歸納思維：讓學生成為智慧的建構者

孟慶甲

歸納思維就是從特殊的具體認識推進到一般的抽象認識的一種思維方式，是一種在觀察的基礎上，分析不同對象之間的聯(lián)系和區(qū)別，然后找出它們的內部聯(lián)系、共同特征和發(fā)展規(guī)律，進而得出一般結論的思維。[1]歸納思維是小學階段重要的認知活動和基本的思維形式之一。“小學生通過歸納思維認知數(shù)學規(guī)律、形成數(shù)學概念、建構知識體系，又通過歸納推理解決問題，歸納思維是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要數(shù)學內容。”[2]

一、 歸納思維缺失、孱弱，阻礙了學生的智慧生長

1.教師方面：異化的“輕”與“重”

（1）輕視概念的形成和歸納，偏重概念的解釋及背誦。許多數(shù)學教師在教學中只把目光盯在數(shù)學概念的解釋、背誦和運用上，而對概念的形成、歸納和概括卻只用寥寥數(shù)語，蜻蜓點水，從而造成學生的淺嘗輒止和囫圇吞棗。

（2）忽視公式的推理與得出，偏重公式的證明和運用。例如學習圓柱的體積時，許多教師偷工減料，直接命令式地告訴學生：圓柱的體積=底面積×高。至于為什么要用底面積×高，即公式推理與得出過程，學生卻一無所知。

（3）漠視規(guī)律的“前世”及“今生”，偏重解題的模板與路徑。部分教師為了提高學生的做題正確率，常常將解題模式直接呈現(xiàn)給學生，沒有讓學生自主探究、歸納所蘊伏的規(guī)律，使學生知其然而不知其所以然。

2.學生方面：失穩(wěn)的“序”與“緒”

（1）面對問題無緒——采取逃避措施——毫無歸納能力、動力。一旦教師讓學生通過觀察發(fā)現(xiàn)并自主歸納題中所蘊伏的數(shù)學規(guī)律時，部分學生或悄悄地低下了頭，或目光左右游移，或啞口無言。

（2）歸納思維無序——沒有自覺意識——更無完整的歸納范式。有些學生一旦讓其進行歸納時，就漫無邊際、毫無思緒，凸顯歸納思維的混沌、欠缺。

（3）數(shù)學語言無續(xù)——不能清晰表達——欠缺合乎邏輯的表述。一些學生不能清晰、有條理地表達自己的數(shù)學思考過程，更不知該用怎樣的數(shù)學語言進行合乎邏輯的表述。

（4）集體思維務虛——強勢代替全班——惰性學生懶作為、不作為。每個班級中總有一部分學生思維靈活，喜歡發(fā)言，從而使強勢思維代替全班思維，弱勢、惰性學生懶作為甚至不作為。

二、 歸納思維的價值思辨：從教師智慧走向學生智慧的根本

1.提高數(shù)學問題表征能力——建構問題空間

問題表征是指通過審題認識和了解問題結構，形成問題空間，包括明確問題的給定條件、目標和允許的操作。正確的歸納思維可以提高數(shù)學問題表征能力。例如：學校圖書館共有100本《安徒生童話》，三（1）班借走48本，一星期后還回來10本，三（1）班還有多少本《安徒生童話》沒有還？如果學生能夠認識到“借走48本，一星期后還回來10本，所以沒有還的本數(shù)是‘48-10，100在這個問題中是多余信息”，那么他使用的就是歸納思維中的問題模型策略，它的特點是對每個信息都進行表征，理解各信息之間的關系，再進行情境模型建構。由此可見正確的歸納思維可以扣住問題脈絡，提高表征能力。

2.分層合情推理——形成數(shù)學概念

例如蘇教版五年級下冊《分數(shù)的意義》例1的教學，從例題出示的圖中可以清晰地發(fā)現(xiàn)、歸納：一個餅可以稱為一個物體、一個長方形是一個圖形、一米是一個計量單位、而左起第四個圖形是把6個圓看作一個整體。從而歸納出單位“1”的概念，即“一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數(shù)1來表示，通常我們把它叫做單位‘1”。

