一類代數問題的三角解法

●查正開(常熟市中學江蘇常熟215500)

一類代數問題的三角解法

●查正開(常熟市中學江蘇常熟215500)

文獻［1］通過對一些數學奧林匹克不等式試題的分析，發現一些不等式的共同背景，即在“p，q，r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1”的條件下證明某個不等式，得出了該條件下的5條性質，并應用這些結論來證明有關條件不等式.

性質設p，q，r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1，則

由于這些性質形式差異較大，其證明方法也各不相同，加之證明技巧性很強，因此難以讓學生理解和掌握.筆者受文獻［2］的啟發，通過思考探究出這類條件問題的幾何本質，并由此得出這些性質的統一三角法證明，從而可“模式識別”，輕松自然地得到這類問題的一般解法.

一方面，在△ABC中，

這說明cosA，cosB，cosC滿足其條件中的等式.

另一方面，若設p=cosA，q=cosB，r=cosC，因p，q，r是正實數，故不妨設，則條件等式變為cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1，即

因為A，π－B－C∈(0，π)，得A+B+C=π，所以A，B，C可作為某銳角三角形的3個內角.

綜合上述2個方面可得如下定理:

定理正實數p，q，r若滿足p2+q2+r2+2pqr=1，則它們分別對應于某銳角三角形的3個角的余弦.

由本定理我們得出“p，q，r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1”的代數條件即為三角形問題的幾何本質，從而文獻［1］的性質可給出統一的三角證明:

由條件根據上述定理可設p=cosA，q=cosB，r=cosC，則性質1)所證不等式(1)即:在△ABC中，

在不等式(6)中令xy=cosA，yz=cosB，zx=cosC，立得式(1')成立.

性質2)即證明:在△ABC中，

因為在△ABC中，

性質3)即證明:在△ABC中，

利用熟知的不等式可得

性質4)即證明:在△ABC中，

根據抽屜原理知，在△ABC的3個角中必有2個角同時不大于或不小于，不妨設為A，B，則

性質5)即證明:在△ABC中，

故不等式(5')左邊成立.又因為

故不等式(5')右邊也成立.

由上述證明可知，文獻［1］中所給出的“p，q，r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1”條件下5個性質應用定理進行轉化，運用三角知識均可得到簡捷高效的證明.因此我們無需刻意來記住這些結論，若碰到這類條件下的問題直接抓住其幾何本質，利用“三角”這把利器可迅速求解.

例1已知x＞0，y＞0，z＞0且x2+y2+z2+2xyz=1，求證:

(《學數學》2015年第1期數學貼吧問題)

分析根據題設條件可直接利用定理，將問題轉化為一個簡單的三角不等式.

證明設x=cosA，y=cosB，z=cosC，則由上述定理結論知A，B，C為銳角△ABC的3個內角，則

因此，原不等式成立.

例2設a≥1，b≥1，c≥1，且滿足abc+2a2+2b2+2c2+ca－cb－4a+4b－c=28，求a+b+c的最大值.

(2011年全國高中數學聯賽加試試題)

分析由已知變形得，令a－1=4p，b+1=4q，c=4r，則已知等式即為p2+q2+r2+2pqr=1.

解設p=cosA，q=cosB，r=cosC，則由定理知A，B，C為銳角△ABC的3個內角，利用熟知的不等式，得

說明對于不等式，除了性質2證明中的方法外，還可構造函數，由f(x)為凸函數，利用琴生不等式得到證明.

例3設正實數u，v，w滿足，求證

(第48屆中國國家集訓隊測試題)

分析由u，v，w為正實數可令u=4p2，v=4q2，w=4r2，其中p＞0，q＞0，r＞0，則條件等式即為p2+q2+ r2+2pqr=1.

證明設p=cosA，q=cosB，r=cosC，則由定理知A，B，C為銳角△ABC的3個內角，所證不等式即為

由于△ABC中有嵌入不等式(6)，令xy=cosA，yz=cosB，zx=cosC，代入(6)，立得式(7)成立.

例4設非負實數x，y，z滿足x2+y2+z2+xyz=4，證明:xy+yz+zx－xyz≤2.

(第30屆美國數學奧林匹克競賽試題)

分析當3個數中有1個或2個數取0時命題顯然成立，故只需考慮正實數x，y，z的情形.

令x=2a，y=2b，z=2c，則命題轉化為“正實數滿足a2+b2+c2+2abc=1，求證:

證明由定理可設a=cosA，b=cosB，c=cosC，則命題即為:已知△ABC，求證:

由此可知，應用定理可將“p，q，r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1”條件下的一類代數問題轉化為三角問題，借助三角知識可以簡捷處理.需要指出的是:這類條件問題的競賽試題經過命題者精心包裝和整合改編，其形式變幻莫測，外表眾彩紛呈.解題者應通過變形轉換，撥開它們的神秘面紗和虛假外殼，揭示并暴露其幾何本質，模式識別地運用三角知識，給出簡捷優美的解答.

最后筆者再提供幾個經典試題，讀者可采用上述方法自行加以解答，相信對這類問題會有更深入的理解和體會.

練習測試題:

(2007年美國國家集訓隊試題，2007年伊朗數學奧林匹克競賽試題)

提示:將條件變形為x2y2+y2z2+z2x2+2x2y2z2=1，令xy=p，yz=q，zx=r，則問題轉化為“正實數p，q，r滿足p2+q2+r2+2pqr=1，求證:”.

2.設正實數x，y，z滿足xy+yz+zx+xyz=4，求證:x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南數學奧林匹克競賽試題)

提示:令xy=4p2，yz=4q2，zx=4r2，則已知條件即為p2+q2+r2+2pqr=1，待證式即為

(2011年中歐數學奧林匹克競賽試題)

(2004年全國高中數學聯賽河南省預選賽試題)

提示:作變換x=16p2，y=16q2，z=16r2(其中p＞0，q＞0，r＞0)，則問題轉化為“已知正實數滿足p2+ q2+r2+2pqr=1，求證:

5.已知a，b，c為正實數，a2+b2+c2+abc=4，求證:a+b+c≤3.

(第20屆伊朗數學奧林匹克競賽試題)

提示:設x=2p，y=2q，z=2r，則問題轉化為“正實數滿足p2+q2+r2+2pqr=1，求證:

［1］鄒守文.一類不等式奧林匹克試題的共同背景［J］.中學教研(數學)，2012(9):43-46.

［2］程漢波.三角代換，巧證代數不等式［J］.中學數學研究，2014(3):38－39.