基于AIC準則的鋰離子電池變階RC等效電路模型研究

商云龍 張 奇 崔納新 張承慧

(山東大學控制科學與工程學院 濟南 250061)

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基于AIC準則的鋰離子電池變階RC等效電路模型研究

商云龍 張 奇 崔納新 張承慧

(山東大學控制科學與工程學院 濟南 250061)

提出一種變階RC等效電路模型，并基于赤池信息量準則(AIC)辨識不同SOC處RC模型的最優階數，兼顧了模型的準確度和實用性。通過脈沖充放電、恒流充放電以及自定義UDDS循環工況實驗驗證了該模型的有效性。變階RC模型通過略增加模型的復雜度，能更加準確地描述鋰離子電池兩端陡、中間平的非線性電壓特性，相對誤差在1%以內，具有較高的實用價值。

電動汽車 動力電池 電池管理系統 變階RC模型 赤池信息量準則(AIC)

0 引言

為了應對能源危機和環境污染，電動汽車應運而生，并成為全世界關注的焦點[1，2]。車載動力電池作為電動汽車的關鍵部件，其性能對整車的動力性、經濟性和安全性至關重要，是制約電動汽車規模化發展的關鍵因素。鋰離子電池具有能量密度高、使用壽命長、性價比好和單體電壓高等優點，被認為是最具希望的電動汽車動力電池。我國“十二五”規劃提出以車用能量型動力鋰離子電池為主要發展方向，兼顧功率型動力鋰離子電池的發展。

精確、實用的電池模型對車載動力鋰離子電池的合理設計和安全運行具有重要意義。電池模型是開展電極反應特性研究、電池動態特性研究、電池設計以及電池管理系統設計(特別是SOC(State of Charge)、SOH(State of Health)估計和均衡控制)的基礎[3，4]，是分析大規模電動汽車接入對電網影響的前提條件[5-9]。然而，建立一個精確且結構簡單的電池模型絕非易事，這是因為鋰離子電池內部的化學反應是一個對環境敏感且極其復雜的非線性過程，其性能參數易受SOC、電流倍率、溫度、壽命及自放電等眾多因素的影響，如電池端電壓與SOC呈兩端陡、中間平的非線性變化趨勢，電池可用容量隨放電電流增大而減少，電池內阻隨電池溫度降低而增大等。

目前，常用的電池模型按建模機理的不同可分為5類：①電化學模型；②分析模型；③隨機模型；④神經網絡模型；⑤等效電路模型[10，11]。電化學模型使用復雜的非線性微分方程描述電池內部的化學過程。該模型雖然精確，但因其太抽象而不能表征電池的電氣性能參數(如內阻、端電壓等)，不適宜于電氣設計、仿真及控制[12]。分析模型是簡化的電化學模型，它用一個降階方程表征電池的非線性容量效應及運行時間，但不能描述電池的I-V特性[13]。隨機模型主要關注電池的恢復特性，它將電池的行為描述為一個馬爾科夫過程。隨機模型能很好地描述電池的脈沖放電特性，但不適合變電流負載的情況[14]。神經網絡模型具有非線性特性、并行結構和學習能力等優點，但需要大量實驗數據訓練，且模型誤差易受訓練數據和訓練方法的影響。因此，神經網絡模型更適用于批量生產的成熟產品[15]。等效電路模型是指根據電池的物理特性使用不同物理元器件(如電壓源、電流源、電容和電阻等)構成等效電路模型來模擬電池的I-V特性，適用于鋰離子電池、鎳氫電池和鉛酸電池等多種電池。等效電路模型因具有簡單直觀的形式以及適宜于電氣設計與仿真等優點而被廣泛應用。目前主要有Rint模型[16]、Thevenin模型[17]、一階RC模型[17]、PNGV模型[18]、簡化的Massimo Ceraolo模型[17](即二階RC模型)以及GNL模型[19]。文獻[20]提出了分布參數等效電路模型，為從電池外特性分析電池內部情況提供了一種有效方法。文獻[21]提出了一種KiBaM模型與二階RC模型的混合電池模型，能同時描述電池的外動態特性和恢復效應。在等效電路模型方面，取得了大量研究成果，但鮮有既準確度高又實用的電池模型。特別是，上述定結構等效電路模型難以描述鋰離子電池兩端陡、中間平的非線性電壓特性，不能解決模型準確性和實用性之間的矛盾。

本文提出一種根據SOC變階的RC等效電路模型，以期在電池電壓變化較為劇烈的指數區，切換為高階的RC模型，以保證模型的準確度；在電池電壓變化較為緩慢的平臺區，則切換為低階的RC模型，以盡量降低模型的復雜度。但電池實際系統的階數往往是未知的，如果模型階數過高，不但會增加計算量，還會產生大量的冗余項，導致模型的實用性較差；如果模型階數過低，會造成重要數據丟失，不能很好地擬合實際系統，導致模型的準確度降低。因此，不同SOC處的模型階數的合理選取是變階RC模型的一個難點。赤池信息量準則(Araike Information Criterion，AIC)因同時兼顧了模型的準確度和實用性，成為衡量模型優良性的一種有效方法。

