判斷法向量的方向準確求解二面角

●裘春風(鄞江中學浙江寧波315151)

判斷法向量的方向準確求解二面角

●裘春風(鄞江中學浙江寧波315151)

利用空間向量法求證空間位置關系及空間角已為大家所熟知.利用法向量公式求出余弦值后，僅僅通過觀察和憑直覺來判斷，有時不能確定究竟是鈍二面角還是銳二面角(二面角的余弦值是正的還是負的).事實上，筆者在課堂上也陷入了同樣尷尬的局面.對于學生提出來的“怎樣正確判斷是鈍二面角還是銳二面角”這一問題，也沒有提供完美的答案.課后，筆者對這一問題作了思考，查閱了相關的文獻，并對文獻中提供的各種方法和途徑作了分析、比較.筆者認為，可以通過確定法向量的方向來準確求解二面角的大小.

圖2

首先，認識法向量的夾角和二面角的關系.法向量的方向指向二面角的內部，稱之為“進”入半平面;法向量的方向指向二面角的外部，稱之為穿“出”半平面.如圖1，當法向量n1，n2“一進一出”時，n1，n2的夾角就是二面角的大小.如圖2，當法向量n1，n2“同進同出”時，n1，n2的夾角就是二面角的補角.因此，可簡單地歸納成“法向量同進同出，角互補;法向量一進一出，角相等”.

其次，如何正確判斷法向量是“進”入半平面還是穿“出”半平面呢?下面筆者舉例說明.

例1已知在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2，M，N分別是PD，CD的中點.

1)求證:MN⊥AD;

2)求二面角A－MN－C的平面角的余弦值.

圖3

分析1)略.

2)以A為坐標原點、AC，AD，AP所在直線為坐標軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系，則A(0， 0，0)，，D(0，1，0)，P(0，0，1)，，從而

點評此時憑直覺很難確定二面角A－MN－C的平面角是鈍二面角還是銳二面角.其實，可以通過判斷法向量的方向，如平面AMN的法向量的方向是“進”入半平面AMN，平面CMN的法向量的方向是穿“出”半平面CMN.因此，根據“法向量一進一出，角相等”原則，可以確定二面角A－MN－C的平面角的余弦值為.

例2在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知，BC=4，BC的中點為O，A1O⊥底面ABC.

1)證明:在側棱AA1上存在一點E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長;

2)求二面角A1－B1C－B的平面角的余弦值.

圖4

分析1)略.

2)如圖4所示，分別以OA，OB，OA1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(1，0，0)，C(0，－2，0)，A1(0，0，2)， B(0，2，0).由第1)小題可知，則點E的坐標為，從而平面BB1C1C的法向量是.

設平面A1B1C的法向量為n=(x，y，z)，由得

令z=－1，得x=2，y=1，即n=(2，1，－1)，從而

點評可以判斷“進”入半平面BB1C1C，法向量n也是“進”入半平面A1B1C，根據“法向量同進同出，角互補”原則，可以確定二面角A1－B1C－B的平面角的余弦值為

一般地，一個平面的法向量總有一個明顯的方向，先求出法向量，根據法向量的值在圖形中標出法向量大致的方向;然后通過判斷法向量是“進”入或者穿“出”某個半平面;再根據“法向量同進同出，角互補;法向量一進一出，角相等”的原則，從而準確求解二面角的大小.

有了上面的理論和實踐，筆者給學生上了一堂專題課“判斷法向量的方向，準確求解二面角”.終于，較完美地回答了學生的問題，解決了學生的困惑.

［1］齊相國.法向量求二面角時法向量的方向的判斷方法［J］.數學通訊，2009(4):22-23.

［2］李偉.再談用法向量求二面角之難點——兼與《利用法向量求二面角的一個難點》一文的商榷［J］.中小學數學:高中版，2009(5): 20-22.

［3］黃輝.選擇法向量的方向，準確求解二面角［J］.中學數學研究，2010(7):41-42.