走向促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)

【摘要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解是第一位的。理解有其豐富的內(nèi)涵和不同的層次：工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解有其顯性特征：自然的表達(dá)、個性的創(chuàng)造、主動的聯(lián)結(jié)和靈活的應(yīng)用。理解取決于個人特定情況下的學(xué)習(xí)過程：在問題情境中理解，在結(jié)構(gòu)聯(lián)系中理解，在變式比較中理解，在活動體驗中理解，在應(yīng)用解釋中理解。

【關(guān)鍵詞】促進(jìn)理解;內(nèi)涵解讀;顯性特征;策略建構(gòu)

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）29-0025-03

【作者簡介】仇學(xué)春，南京市瑯琊路小學(xué)（南京，210024）級部主任，一級教師，南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，曾獲全國中小學(xué)信息技術(shù)創(chuàng)新與實(shí)踐活動網(wǎng)絡(luò)教研團(tuán)隊競賽特等獎。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解是第一位的。數(shù)學(xué)理解是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)對象意義的關(guān)鍵。可以說，沒有理解，學(xué)生就沒有深刻的思維;沒有理解，數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用就無從談起;沒有理解，數(shù)學(xué)教育也就沒有了意義。

一、內(nèi)涵解讀：走向理解的原點(diǎn)

理解是我們在日常教學(xué)中經(jīng)常使用的詞匯。通常，我們會把“理解”簡單地認(rèn)為是“聽懂了”或者“會做了”。實(shí)際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解有其豐富的內(nèi)涵。

美國心理學(xué)家大衛(wèi)·帕金斯認(rèn)為，所謂理解，是指個體可以運(yùn)用信息做事情，而不是他們記得什么。當(dāng)學(xué)生理解事物時，他們可以用自己的話來解釋概念，在新的情境中能夠適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用信息，做出具有創(chuàng)新性的比喻及推論。[1]顯然，他對理解的界定源于認(rèn)知心理學(xué)對理解的界定，都是以信息的內(nèi)部表征作為解釋的基礎(chǔ)。

華東師范大學(xué)李士锜教授認(rèn)為：學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)摹⒂行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了。[2]

英國數(shù)學(xué)心理學(xué)家R.斯根普認(rèn)為理解有兩個不同的層次：工具性理解和關(guān)系性理解。[3]工具性理解的教學(xué)較容易在短期內(nèi)，以及有限（特別是與最初的學(xué)習(xí)情境相似）的活動范圍內(nèi)產(chǎn)生明顯的效果，但不利于學(xué)生在全新的情境中應(yīng)用該知識（即遷移），不利于他們對整個生存環(huán)境的理解，也就不利于其長期的發(fā)展。只有從工具性理解達(dá)到關(guān)系性理解的層次，個體才能把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)。關(guān)系型理解的標(biāo)志有以下特征：揭示知識發(fā)生的過程，進(jìn)行邏輯分析，提升為數(shù)學(xué)思想方法，形成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。關(guān)系型理解更深一步會進(jìn)入創(chuàng)新性理解的層次，所謂創(chuàng)新性理解，就是在認(rèn)識知識結(jié)構(gòu)本身的基礎(chǔ)上，對已有知識進(jìn)行提高、推廣和拓展，或?qū)δ撤N操作進(jìn)行更新和改變。[4]

二、顯性特征：走向理解的支撐點(diǎn)

教師可利用學(xué)生的外部表現(xiàn)來判斷學(xué)生是否理解了數(shù)學(xué)知識。學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的重要標(biāo)志是他們能把語言表達(dá)、實(shí)際操作和具體運(yùn)用這三者結(jié)合起來，從對數(shù)學(xué)對象表層的理解上升到對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的把握。

哈佛大學(xué)也提出了理解的四個維度和它們的特征：（1）知識：轉(zhuǎn)換過的直覺認(rèn)識;連貫的、豐富的知識網(wǎng)絡(luò)。（2）方法：建設(shè)性的質(zhì)疑;構(gòu)建領(lǐng)域內(nèi)的知識;驗證領(lǐng)域內(nèi)的知識。（3）目標(biāo)：知道所學(xué)知識的用途;運(yùn)用所學(xué)知識;內(nèi)化知識，并能夠獨(dú)自靈活運(yùn)用。（4）形式：掌握了不同類型的表征方式;有效運(yùn)用不同類型知識的符號系統(tǒng);能夠根據(jù)不同的對象和情境提示進(jìn)行思考。教師要捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)的外在表現(xiàn)，學(xué)會判斷學(xué)生是否理解了所學(xué)。