1 變階RC等效電路模型

電動汽車動力電池SOC和SOH的精確估計依賴于一個精確且易實現的電池模型。一般來說，一個良好的電池模型應具備兩點：①能夠準確描述電池的動、靜態特性；②模型本身的復雜度較低，易于工程實現。事實上，電池內部的化學反應是一個對環境敏感且極其復雜的非線性過程。用傳統定階的電池模型(如二階RC模型[17])難以解決模型準確度和實用性之間的矛盾。因此，本文提出一種根據SOC變階的RC等效電路模型，如圖1所示。

圖1所示變階RC等效電路模型包括運行時間電路和I-V特性電路兩部分。其中，Ubat為電池的端電壓；ibat為電池的端電流；Rd為電池的自放電電阻；CQ為電池的可用容量；Ro為歐姆內阻；R1為電化學極化內阻；C1為電化學極化電容；R2為濃差極化內阻；C2為濃差極化電容；R3為變階內阻；C3為變階電容；Q1、S1、Q2、S2為變階RC模型的切換開關；OCV為電池的開路電壓，是SOC的函數；下標d表示放電，c表示充電。下面分別從4方面描述變階RC模型的工作原理。

1.1 可用容量

如圖1左半部分所示，電池的可用容量可由一個大電容CQ表示

CQ=3 600·Capacity·f1(Cycle)·f2(Temp)

(1)

式中：Capacity為電池的標準容量，Ah；f1(Cycle)和f2(Temp)分別為電池循環壽命和溫度的修正因子，通常設置為恒值1。自放電電阻Rd用來模擬電池存儲一段時間后的自放電特性。理論上，Rd是SOC、溫度和循環次數的函數，但在實際應用中，一般將其簡化成一個大電阻或忽略不計。

1.2 開路電壓(OCV)模型

電池的開路電壓OCV與SOC存在較強的非線性關系，現有文獻中一般采用多項式描述OCV與SOC間的非線性關系。多項式階數和變量數量的選取是否合適，直接影響模型的準確度和計算量。因此，為了能夠更加準確地描述OCV與SOC之間的關系，可參考幾種電池的簡化電化學模型[11]：Shepherd、Unnewehr和Nernst模型。將這些模型結合起來，可獲得一種較理想的開路電壓模型

(2)

式中a1～a5為待定常數，可根據實驗數據基于最小二乘法辨識得到。

1.3 狀態空間模型

電池放電結束后，端電壓呈指數規律變化，可由RC網絡模擬，其零輸入響應可表述為[22]

(3)

式中：下標i為RC網絡標號，其值為1、2或3；τi為第i個RC網絡的時間常數，即τi=RiCi；Ui(t)為第i個RC網絡的支路電壓；Ui(0+)為電池放電結束瞬間RiCi支路的端電壓初值，其值可表述為

Ui(0+)=Riibat

(4)

式中Ri為第i個RC網絡中并聯的電阻。

式(3)中支路電壓Ui(t)隨時間的增長而逐漸減小，當t→∞時，Ui(t)趨于0，此時電池端電壓等于電池的OCV。因此，放電結束后電池端電壓的變化過程可表述為

(5)

電池放電過程中電池端電壓的零狀態響應可表述為

(6)

式中Ro為電池的歐姆內阻。

根據式(3)～式(6)，并選取RC網絡中電容電壓作為狀態變量，可得到系統的狀態方程為

(7)

式中k為采樣時刻。

如圖1所示，系統的觀測方程為

(8)

1.4 模型狀態切換

通過控制開關Q1、S1和Q2、S2的狀態可實現一階、二階和三階RC模型的按需切換。表1為模型階數與開關狀態的對應關系，其中狀態1表示開關閉合，0表示開關斷開。圖2為模型狀態切換框圖。

表1 模型階數與開關狀態的對應關系

圖2 模型狀態切換Fig.2 Model state switching

通過控制切換開關的狀態，變階RC模型能實現在電池電壓變化較為劇烈的指數區，切換為高階RC模型，以保證模型的準確度；在電池電壓變化較為緩慢的平臺區，切換為低階RC模型，以盡量降低模型的復雜度。

2 基于AIC準則的模型階數辨識

AIC準則是衡量模型優良性的一種標準，建立在熵的概念基礎上，同時兼顧了模型的準確度和實用性。

AIC的一般形式可表述為[23，24]

(9)

式中：T為實驗數據數量；m為模型未知參數數量；SSE(Sum of Squares for Error)為殘差平方和，表述為

(10)

