圖像中像元的特定屬性展開計算分析，反映出一個單元與鄰近單元的關聯程度，并由此來判斷圖像的空間結構?？臻g自相關包括三種情況：空間不相關即區域內像元的屬性值呈隨機分布，無特定規律；空間負相關表示區域內相距較近的像元的屬性值的相似程度低于相距較遠的像元的屬性值相似程度；空間正相關則與負相關相反，并可以根據像元的屬性值大小將聚集區分為高值聚集和低值聚集?？臻g自相關的程度由空間自相關指數的數值來體現。

2 常用的空間自相關指數

空間自相關分析包括全局空間自相關分析和局部空間自相關分析[2]，其結果可以揭示圖像中隱含的聚集性。全局分析主要著眼于研究整個區域的總體空間分布；而局部分析則著眼于各個單元的屬性在空間中的局部分布，度量每個單元與其鄰近區域的局部相關程度。下文中我們主要針對Moran's I和Getis G指數進行分析。

計算空間自相關指數，空間權重矩陣（Spatial Weight Matrix）[3]的構建是不可忽略的環節。針對不同領域的應用特點和不同的實際計算需求，我們需要選擇不同的權重矩陣構造方式[4]，從而提高計算結果的準確性。三種計算方法中，歐式距離的計算結果比較精確，但計算量大；其余兩種方法的計算過程簡單，但結果存在一定的計算誤差[5]。綜合比較后，我們采取城區距離的方法構造空間權重矩陣。

2.1 Moran's I（I）指數

1948年，Moran提出了全局Moran’s I指數，其計算公式[6]為：

其中，Xi表示區域i的某個指定屬性（在數字圖像中表示某像元的屬性值）；Wij表示區域i與j的空間權重值，即權重矩陣W中第i行第j列的值；-X表示屬性均值；n表示變量（區域）個數。全局Moran's I指數的取值范圍為[-1，1]。指數值為0時，屬性X的值在空間上表現為隨機分布；指數值越接近1，表現為空間位置上相近的區域屬性值比較遠的區域屬性值更相似，即區域內存在的空間正相關的程度越高；指數值越接近-1，表現為空間位置上相近的區域屬性值比較遠的區域屬性傾向于更不相似，即區域內存在的空間負相關的程度越高。該指數的取值受區域聚集程度的影響較大，能夠較為敏感地感知聚集范圍的變化趨勢，但并不能確定聚集屬于高值聚集還是低值聚集[7]。

為了度量研究對象在局部層面上的空間自相關程度，Anselin在全局Moran's I指數的基礎上提出了局部Moran's Ii指數，其計算公式[8]為：

公式（2）中各變量含義與公式（1）中相同，局部Moran's Ii指數的取值范圍為全體實數。指數值高于數學期望值，說明研究區域可能存在局部空間正相關；指數值低于數學期望值，說明研究區域可能存在局部的空間負相關。每個研究區域的局部指數均反映了該區域與鄰近區域的相關程度，根據計算公式，局域Moran's Ii指數實質上是對全局Moran's I指數的分解；整個區域的局部指數之和理論上應與全局指數成正比。

2.2 Getis（G）指數

由于Moran's I指數在識別空間自相關聚集類型時存在一定的缺陷，1992年，Getis和Ord提出了全局Getis指數，簡稱G指數，其計算公式[6]為：

全局Getis指數的取值范圍為全體實數。G指數同樣可以通過標準化統計量Z進行檢驗，“當Z(G)的值大于零時表示研究區域存在高值聚集，當Z(G)的值小于零時表示研究區域存在低值聚集[7]”。

為了更好地進行局部空間自相關分析，1995年，Getis和Ord對全局Getis指數進行了改進，提出了局部Getis指數，簡稱 Gi指數[9]，其計算公式[10]為：

Gi指數的取值為全體實數,該指數同樣也可以通過標準化統計量Z進行檢驗，當指數值大于零時表示存在高值聚集，當指數值小于零時表示存在低值聚集。

從計算公式上分析，Getis（全局和局部）指數是通過鄰近位置上的屬性值的乘積衡量相關程度。根據計算公式可知，對同一個研究區域計算時，分母部分總是一個固定值，而分子的值由鄰近空間位置上的屬性值決定。如果鄰近的屬性值都是高的，則指數值也高，從而體現出高值聚集；如果鄰近的屬性值都是低的，則指數值也低，從而體現出低值聚集。