基于上述對理解的維度和特征的認(rèn)識，筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的主要途徑有：加強(qiáng)新舊知識間的聯(lián)系，抓變式與比較，抓反思，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化，抓靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的理解，等等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解需要關(guān)注以下顯性特征：

1.自然的表達(dá)。

記憶是理解的基礎(chǔ)，而表達(dá)是記憶的基本方法。通過學(xué)生的表達(dá)，教師可以了解學(xué)生對知識理解的程度，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的缺陷得以暴露并得到糾正。對同一知識，每個學(xué)生都有不同角度、不同層次的理解，從而自發(fā)地產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部需要。

2.個性的創(chuàng)造。

學(xué)習(xí)不是純粹的模仿或記憶，要通過合理的數(shù)學(xué)活動為學(xué)生提供探索知識的時間和機(jī)會，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”過程。Carpenter、Resnick等人的研究表明，數(shù)學(xué)理解有助于發(fā)明創(chuàng)造。他們認(rèn)為：豐富的內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)容易激活、引導(dǎo)和檢驗，這是創(chuàng)造與發(fā)明的基礎(chǔ)，而完善的圖式建構(gòu)依賴于理解。[5]

3.主動的聯(lián)結(jié)。

理解數(shù)學(xué)知識既包括認(rèn)識這個知識的本質(zhì)屬性，也包括掌握它與其他知識之間的聯(lián)系。要對知識形成深刻的、真正的理解，學(xué)習(xí)者獲得的知識就應(yīng)該是結(jié)構(gòu)化的、整合性的，而不是零碎的。零散無序的知識會使學(xué)生頭腦混亂，就題論題、不講聯(lián)系會使學(xué)生的理解停留在低層次的水平，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化。

4.靈活的應(yīng)用。

對數(shù)學(xué)知識的靈活運(yùn)用既是對是否理解了數(shù)學(xué)知識的一種檢驗，也是深入理解數(shù)學(xué)知識的一種方法。因此，這是對數(shù)學(xué)理解的深層次促進(jìn)。在解決問題的過程中，特別是解題思路受阻時，要靈活地轉(zhuǎn)化題目中的條件和結(jié)論，以便更深刻地理解題目的含義。這樣，久而久之，學(xué)生對知識點(diǎn)的理解就會更加靈活，最終發(fā)揮它們的動態(tài)效應(yīng)。

三、策略建構(gòu)：走向理解的生長點(diǎn)

建構(gòu)主義學(xué)說認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識不可能以實(shí)體的形式存在于個體之外。那么，真正的理解只能由學(xué)習(xí)者自身基于自己的經(jīng)驗背景建構(gòu)起來。理解取決于學(xué)生個體特定情況下的學(xué)習(xí)活動過程，否則就是死記硬背或生吞活剝，是被動的、復(fù)制式的學(xué)習(xí)。可以從以下幾個方面著手來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解：

1.情境：在問題中理解。

問題情境作為一種以激發(fā)學(xué)生的問題意識為價值取向的數(shù)據(jù)材料和背景信息，是從事數(shù)學(xué)活動的環(huán)境，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件，推動著學(xué)習(xí)者不斷進(jìn)行更加深入的理解。

教學(xué)蘇教版五下《圓的認(rèn)識》，可以創(chuàng)設(shè)套圈游戲的情境，讓學(xué)生思考：同學(xué)們站成一排套圈公平嗎？如果讓你來設(shè)計，怎樣玩才公平呢？學(xué)生根據(jù)自身靈活而多樣的經(jīng)驗進(jìn)行多元化的表征，在情境中認(rèn)識“定點(diǎn)”和“定長”，初步體驗圓是什么。套圈的情境為學(xué)生認(rèn)識圓提供了腳手架，成為推動學(xué)生不斷深化理解的深層次力量。

2.聯(lián)系：在結(jié)構(gòu)中理解。

本文中的理解，是指在學(xué)生頭腦中形成關(guān)于該數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)，使數(shù)學(xué)知識與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起聯(lián)系。

