花開也有聲
——數(shù)列的單調(diào)性問題

●胡東芳(浦江中學(xué)浙江浦江322200)

花開也有聲
——數(shù)列的單調(diào)性問題

●胡東芳(浦江中學(xué)浙江浦江322200)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考的重點內(nèi)容之一.數(shù)列與其他知識結(jié)合，包括數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、幾何等的結(jié)合，是高考中的難點也是熱點.尤其是數(shù)列的單調(diào)性問題，在高考中頻頻亮相.

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域只能取正整數(shù)集或其有限子集，因此在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時，可以考查數(shù)列前后2項的關(guān)系，也可以通過構(gòu)造函數(shù)來處理.

類型1直接判斷單調(diào)性問題

例1已知函數(shù)f(x)=log2x－logx2(其中0＜x＜1)，數(shù)列{an}滿足f(2an)=2n(其中n∈N*).

1)求數(shù)列{an}的通項公式;

2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.

評注數(shù)列單調(diào)性問題的刻畫方式:1)考查前后2項的大小關(guān)系，例1用的是作商比較;2)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

例2已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+ kn+2，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍.

分析本題學(xué)生容易產(chǎn)生的錯解是構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+kx+2，由數(shù)列{an}為遞增數(shù)列得函數(shù)f(x)在［1，+∞)上遞增，得出，解得k≥－2.

事實上，由數(shù)列{an}為遞增數(shù)列得an+1－an＞0，即

得k＞－3.

評注本題考查前后2項的大小關(guān)系，例1用的是作商比較，而例2用的是作差比較.例2若用函數(shù)單調(diào)性求解，則應(yīng)注意需與比較，而不是與1比較.

例3已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和記為Sn，且數(shù)列{an}滿足

1)求數(shù)列{an}的通項公式;

分析1本題第2)小題考查數(shù)列的單調(diào)性問題.若構(gòu)造函數(shù)，則要考查的是復(fù)合函數(shù)，當(dāng)然也可以直接考查bn+1＞bn.

1)由a1+a2+a3+…+an=Sn和已知條件得

因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以

分析求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn，其實質(zhì)上是求{Sn}的最值問題.最值問題的求解可通過刻畫數(shù)列{Sn}的單調(diào)性完成，而刻畫{Sn}的單調(diào)性問題即考查{cn}各項的正負(fù).

所以當(dāng)n≥5時，cn＜0.

綜上可得，對任意n∈N*均有S4≥Sn，故k=4.

例6已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(其中n∈N*)，且S3+ a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列.

1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2013年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

分析{Tn}可以看成關(guān)于Sn單調(diào)遞增的函數(shù)，故只要求Sn的最大項和最小項.

1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列，所以

評注數(shù)列與函數(shù)有密切聯(lián)系，求數(shù)列中的最大項與最小項，可以利用函數(shù)圖像或者數(shù)列的單調(diào)性求解，同時注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別.

類型3數(shù)列中的恒成立問題

例7已知an=n，是否存在正數(shù)M，使不等式對一切n∈N*成立?若存在，求出M的取值范圍;若不存在，請說明理由.

分析本題看起來很復(fù)雜，恒成立問題可以使用分離參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為最值問題.

假設(shè)存在滿足條件的M，即

評注本題轉(zhuǎn)化為g(n)的單調(diào)性，且g(n)的式子是連乘積因式，用作商比較來判斷.

評注本題是非常典型的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的和，繼而進(jìn)行比較大小的綜合應(yīng)用問題，對考生的考查是全方位的.

2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷的最后一題考查的正是數(shù)列的綜合應(yīng)用，花開也有聲，讓我們共同期待新課程改革背景下2015年高考數(shù)列問題的走勢.