3.展開聚焦歸納——認知數(shù)學規(guī)律

例如蘇教版五年級上冊《簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律》的教學，我是這樣引領學生進行歸納，認知數(shù)學規(guī)律的：

1.提出問題——自主歸納。

（1）從左邊起，“盆花”“燈籠”“彩旗”的擺放有什么共同特點？又有什么區(qū)別？

（2）照這樣擺下去，左起第15盆花、第15盞燈籠、第15面旗子，分別是什么顏色的？你能試一試嗎？把你的想法寫在練習本上。

2.展示分享——聚焦歸納。

（1）為什么大多數(shù)情況下要選擇用除法計算？怎樣列式？怎么根據(jù)商和余數(shù)判斷？

（2）同樣是找左起第15個，不同的擺放，列出的算式一樣嗎？有什么區(qū)別又有什么聯(lián)系呢？解決這種問題的步驟和關鍵是什么？

4.建構知識體系——拓展思維空間

例如蘇教版六年級上冊《用分數(shù)表示可能性的大小》的教學。在課堂總結環(huán)節(jié)，我先后呈現(xiàn)二年級上冊、三年級上冊、四年級上冊及六年級上冊《統(tǒng)計與概率》的教材圖片，和同學們一起展開歸納：二年級上冊初步體會了有些事情的發(fā)生是確定的，有些是不確定的，并能用“可能”“一定”“不可能”等詞語來描述生活中一些事件發(fā)生的可能性；三年級上冊讓學生體會事件中各種情況發(fā)生的可能性有時是相等，有時是不相等的，學會用“經常”“偶爾”“差不多”等詞語來描述生活中一些事情發(fā)生的可能性；四年級上冊進一步體會可能性不相等會影響游戲規(guī)則的公平性，從而修改或設計簡單的公平游戲規(guī)則；六年級上冊學會用分數(shù)表示可能性的大小。這樣一來，小學教材中關于“概率”方面的內容便形成了知識體系，拓展了思維空間。

5.解決實際問題——提升數(shù)學思想

例如蘇教版六年級上冊《用替換的策略解決實際問題》的教學，我進行了如下設計，展開歸納，進而提升學生的數(shù)學思想：

1.“曹沖稱象”故事中曹沖用了什么方法來稱出大象的重量？

2.如果把720毫升果汁全部倒入大杯，需要幾個大杯？

3.如果我們把大杯替換成小杯，又可以用一個什么算式來表示？

4.結果要滿足什么樣的條件才是對的？

5.我們?yōu)槭裁匆M行這樣的替換，依據(jù)是什么？

6.有的是把大杯替換成小杯，有的是將小杯換成大杯，你認為哪種替換方法好？

7.例1與“練一練”有什么相同點和不同點？

這樣設計教學的目的在于理清思路，找到關鍵，突破難點，明確倍數(shù)關系、相差關系兩種不同類型的替換的特征，進一步歸納、體會用“替換”策略解決問題的特點，進而不斷提升學生的數(shù)學思想。

三、 歸納思維的實踐探索：讓學生成為智慧的建構者

1.注重挖掘教材——深入理解編者意圖

教師備課時要重視挖掘教材，特別是其中有關歸納思維的部分，從而深入理解編者的真實意圖，為培養(yǎng)學生的歸納思維把握方向。

例如蘇教版四年級下冊《用字母表示數(shù)》的教學，深入挖掘教材不難發(fā)現(xiàn)，編者意圖讓我們引領學生逐步探索歸納出：字母可以表示未知數(shù)、任意自然數(shù)；含有字母的式子既可以表示計算結果，還可以表示數(shù)量關系；含有字母的式子亦可以表示計算公式。如此，教師便可清晰地設計教學，引領學生進行歸納思維。

2.優(yōu)化學法引領——掌握歸納推理核心

（1）創(chuàng)設情境——提取信息——強化表征。教師要依據(jù)教材內容及兒童學習特點，創(chuàng)設富有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學生身臨其境，提取信息，不斷強化表征。例如蘇教版六年級上冊《用分數(shù)表示可能性的大小》的教學：

