一道預賽題的“簡解”與“反思”

●盛耀建(湖州中學浙江湖州313000)

一道預賽題的“簡解”與“反思”

●盛耀建(湖州中學浙江湖州313000)

筆者最近在研究2013年全國高中數學聯賽山西省預賽試題時發現:試卷中的第11題(最后一題)有2種更為簡單的求解方法，由此引發對此題的進一步深入探究，現將思考過程展示如下:

1 題目

例1盒中裝有紅色和藍色紙牌各100張，每色紙牌都含標數為1，3，32，……，399的牌各1張，2色紙牌的標數總和記為S.對于給定的正整數n，若能從盒中取出若干張牌，使其標數之和恰為n，便稱為一種取牌n－方案，不同的n－方案種數記為f(n).試求f(1)+f(2)+…+f(S)之值.

2 簡解

結合文獻［1］中的2種求解方法，筆者經過研究得出以下2種更為簡單的解法.

說明此解法以構成m(其中m=1，2，…，S)的1，3，32，…，399中次數最高項為標準進行分類，即:由式(1)可知，若能從盒子中取出若干張紙牌，使其標數之和為3k－1，3k－1+1，…，3k－1等，則取出的紙牌中最大的標數必為3k－1(其中取法有22－1=3種)，而標數小于3k－1的紙牌可任意(其中取法共4k－1種)，故由分步乘法計數原理得

解法2因為無論取多少紙牌、取哪些紙牌，這些紙牌的標數和都不會超過S且每張紙牌不同，所以無需考慮f(m)(其中m=1，2，…，S)的具體值，而只需要關注從2n張紙牌中取出若干(大于0)張紙牌有幾種取法即可，注意到標數為3k(其中k=0，1，…，S)的這類紙牌的取牌種類有4種，故f(1)+f(2)+…+ f(S)=4100－1(其中1表示取0張紙牌的取牌種類).

說明“解法2”在深刻分析了題意后，準確地把握了問題的本質，由分步乘法計數原理迅速得出正確答案，堪稱“秒殺”，大大降低了試題的壓軸性.

3 反思

題目在“解法2”的映襯下，變得過于簡單，失去了其作為競賽題的“高大上”，也不符合編題者的編題意圖，不免讓人感到有點可惜.因此，筆者作了進一步的研究，發現不改變題設條件，僅適當改變問題形式，即可挽回題目的價值，達到增強壓軸效果，“改編”過程如下:

改編題例1中題設條件不變，問題改為“試求f(1)+f(2)+…+f(1 000)之值.”

解由1 000=36+35+33+1，知

評注將“S”改為“1 000”，在問題的設計上作了小的改動，因其不可再直接用“解法2”的方法求解，看似數據減小，實則試題難度不降反升.需利用“解法1”中“以構成m的1，3，32，…，399中次數最高項為標準進行分類”的思想將1 000改寫為36+35+33+1，及結合“解法2”的巧妙計算方法即可求出答案，改編后的試題在解題思路的布局上有了“延伸”，更具回味性.

4 結論

筆者對1 000這一數據進行了進一步的探究，得出了更一般的結論:

其中S'=a0·1+a1·3+a2·32+…+ak·3k，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…，k.

當S'=a0·1+a1·3+a2·32+…+ak·3k中某些ai=2時，可以通過逐步調整系數2的位置降低計算量，但情況還是比較復雜，在此不再展開贅述.有興趣的讀者可以嘗試求f(1)+f(2)+…+f(65)之值(注:65=2·33+32+2).

［1］中國數學會普及工作委員會組編.2014年高中數學聯賽備考手冊(預賽試題集錦)［M］.上海:華東師范大學出版社，2014.