(11)

式中指數d的引進增加了對模型過度擬合的懲罰力度，其為大于1的恒值，本文取d=4。

根據式(5)，RC模型的階數n與模型未知參數m之間的關系可表述為

m=2n+1

(12)

將式(5)和式(12)分別代入式(11)，可得到RC階數選擇的AIC準則

(13)

式中Ubat(t)為實驗中獲得的電池端電壓。

基于AIC準則辨識不同SOC處的最優模型階數，兼顧了模型的準確度和實用性，為本文提出的變階RC模型階數的合理選取提供了理論依據。

3 仿真及實驗驗證

本文研究對象為16并16串圓柱型26650磷酸鐵鋰動力電池組，標稱容量為50Ah，標稱電壓為51.2V。如圖3所示，電池測試平臺由AVL電池模擬/測試柜、AVL控制柜、電池高低溫箱以及AVLLynx軟件組成。實驗記錄電池的端電壓、電流和SOC等工況值，記錄頻率為1Hz。

圖3 動力電池測試平臺Fig.3 The power battery test platforms

為了搭建電池模型，參考《FreedomCAR電池實驗手冊》中的混合脈沖實驗(Hybrid Pulse Power Characterization Test，HPPC)[25]，將其改為脈沖充電和脈沖放電實驗。所謂脈沖放電，即在室溫25±2℃下，將充滿電的電池以1/3C電流放電至SOC為90%時，停止放電并靜置1 h，然后以同樣電流放電至SOC為80%，以此類推，直至SOC為10%時結束。脈沖充電與脈沖放電類似。為了驗證模型的有效性，還需要進行恒流充、放電和自定義UDDS工況放電實驗。

3.1 模型階數辨識

圖4為電池放電方向和充電方向上不同階數的RC模型對應的AIC值。根據AIC的“吝嗇原理”，最佳模型應是AIC值最小的那一個。當SOC為10%和90%時，應選三階RC模型；當SOC為20%、30%、…、80%時，應選二階RC模型。顯然，當10%

圖4 不同階數的RC模型對應的AIC值Fig.4 The AIC values of different order RC models

圖5 脈沖放電后磷酸鐵鋰離子電池的電壓恢復特性及使用不同階RC網絡的擬合結果Fig.5 The voltage-recovery characteristic of lithium-ion battery after pulse discharge and the fitting result using different order RC network

為驗證上述模型階數選擇的合理性，圖5給出了一階、二階和三階RC網絡在不同SOC處模擬電池電壓恢復特性的曲線。顯然，RC網絡的階數越高，擬合的就越好。當SOC為10%或90%時，一階和二階RC網絡模擬誤差較大，而三階RC網絡模擬準確度較高，因此應選擇三階RC模型；但當SOC為50%時，從二階RC網絡到三階RC網絡，其擬合準確度變化不大，但模型復雜度卻增加了，因此應選擇二階RC模型。由此可見，基于AIC準則選擇電池模型階數合理有效，兼顧了模型的準確度和實用性。

3.2 模型參數辨識

圖6為變階RC等效電路模型的充放電方向參數辨識結果，其中下標d表示放電，下標c表示充電。根據3.1節基于AIC準則的階數辨識結果，當0≤SOC<20%和80%

考慮電池的磁滯效應，分別在不同SOC處(即10%、20%、…、90% SOC)辨識電池的充電OCV和放電OCV，然后求取平均值，得到電池的平均OCV，將平均OCV及其對應的SOC代入式(2)，基于最小二乘法辨識參數a1～a5，并統計于表2中。圖7給出了充電OCV、放電OCV、平均OCV以及基于最小二乘法擬合的OCV與SOC的關系曲線。

圖6 變階RC模型充、放電方向參數辨識結果Fig.6 Parameter identification of variable-order RC model under charge and discharge

參數a1a2a3a4a5數值3.3776.551×10-2-3.050×10-43.468×10-6-3.636×10-2

圖7 開路電壓OCV與SOC的關系曲線Fig.7 Relationship curves between OCV and SOC

3.3 實驗結果分析

圖8、圖9分別為脈沖充放電條件下基于AIC準則的變階RC模型與傳統二階RC模型的對比結果。在電池靜置階段，變階RC模型的輸出值比二階RC模型的輸出值更接近實驗值，且幾乎與真值重合，這說明變階RC模型能更好地描述電池電壓的回彈特性；在電池充放電階段，變階RC模型的準確度也明顯高于二階RC模型。如圖8、圖9放大部分所示，當SOC低于20%或高于80%時，變階RC模型將由二階模型切換為三階模型，由于模型參數和結構的突變，模型輸出瞬間出現波動，但隨后很快收斂到實驗值附近，并未影響到模型總體準確度。總體來看，通過略增加模型復雜度，變階RC模型的準確度高達0.68%，明顯高于傳統二階RC模型的準確度1.87%，證明了基于AIC準則的變階RC模型的優越性。