1.創(chuàng)設情境：同學們喜歡打乒乓球嗎？如果讓你來當裁判，你會用什么方法決定由誰先發(fā)球？出示例1場景圖，提問：裁判在做什么？（猜球。場景再現(xiàn)）

2.提取信息：用猜左右的方法決定由誰先發(fā)球公平嗎？為什么？能不能把你的想法先和同桌交流一下？

3.強化表征：猜對的可能性和猜錯的可能性各占多少？（一半）可能性的一半用分數(shù)怎么表示？你怎么想到的？又是怎么理解的？

（2）注重實驗——仔細觀察——歸納識別。教學中教師要注重引領學生實驗操作，讓學生經歷一次歸納的實際經驗和體驗，進而感受一次“數(shù)學家式”的思考、發(fā)現(xiàn)、歸納過程。例如：六年級上冊《用分數(shù)表示可能性的大小》的教學：

1.注重實驗：老師帶來4個袋子，從每個袋中任意摸出一個球，如果摸到紅球可以得到一份獎品。（大屏幕出示：1號袋2個黃球；2號袋1個紅球、一個黃球；3號袋2個紅球；4號袋1個紅球、一個綠球、一個黃球。）

2.仔細觀察：

第一輪：聚焦1至4號袋——認識“可能性有大小之分”。提問：從1號袋里摸到紅球的可能性用一個數(shù)來表示是幾？從3號袋呢？

第二輪：聚焦2號袋及4號袋——探索“可能性為什么有大小之分”。

（1）從這兩個口袋里任意摸一個球，摸到紅球有獎，你選擇幾號袋？為什么？

（2）從2號袋中任意摸出一個球，摸到紅球的可能性是幾分之幾？從4號袋中呢？為什么？

3.歸納識別：出示2紅1綠——歸納“可能性可以用分數(shù)表示”。

（1）從中任意摸出一個球，摸到紅球的可能性是幾分之幾？

（2）再添上1紅1黃，問：從中任意摸出一個球，摸到紅球的可能性是幾分之幾？

（3）歸納：生活中，介于一件不可能發(fā)生的事情與一定發(fā)生的事情之間的可能性事件，它的大小介于0和1之間，可以用分數(shù)來表示。

（3）形成猜想——質疑反駁——假設驗證。教師要讓學生學會歸納共性的規(guī)律，形成猜想，將猜得的結論用在新的個案上，分析理論上的結果，再利用實際的操作驗證其實際的結果與猜想是否吻合：如果吻合，確認結論；如果有問題，修正猜想，做出一個更貼切的猜想。例如六年級上冊《用分數(shù)表示可能性的大小》的教學：

1.形成猜想：

（1）這里有兩張牌（大屏幕出示紅桃A和紅桃2兩張牌），如果把牌洗一洗反扣在桌上，任意摸一張，摸到紅桃A的可能性是幾分之幾？為什么？

（2）再來（放入紅桃3），現(xiàn)在摸到紅桃A的可能性還是■嗎？

（3）再添一張呢（黑桃A）？摸到紅桃A的可能性是多少？

（4）摸到紅桃A的可能性從■到■，再到■，發(fā)生了什么變化？

2.質疑反駁：為什么同樣是只有一張紅桃A，可能性卻越來越小了呢？

3.假設驗證：如果想讓摸到紅桃A的可能性變成■，你覺得該怎么辦呢？

歸納思維在數(shù)學領域中有著非常重要的作用，就如同數(shù)學家拉普拉斯說的那樣，“在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的工具是歸納和類比”。因此，作為教師，我們的重要任務之一就是：培養(yǎng)、發(fā)展學生的歸納思維，讓學生成為智慧的建構者。

參考文獻

[1] 史亮，史寧中.日常課如何培養(yǎng)“歸納思維”.人民教育[J]，2011（19）.

[2] 王瑾.小學數(shù)學課程中歸納推理的理論與實踐研究[D]： [博士學位論文].長春：東北師范大學，2011.【責任編輯：陳國慶】