如何在數學教學中滲透“變與不變”的思想方法

福建晉江第二實驗小學（362200） 杜曉晴

蘇軾在《赤壁賦》中寫道“蓋將自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也”，他從哲學的角度感慨人生中變與不變的道理。從數學的角度來看，世界上的事物也是千變萬化的，而變化中又蘊含著變與不變的因素。其中，如何從“不變中抓變”“變中抓不變”是我們解決問題的突破口，也是重要的數學思想方法之一。

小學數學教材中蘊含著許多變與不變的素材，教師鉆研教材時應深入挖掘，并在教學之中無形滲透，有助于培養學生求同又求異的思維品質，幫助學生解決繁瑣復雜的問題，提高學生的數學素養。下面，筆者結合自己的教學實踐，談談教學中如何滲透“變與不變”的數學思想方法。

一、在“變與不變”中辨析概念

數學概念是構成數學知識的基礎，是基礎知識和基本技能教學的核心，所以正確理解數學概念是掌握數學知識的前提，但數學概念的抽象性使得數學概念的教學相對棘手。因此，教師在教學中應捉住“變與不變”的關系，引導學生去比較辨析，從而更清晰地理解概念的本質特征。

例如，教學“面積”一課時，不少教師把周長和面積割裂開來進行教學，從而導致學生容易把面積與周長兩個重要概念混淆。在分別教學周長與面積的概念后，我們可以設計一系列相關聯的數學活動，讓學生觀察圍成圖形的線的變化是如何引起周長和面積的變化，從中體會到周長與面積之間既有密切的聯系，又有本質的區別。

片斷1：

師（出示下圖）：觀察這兩個圖，什么沒變，什么變了？

生1：周長不變，面積變了。

生2：圖形的周長相等，面積不一定相等。

師：面是線圍成的，圍成圖形的線的變化，既會引起圖形周長的變化，又會引起圖形面積的變化。那么，你認為周長的變化會引起面積怎樣的變化呢？

生3（猜測）：周長越長，面積越大。

片斷2：

師（出示下圖）：圖形的周長有變化嗎？是怎樣變化的？面積呢？

生4（歸納）：周長變長，面積變大。

師：是否真的周長變長，面積都會變大呢？

片斷3：

師（出示下圖）：圖形的周長有變化嗎？是怎樣變化的？面積呢？

生5：周長變長，面積反而變小。

師：那是不是周長不變，面積就不會變呢？

（學生討論并提出各種猜測，大多數學生認為周長不變，面積也不變）

片斷4：

（多媒體出示一個能活動的平行四邊形框架，演示平行四邊形變成長方形再變成夾角更小的平行四邊形的過程，如下圖）

師：在這個過程中，周長的長短有變化嗎？

生6：周長不變。

師：面積有什么變化呢？

生7：周長不變，但是面積變了，可能會變大，也可能會變小。

師：想一想，我們剛才的猜測“周長不變，面積也可能不變”對嗎？

……

通過一系列猜測、驗證、比較、發現的過程，學生不僅清晰地理解了面積與周長兩個不同的概念，而且學會了全面思考問題和辨析事物的方法。

二、在“變與不變”中探究規律

課程改革實施以來，不同版本的數學實驗教科書都對探索規律的內容進行了合理選擇和精心設計。數學教材中的一些規律、性質或公式，幾乎都可以通過“變與不變”思想方法來引導學生進行探究、發現。

例如，教學“商不變的性質”一課時，教師讓學生在觀察一系列的算式后思考：“被除數和除數變了，但商不變，這里面隱藏著什么規律呢？”在學生發現規律和歸納出性質以后，教師可以適當指導學生用“什么變了，什么不變，變化的量是按照怎樣的規律變化”的模式來進行歸納總結。以此類推，在后面的學習中，學生就會有意識地按照“變與不變”的思想方法來觀察和總結，一樣能夠推導出分數的基本性質、比的基本性質。

同樣，在“空間與圖形”這一領域教學中，教師常用到轉化這一數學方法，但在轉化的過程中，教師應及時引導學生尋找“變與不變”的關系，從而發現規律。例如，教學“平行四邊形的面積計算”一課時，教師先讓學生通過割補、剪拼等方法，將平行四邊形轉化成長方形，再引導學生抓住“什么變了”和“什么不變”來探究。學生通過認真觀察、仔細對比后發現：平行四邊形的底與轉化成的長方形的長相等，平行四邊形的高與轉化成的長方形的寬相等，平行四邊形的面積與轉化成的長方形的面積相等。而長方形的面積公式是學生已經掌握的，即長方形的面積=長×寬，因此學生通過遷移發現：平行四邊形的面積=底×高。就這樣，在“變與不變”思想方法的指導下，學生通過操作就能獨立地推導出平行四邊形的計算公式。同樣，在推導三角形、梯形、圓的面積計算公式以及圓柱體積計算方法時，學生會自覺地運用“變與不變”的思想方法去發現、去探究。

三、在“變與不變”中解決問題

世界上的事物總是在不斷變化、發展著的，而變化中又蘊含著聯系和不變的因素，從錯綜復雜的變化中發現這種聯系和不變，往往是解決問題的突破口。如“盈虧問題”“年齡問題”“立體圖形中等積變化問題”“牛吃草問題”以及其他較復雜的計算問題等，都是學生感覺比較困難的問題，但如果學生學會了在變化中尋找不變的規律，問題就變得相對簡單了。

例如：“科技書和文藝書共有630本，其中科技書占20%，后來又買來一些科技書，這時科技書占30%，又買來科技書多少本？”這里，變化的是科技書的本數與總本數，不變的是文藝書的本數。解決問題時，教師應引導學生緊扣住不變的量——文藝書的本數，最后得出：文藝書的本數為630×（1-20%）=504（本），變化后的總本數為504÷（1-30%）=720（本），增加的科技書為720-630=90（本）。這樣，在紛繁復雜的變化中，以不變的量為突破口，使問題迎刃而解。

總之，“變與不變”是數學學習與日常生活中分析問題、解決問題的一種常用的思想方法。教師要以學生為本，根據學生的發展需要，從整體、本質上理解教材，注重挖掘教材中蘊含的這一教學資源，科學、靈活地設計教學，從而提高學生的思維品質和數學素養。