親歷知識生成過程滲透數學基本思想

薛生林

角是學生認識幾何圖形的基礎，也是進一步學習幾何知識的基礎。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第二學段的“圖形認識”中指出：“結合實例了解線段、射線和直線。”“知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。”在“測量”中指出：“能用量角器量指定角的度數，能畫指定度數的角，會用三角尺畫30°、45°、60°、90°角。”“角的度量”更是學生在三角形分類活動中認識銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的基礎。

一、 經歷構建概念過程，滲透分類思想

當學生學習了平角、周角的概念后，為了讓學生對角有更深入的理解，必須對角進行分類，理清銳角、直角、鈍角、平角、周角之間的關系。因此，學生根據角估認角的類型，從而加深對角概念的理解。學生通過對角的測量來修正角的類型，形成根據角的度數區分直角、平角、銳角、鈍角和周角的策略。學生對下列角自主估認、測量、分類后，進行交流并匯報。

生1：∠1和∠6是銳角，因為這兩個角比直角小。經過我的測量，∠1的度數是45°，∠6的度數是50°，我的估認與我的測量結果相同。

生2：∠3是平角，因為平角的兩條邊在同一直線上，與量角器經過中心點的0刻度線完全重合，度數是180°。∠5是周角，因為周角是射線繞它的端點旋轉一周所成的角。當周角的一條邊繞它的端點旋轉到同一直線上時形成平角，這時正好是180°;再旋轉到兩條邊重合在一起時，等于2個平角，所以∠5的度數是360°。

生3：∠2和∠7是鈍角，因為這兩個角比直角大。經過測量，∠2的度數是120°，∠7的度數是130°。∠4是我的估認與實際測量不相同的，我估認∠4是銳角，經過測量發現∠4是直角。

生4：我想補充∠7不需要測量也能知道度數，因為∠6和∠7形成一個平角，已測得∠6=50°，所以∠7=180°-∠6=180°-50°=130°。因此，∠1和∠6是銳角，∠4是直角，∠2和∠7是鈍角，∠3是平角，∠5是周角。

生5：我和同桌通過填表的方式來研究角的分類。

生6：我還知道各角之間的關系，因為銳角<90°，直角=90°，90°<鈍角<180°，平角=180°，周角=360°，所以，銳角<直角<鈍角<平角<周角。

生7：我想補充生6的各角之間的關系，1平角=2直角，1周角=2平角=4直角。

要對角進行有效分類，確定分類標準是至關重要的。學生經歷估認角的類型、測量角的大小后再根據角的度數對角進行分類，逐步概括并形成角的概念。正如，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中所指出的那樣：“通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想”。

二、 經歷估量、測量過程，滲透數形結合思想

根據給定的角來估計角的度數，根據角的度數來想象角的大小，是學生學習角的度量的難點。如何讓角的圖形與角的度數有效結合？學生一組組地進行觀察和比較，判斷每組中兩個角的大小（如圖2）。根據學生的原有認知，絕大多數學生認為每組中上面的角比下面的角大一些，理由是下面的角的邊比上面的角的邊長。

基于學生空間觀念發展的特點，學生用一幅三角板拼一拼圖2中的每一組角，判斷上面的角與下面的角的大小，并分別比較∠1，∠3，∠5和∠7及∠2，∠4，∠6和∠8的大小。學生用三角板拼后進行交流。

生1：我用三角板中的一個小角（指30°角）去拼∠1和∠2，發現∠1和∠2是一樣大的。

生2：我也用三角板上的小角去拼第二組中的∠3和∠4，發現∠3和∠4都含有2個小角。

生3：我是用三角板上的大角（指60°角）去拼∠3和∠4，發現∠3和∠4都是一個大角。

生4：我是用三角板上的小角去拼第三組的∠5和∠6，發現∠5和∠6都含有4個小角。我的同桌用大角去拼，發現∠5和∠6都含有2個大角。

生5：我用三角板上的大角和小角都無法拼出第四組中的角，第四組中的角無法判斷。

生6：（邊展示邊說）我用兩塊三角板能拼出∠7和∠8，先用含有小角的三角板拼直角，再用另一塊三角板的角（指45°角）就拼出了∠7和∠8。雖然我知道∠7和∠8一樣大，但我不知道∠7和∠8的度數。