教學(xué)蘇教版六上《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》，學(xué)生自主探究 ×3為什么等于 時，可能有以下幾種想法：

（1）畫圖理解：

（2）轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)加法：

×3= + + = =

（3）轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法：

×3=3÷10×3=3×3÷10=

（4）轉(zhuǎn)化為小數(shù)：

×3=0.3×3=0.9=

四種方法出來后，學(xué)生大多不知道它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，這時就需要教師的引導(dǎo)：這些方法有什么相同的地方呢？都是在算什么？引導(dǎo)學(xué)生分析不同的方法都是在算3×3，算出來是9個 ，也就是 ，使學(xué)生把理解算理和抽象算法融合在一起，把分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)有效地聯(lián)系起來。

3.變式：在比較中理解。

變式問題的設(shè)計一方面可以評判學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是否達(dá)到了較為深刻的理解，同時也可以在問題解決的過程中深化學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。

教學(xué)蘇教版五下《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》時，可以設(shè)計這樣一個變式練習(xí)：

（1）在分?jǐn)?shù) 的（ "）中填上自己的學(xué)號，判斷它是什么分?jǐn)?shù)。在數(shù)軸上， 大概在什么位置？ 大概在什么位置？你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）如果 是假分?jǐn)?shù)，（ "）中最大填幾？如果它是真分?jǐn)?shù)，（ "）中最小填幾？有多少個？

（3）如果 是假分?jǐn)?shù)，（ "）中最大填幾？如果它是真分?jǐn)?shù)，（ "）中最小填幾？

這個練習(xí)分了三個層次：第一個層次通過填寫學(xué)號，理解什么是真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，并且結(jié)合數(shù)軸理解它們的概念和內(nèi)涵;第二個層次靈活判斷，理解分子與分母之間的大小關(guān)系;最后一個層次進(jìn)行抽象，理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。

4.活動：在體驗中理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，在數(shù)學(xué)活動中可以充分暴露學(xué)生在理解上的不足。在活動中交流體驗，可以促進(jìn)學(xué)生更深入地理解知識。

教學(xué)《圓的認(rèn)識》，探究圓的特征時可以設(shè)計這樣一個活動：圓還有什么秘密？讓學(xué)生折一折、量一量、比一比、畫一畫、想一想，用不同的方法去發(fā)現(xiàn)圓的秘密，并在小組內(nèi)開展研究，全班分享各自的想法，通過交流帶給學(xué)生“我知道得更多”的感受。使學(xué)生在交流、交鋒、質(zhì)疑、補(bǔ)充、總結(jié)、提煉等過程中，豐富了對圓的認(rèn)識，加深了對圓本質(zhì)特征的理解。

5.應(yīng)用：在解釋中理解。

數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活中解釋、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，以加強(qiáng)他們對數(shù)學(xué)的理解。

教學(xué)蘇教版六上《認(rèn)識比》時，可以設(shè)疑：你們知道芭蕾舞演員跳舞的時候為什么要踮起腳尖嗎？從而引出黃金比，再聯(lián)系生活實(shí)際，解釋穿高跟鞋跟跳芭蕾舞的道理是一樣的。然后問學(xué)生：根據(jù)黃金比，你認(rèn)為老師站在講臺上哪個位置最合適？這樣的拓展，不僅有助于學(xué)生理解比的含義和應(yīng)用價值，還有助于他們感悟數(shù)學(xué)思想方法。

兒童對數(shù)學(xué)的理解常常是稚嫩的、不成熟的，但這種理解往往都是合乎常理的、具有個性的。我們要珍視這種最初的、樸素的理解，創(chuàng)造機(jī)會鼓勵學(xué)生用自己的方式表達(dá)他們對數(shù)學(xué)的理解，給各種基于思考的觀點(diǎn)與想法提供碰撞的機(jī)會，使這些方法相互驗證、相互啟迪、相互激蕩，以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，催生學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。

【參考文獻(xiàn)】

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[5][美]D.A.格勞斯.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊[M].陳昌平，譯.上海：上海教育出版社，1999：131-194.

[6]黃海瀅.對2011版課標(biāo)視域下“數(shù)學(xué)理解”的理解[J].江蘇教育（小學(xué)教學(xué)版），2014（6）：30-32.