3 實驗設計

3.1 全局指數的計算

本文繼續使用65*65隨機灰度圖[5]進行實驗設計。由基礎實驗可知，全局Moran's I指數能夠描述某區域的整體屬性分布，判斷此區域是否存在聚集，同時對聚集范圍的變化趨勢比較敏感。但是，該指數只能從總體上給出一個指標，無法確定聚集的類型，也無法確定聚集區域的中心位置[5]。

隨著權重間隔d從1擴大至65，基于隨機灰度圖像計算所得的全局Getis指數值擴大趨勢明顯，但總體均小于1，表現為圖像中不存在明顯的空間自相關，即圖像呈現隨機分布，與圖像的來源相符合。

基于全局Getis指數的計算原理進行分析，該指數并不考慮像元本身屬性值與均值間的差異，而是直接使用屬性值計算，因此計算結果均大于零?；陔S機圖像，隨著權重間隔的不斷擴大，像元的鄰接區域也不斷擴大，其鄰接像元的數量增多，從而使分母和分子的值不斷接近，最終表現為指數值的不斷擴大。若圖像中存在聚集，像元本身的屬性值與鄰近像元的值相近，從而擴大分子的數值，減小分子與分母的差異，擴大最終的指數值，指示出聚集特征。

在隨機灰度圖像的左上角3行3列聚集區域中代入不同屬性值（0至255）分別計算，所得全局Getis指數值的變化趨勢基本相同，曲線基本重合；指數值在同一權重間隔下的差異值處于10-3的數量級。但是，在同一權重間隔下，使用屬性值0至255依次代入時，全局Getis指數值的變化呈現出一定規律性，偏向于低于均值的聚集值，如圖1所示。根據這一特征，可將全局Getis指數用于判斷聚集的類型。在圖1中line1直線表示了原圖像在權重間隔為15時的全局Getis指數值；line2曲線表示同一權重間隔下使用0至255依次代入時計算所得的指數值。同時，權重間隔越大時，計算所得的曲線越接近于直線。

圖1 不同屬性值代入的全局Getis指數值（權重距離為15）

但是全局Getis指數對于聚集范圍的變化并不敏感。當聚集區域從左上角3行3列擴大到5行5列、7行7列、9行9列時，指數值的變化較小，曲線基本重合。

接下來，我們需要驗證指數檢測聚集中心位置的敏銳性。選擇上文實驗中相關性相對顯著的9行9列的聚集區域（灰度值設為250，高值聚集）進行實驗，設定權重間隔為1，計算該區域沿對角線從圖像左上角向右下角移動的過程中指數值的變化。低值聚集時，聚集區域位于圖像兩個角點時指數值高于聚集區域位于圖像內部區域，如圖2（屬性值為50）所示；而存在高值聚集時其規律正好相反。當該聚集區域在四個邊緣移動時同樣有類似的規律，可以較好地判斷聚集區域是否位于或接近角點位置。

圖2 全局Getis指數的邊緣檢測

綜合上述結果，單核聚集時，全局Moran's I指數在檢測聚集的存在及聚集范圍的變化方面具有一定的優勢，但是無法區分聚集類型和聚集中心的位置；而全局Getis指數在一定程度上可以區分聚集類型。在邊緣檢測上，全局Getis指數的指向性會優于全局Moran's I指數。

3.2 局部指數的計算

總體上，全局空間自相關指數對于聚集中心的指向性都不夠明確，因而在下一步的實驗中將嘗試通過局部空間自相關指數確定空間聚集的細節指標。對于局部Moran's I指數和局部Getis Gi指數的計算我們側重于在隨機圖像上添加了聚集區域后的分析。

3.2.1 局部Moran's Ii指數的計算

基于隨機灰度圖像，我們設定屬性值50用于模擬低值聚集，屬性值250用于模擬高值聚集。在單核聚集的情況下，設定聚集區域為21行21列的范圍?；谀M聚集后的圖像，實驗計算了局部Moran's Ii指數并使用Matlab將結果用圖像方式（圖3）進行呈現。