圖8 脈沖放電下變階數RC模型與二階RC模型輸出電壓對比Fig.8 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under pulse discharge

圖9 脈沖充電下變階RC模型與二階RC模型輸出電壓對比Fig.9 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under pulse charge

圖10、圖11分別為在恒流充、放電工況下變階RC模型與傳統二階RC模型的對比結果。總體來看，在充放電初期的模型誤差略大于在中間平臺區的模型誤差，進一步驗證了鋰離子電池兩端陡、中間平的非線性電壓特性。如圖10、圖11中放大部分所示，當SOC穿越20%或80%時，變階RC模型發生狀態切換，模型輸出瞬間突變，但很快收斂到實驗真值附近，其最大相對誤差為0.67%；而二階RC模型雖然不會發生突變，但總體準確度仍低于變階RC模型，其最大相對誤差為1.85%。

為進一步驗證變階RC模型的適用性，圖12給出了自定義UDDS循環工況下變階RC模型輸出值與二階RC模型輸出值和實驗值的對比結果及誤差曲線。如圖12中放大部分所示，當SOC穿越20%或80%時，變階RC模型輸出發生突變，但很快收斂到實驗真值附近。與恒流充、放電工況相比，UDDS循環工況下，由于負載電流變化非常劇烈，模型狀態切換對模型輸出造成的影響可基本忽略。總體來看，變階RC模型輸出值與實驗值之間的一致性較好，小電流充放電和靜置階段的模型誤差較小，在高倍率放電時，模型誤差有所增加，主要原因是模型參數隨電流的變化發生了改變。如誤差曲線所示，變階RC模型的最大相對誤差在1%以內，實用價值較高。

圖10 恒流放電下變階RC模型與二階RC模型輸出電壓對比Fig.10 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under constant-current discharge

圖11 恒流充電下變階RC模型與二階RC模型輸出電壓對比Fig.11 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under constant-current charge

圖12 UDDS動態工況下變階RC模型與二階RC模型輸出電壓對比Fig.12 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under UDDS test cycles

通過以上對比可知，本文提出的變階RC等效電路模型雖然在狀態切換時輸出會出現瞬間波動，但其誤差仍小于二階RC模型的誤差，并隨后很快收斂到實驗值附近，基本未影響模型的性能。可見，變階RC模型的準確度優于傳統的二階RC模型，模型復雜度卻遠低于三階RC模型，有效克服了模型精確性和實用性之間的矛盾。該模型適用于動力電池的恒流充放電、脈沖充放電及UDDS循環工況。

4 結論

本文提出了一種基于AIC準則的鋰離子電池變階RC等效電路模型，闡述了變階RC模型的工作原理和模型階數的辨識方法，并通過恒流充放電、脈沖充放電和UDDS循環工況實驗驗證了模型的優越性。仿真和實驗結果表明：基于AIC準則的變階RC等效電路模型通過略增加模型的復雜度，能更加準確地描述鋰離子電池兩端陡、中間平的非線性電壓特性，模型相對誤差在1%以內，有效克服了模型準確度和實用性之間的矛盾，具有較高的實用價值。基于AIC準則的變階RC等效電路模型能夠用于電池管理系統設計、電池模擬器研發和電動汽車及其配套能源供給設施建設等領域，具有廣泛的應用前景。

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Research on Variable-order RC Equivalent Circuit Model for Lithium-Ion Battery Based on the AIC Criterion

ShangYunlongZhangQiCuiNaxinZhangChenghui

(School of Control Science and Engineering Shandong University Jinan 250061 China)

A variable-order RC equivalent circuit model based on the Akaike information criterion (AIC) is proposed to identify the optimal RC model order with different state of charge (SOC)，which considers both the accuracy and the practicability of the model.The validity of the proposed model is verified under the working conditions of pulse charging/discharging，constant current charging/discharging，and urban dynamometer driving schedule (UDDS) test cycles.By slightly increasing the model’s complexity，the proposed variable-order RC equivalent circuit model can precisely simulate the lithium-ion battery’s nonlinear characteristics，steep-at-the-edge and flat-in-the-middle，with less than 1% relative error.Thus the model has high application value.

Electric vehicles，power batteries，battery management systems，variable-order RC model，Akaike information criterion (AIC)

國家自然科學基金(61320106011、61273097和51277116)資助項目。

2014-12-16 改稿日期2015-06-14

TM912

商云龍 男，1984年生，博士，研究方向為電動汽車動力電池建模、狀態估計和均衡控制等。

張 奇 男，1987年生，助理實驗師，研究方向為電動汽車、控制理論與應用、實驗技術等。