師：角的大小與什么因素有關？

生1：經過比較，角的大小與角兩邊的長短沒有關系。

生2：角是從一點引出兩條射線所組成的圖形，因為射線的一端可以無限延伸，所以，角的大小與角兩邊的長短無關。

生3：我發現∠1含有一個小角，∠3含有兩個小角，∠5含有四個小角。角的大小與兩條邊張開的大小有關，張開得越大，角越大。

師：經過同學們的觀察與比較，得出角的大小要看兩條邊叉開的大小，叉開得越大，角越大。請同學們再比較∠1，∠3，∠5和∠7四個角的大小，有多大，大多少？

生1：∠3的度數是∠1的2倍;∠5的度數是∠3的2倍，是∠1的4倍;∠7的度數是∠1的4倍多一些。因此，這四個角的大小是∠1<∠3<∠5<∠7。

生2：用我的三角尺無法判斷四個角的度數和大多少，而我同桌三角尺上的度數能判斷這四個角的度數。

生3：用三角板來判斷角的大小，要比對要計算，不僅麻煩，而且有的角無法用三角板來判斷。比較角的大小，要用量角器。

學生先估計一幅三角板上各個角的度數，并量一量各是多少度，再用量角器測量∠2，∠4，∠6和∠8中四個角的度數。學生估計與測量后，進行交流并展示。

生1：長度標注在直角邊的三角尺，我的估測與測量的結果是相同的，分別是90°、60°、30°。

生2：長度標注在底邊的三角尺，我的估測與測量的結果有不同的地方，在估測時，下面的兩個角分別是40°、50°，實際測量時發現這兩個角的度數都是一樣的：45°。

生3：經過對一幅三角尺的測量，我發現開口向右的角一般要看內圈刻度，開口向左的角一般要看外圈刻度。

生4：經過對∠2，∠4，∠6和∠8四個角的測量，我測量的結果是∠2=30°、∠4=60°、∠6=120°、∠8=135°。我發現∠4比∠2大30°，∠6比∠4大60°，∠8比∠6大15°。

生5：四個角測量的結果與我們拼的結果一樣，而且，我從四個角的比較中發現角可以看作一條射線繞其端點旋轉一定度數后形成的圖形。

學生6：經過測量，我現在能比劃出30°、45°、60°、90°、120°、135°的角。我能想象出30°、45°、60°、90°、120°、135°角的大小。

三、 經歷多元作圖過程，滲透類比思想

學生在學習畫角知識時，可以充分利用原有量角的知識和經驗。學生不僅經歷了畫角的過程，更重要的是引導學生充分經歷類比的過程。如何讓學生經歷畫角的過程，從而培養學生的類比推理能力？學生選擇合適的方法畫出下列各角（10°、45°、60°、90°、105°、120°、165°），并說說它們分別是哪一種角。學生先自主畫角，再分組討論，然后進行展示。

生1：我每個角都是用量角器畫的，因為我們已經學過量角的方法，所以用量角器畫角比較簡單。在用量角器量角的時候，先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的頂點重合，零刻度線和角的一條邊重合。因此，我在畫一個60°的角時，先畫一條射線，使量角器的中心和射線的端點重合，零刻度線和射線重合。在用量角器量角的時候，接著要看角的另一條邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數。因此，畫角時，在量角器60°刻度線的地方點一個點。然后，以畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線。最后，標好角的符號及度數。

生2：我覺得有的角用三角尺畫比較簡便，用三角尺可以直接畫出45°、60°、90°的角，而10°、105°、120°、165°的角用量角器畫比較簡便。

生3：我除了10°的角要用量角器外，其他的角用三角板都可以完成，其中105°、120°、165°的角需要一幅三角板才能畫出來。

師：誰來介紹一下用一幅三角板畫出105°和120°、165°的角？

生4：畫105°角的方法是：利用45°+60°=105°，可以先用三角板畫出一個45°的角，然后與45°的角共一條邊再畫出一個60°的角，這兩個角的和就是105°。畫120°角的方法與畫105°角的方法是相同的，可以利用60°+60°=120°或者90°+30°=120°來畫。

生5：畫165°角的方法是：利用30°+45°+90°=165°，可以用三角板畫一個30°的角，再接畫一個45°的角，然后再接畫一個90°的角，這三個角的和就是165°（如圖3）。

生6：我補充畫165°角的方法，利用45°+60°+60°=165°（如圖4），我的同桌利用180°—15°=165°也能畫165°的角（如圖5）。

學生在作圖的過程中提出并交流了各自作圖的過程和策略，不僅豐富了數學活動經驗，更重要的是滲透了類比思想。正如《義務教育數學課程標準（2011年版）》所言：“數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的”，因此，“組織學生操作實驗、觀察現象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發學生的思考，使學生成為學習的主體，逐步學會學習”。

【責任編輯：陳國慶】