圖3 局部Moran’s Ii指數

3.2.2 局部Getis Gi指數的計算

局部Getis Gi指數的計算結果如圖4所示。該指數同樣具有較強的檢測聚集中心位置的能力，同時在聚集范圍的檢測上會稍強于局部Moran's Ii指數，檢測所得的范圍大小更接近于實際區域面積；但在聚集區域邊角點的計算與檢測中會稍弱于局部Moran's Ii指數。無論聚集中心處于什么圖像位置，局部Getis Gi指數都能夠檢測到聚集；由于受到邊緣像元的影響，聚集范圍的大小有所變化。

圖4 局部Getis Gi指數

3.3 多核聚集

現實圖像中單核聚集比較少見，多核聚集則大規模存在。我們以雙核聚集為例，設置聚集區域為21行21列，其中一塊為高值聚集（屬性值為250），另一塊為低值聚集（屬性值為50）。圖5表示了兩塊聚集區域所在位置，以8行8列圖像中的兩塊3行3列聚集為例，其中黑色表示低值聚集，灰色表示高值聚集，白色表示原有隨機屬性值；本文使用圖中列出的十二種方案完成指數計算。

圖5 雙核聚集方案

固定權重間隔d為1，計算全局Moran's I指數，結果如表1所示。根據計算結果，結合聚集區域所在位置分析可得，全局Moran's I指數對于聚集位置的改變并不敏感，從總體上來說，邊緣位置的識別略高于內部區域；當雙核同為高值聚集或低值聚集時，該指數識別高值聚集的能力明顯高于低值聚集。使用上述方案對全局Getis指數進行計算時，方案九至十二的計算結果略高于一至八，顯示出聚集中心位于邊緣區域與位于內部區域的區別，且差異值高于全局Moran's I指數的結果。由此說明，多核聚集時，全局Getis指數對于聚集位置的判斷與識別仍然優于全局Moran's I指數。

基于上述12種方案使用局部指數進行計算，結果所反映出的局部Moran's Ii指數和局部Getis Gi指數的差別與單核聚集時基本相同。

表1 全局Moran’s I指數

4 結論

基于隨機灰度圖，本文通過設置單核聚集、多核聚集、移動聚集中心、改變聚集區域大小、權重間隔、高值聚集、低值聚集等比較了全局和局部的Moran's I指數、Getis指數，根據實驗結果可以總結出以下規律：

(1)無聚集時，兩種全局指數都能正確地反映出圖像的隨機特征。隨著權重間隔的擴大，全局Moran's I指數呈現出振蕩中相關程度逐漸減小的規律，比全局Getis指數更符合實際。

(2)存在聚集時，兩種全局指數都能夠檢測到聚集，但是全局Getis指數檢測低值聚集的能力強于高值聚集；同時全局Moran's I指數無法區分聚集的類型。

(3)全局Moran's I指數對聚集范圍的變化較敏感，能夠以此指示研究區域內某種現象的變化趨勢；全局Getis指數則能夠較好地區分聚集位于圖像邊緣或圖像內部。

(4)局部Moran's Ii指數對于邊角區域的檢測能力較強，但是無法區分聚集的類型，所檢測到的聚集范圍總是小于實際的聚集范圍。而相同條件下，局部Getis Gi指數雖然檢測邊角聚集的能力較弱，但是在聚集中心、聚集范圍的檢測上正確性更高。

綜上所述，總體考慮指數對于聚集類型、聚集范圍、聚集中心位置等方面的指向性，從全局角度上看，Moran's I指數的性能優于Getis指數；從局部角度上分析，Getis Gi指數的性能優于Moran's Ii指數。

[1]Tobler W R.A Computer Movie Simulating Urban Growth in the Detroit Region[J].Economic Geography,1970,46(2):234-240.

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[5]陳叢.基于隨機灰度圖的全局Moran’s I指數的計算與分析[J].電腦知識與技術,2014,10（26）:6149-6154.

[6]SAWADA M.Golbal Spatial Autocorrelation Indices-Moran’s I,Geary’s C and the General Cross-Product Statistic.http://www.lpc.uottawa.ca/publications/Moransi/Moran.htm.2006-05-16

[7]張松林,張昆.全局空間自相關Moran指數和G系數對比研究[J].中山大學學報(自然科學版),2007,46(4),93-97.

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