一道調研題引起的研究

●姜衛東 戚有建(揚州中學江蘇揚州225009)

一道調研題引起的研究

●姜衛東 戚有建(揚州中學江蘇揚州225009)

很多高考題、模考題、調研題看起來很平常，實際上卻豐富多彩，是命題專家經過精心思考命制出來的，有很大的研究空間和教學價值.本文從一道期末調研題出發，首先研究問題的不同解法，然后將問題推廣為一般情況，最后揭示問題的深刻背景.

1 考題展示

例1已知橢圓的中心在坐標原點，左焦點為F1(－1，0)，右準線方程為x=4.

1)求橢圓的標準方程.

2)若橢圓上動點N到定點M(m，0)(其中0＜m＜2)距離的最小值為1，求m的值.

圖1

3)分別過橢圓的4個頂點作坐標軸的垂線，圍成如圖1所示的矩形，A，B是矩形的2個頂點.P，Q是橢圓上2個動點，直線OP，OQ與橢圓的另一交點分別為P1，Q1，且直線OP，OQ的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，試探求四邊形PQP1Q1的面積是否為定值.

答案1);2)m=1;3)面積為定值

點評本題是江蘇省揚州市2015年1月高二期末調研試題的第19題，即試卷的倒數第2題，是該卷的選拔題，考查了橢圓的方程和性質、橢圓中的最值問題、橢圓中的定值問題.第1)小題學生很容易上手，用待定系數法求出基本量a，b即可;第2)小題用函數思想轉化為二次函數的最值問題來處理，但要注意隱含的定義域，實際上這是由橢圓的范圍(有界性)引起的;第3)小題用解析法來處理，有一定難度和區分度，也有很大的研究空間.在這里，筆者重點研究第3)小題.

2 解法探究

解法1(以k為參數)設直線OP的方程為y=kx，代入，整理得

點評解法1以直線OP的斜率k為參數，解出點P，Q的坐標，然后求|OP|及d，從而求面積.由于解題過程中僅涉及一個參數k，因此思路清晰，目標集中，學生容易把握.要注意的是，在求△OPQ的面積時，要合理選擇底邊，閱卷時發現很多學生選PQ為底邊，導致計算繁雜，很難進展下去.實際上，以OP為底邊要比以PQ為底邊簡單得多.

解法2(以k，b為參數)當直線PQ⊥x軸時，易得

點評解法2以直線PO的斜率k和截距b為參數，不需要解出點P，Q的坐標，借助韋達定理求|PQ|，從而求面積.此解法通俗易懂，學生容易想到，但是由于解題過程中涉及2個參數k，b，因此消參時有一定困難，對學生的運算要求較高.

解法3(以x1，y1，x2，y2為參數)設P(x1， y1)，Q(x2，y2)，則由，得

點評解法3以點P，Q的坐標x1，y1，x2，y2為參數，通過代數運算(坐標運算)來解決幾何問題(面積問題)，設而不求，充分體現了解析幾何的基本思想.但由于解題過程中涉及4個參數x1，y1，x2，y2，因此消參時有一定困難，對代數變形的要求較高.

另外，解法3中在求S△OPQ時也可以用公式來處理，過程如下:

可以看出(圖1),淮海經濟區各城市旅游經濟與城鎮化的耦合度呈現非均衡的空間格局,耦合度值從0.258到1.000分布不等．3個年份最低的分別為棗莊、蚌埠和商丘,最高的分別為濟寧(2005，2010年)和臨沂,說明其分布極不穩定．淮海經濟區3年的耦合度均值分別為0.926,0.898和0.947,表明淮海經濟區旅游經濟和城鎮化復合系統整體上還處于高水平階段．省域對比來看,耦合度由高到低分別為豫東、魯南、蘇北和皖北地區．

解法4(以α，β為參數)設，則由，得

點評解法4實際上是聯想到橢圓的參數方程進行三角換元，以α，β為參數，將問題轉化為2個三角式來處理，解法優美，過程簡潔.回顧以上4種解法，方法迥異又有異曲同工之處，求解過程中都經歷了“引參、用參、消參”三步曲.

3 推廣研究

結論分別過橢圓(其中a＞b＞0)的4個頂點作坐標軸的垂線，圍成如圖1所示的矩形，A，B是所圍成的矩形在x軸上方的2個頂點，P，Q是橢圓上2個動點，直線OP，OQ與橢圓的另一交點分別為P1，Q1.若直線OP，OQ的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，則四邊形PQP1Q1的面積為定值2ab.

證明過程類似，從略.

4 背景研究

實際上，單位圓x2+y2=1通過變換T:可以化為橢圓，該變換具有如下性質:

性質1直線在變換后，得到的仍然是直線，并且垂直于坐標軸的直線變換后仍垂直于坐標軸，不垂直于坐標軸的直線的斜率變為原來的倍.

性質2在變換前后對應線段的長度之比不變.

性質3若直線和圓相切(相交、相離)，則變換后直線和橢圓相切(相交、相離).

用上面的伸縮變換知識來解釋本題過程如下:因為在變換后的橢圓中，根據上面的性質1可得，在變化前的單位圓中“kOPkOQ=－1”，從而OP⊥OQ，因此四邊形PQP1Q1為正方形，故S正方形PQP1Q1=2.再根據上面的性質4可得，變換后橢圓中的S四邊形PQP1Q1=2ab.原來如此!

5 背景應用

筆者做了一些研究，發現很多高考題都與伸縮變換有關，有些試題利用伸縮變換可以得到簡潔解，有些試題就是通過伸縮變換命制出來的.

例2如圖2，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓的左頂點、下頂點，過坐標原點O的直線交橢圓于點P，A，其中點P在第一象限.過點P作x軸的垂線，垂足為C，聯結AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

圖2

1)若直線PA平分線段MN，求k的值;

2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d;

3)對任意的k＞0，求證:PA⊥PB.

(2011年江蘇省數學高考試題第18題)

答案1)2)3)略.

點評對于第3)小題，標準答案給出了2種解法，但運算量都較大，許多考生都因運算繁雜沒能做到底.實際上，借助伸縮變換，能得到簡潔的證法.由圓的幾何性質及伸縮變換的性質可得

這種解法不僅簡潔，而且更能看出橢圓與圓的緊密聯系!

例3如圖3，已知點A(0，－2)，橢圓(其中a＞b＞0)的離心率為，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.

1)求橢圓的方程;

2)設過點A的直線l與橢圓相交于點P，Q，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

(2014年全國數學高考新課標卷第20題)

圖3

圖4

答案1);2)

點評先通過伸縮變換化歸為有關圓的問題，就是這樣一道題:

如圖4，過點A(0，－2)的直線l與圓x2+y2= 1相交于點P，Q，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

此時非常簡單，由于

故當∠POQ=90°時，

6 反思感悟

利用伸縮變換將圓與橢圓進行互化，通過圓的問題產生橢圓的問題，將橢圓的問題化歸為圓的問題來解決，這實際上正是關系映射反演方法的一個具體應用，其中的關系可用圖5表示:

圖5