從一道“希望杯”賽題談談如何比較大小

●藍云波(興寧市第一中學廣東興寧514500)

從一道“希望杯”賽題談談如何比較大小

●藍云波(興寧市第一中學廣東興寧514500)

題目已知，則x，y 的大小關系是______.

(第11屆“希望杯”數學邀請賽高二試題)

比較大小是數學中極為常見和重要的核心內容.試題考查了在根式形式下數值大小的比較，形式優美，立意強，解法多姿多彩.雖是一道小題，卻蘊含著深刻的數學思想與方法，是一道值得研究的好題.筆者通過從不同視角分析、研究，得出多種解法，現分析如下.

視角1作差

比較大小中，最直接的方式是直接比較，而作差是最常用的方法之一，因而最易想到.如何作差化簡及放縮是關鍵.

解法1因為

視角2作商

比較大小中，另一種直接的方式是作商比較.通過觀察發現，分子、分母的被開方數之差都是a，故可利用平方差公式化簡求解.

視角3先化簡再比較

若直接比較大小比較麻煩，先化簡再比較大小也是相當不錯的策略.

解法3因為

視角4構造向量

向量是數學中的重要工具，兼具形和數的特點，故可考慮構造合適的向量解決.通過觀察，不難構造出適合解題的2個向量，然后利用向量的重要性質，解決問題.

視角5利用數形結合

數形結合直觀明了，是解決數學問題的一大法寶.構造輔助函數之后，結果呼之欲出.

解法5如圖1，在函數的圖像上取不同的點，，.由圖像可知kBC＜kAB，即

圖1

視角6利用主元思想

此題有2個字母，若以某個字母為主，另一個字母為參數，則可利用函數的觀點解決.導數是研究問題的重要方法之一.

解法6設，則

因為0＜a＜b，所以

從而f'(a)＜0，故f(a)在(－∞，b)上單調遞減.

又因為a＞0，所以f(a)＞f(0)=0，即

通過一道小題的多視角分析，打通了數學知識之間的內在聯系，發散了數學思維，使知識與方法融會貫通，提高了分析問題和解決問題的能力.