基于信息熵的多無源傳感器數據關聯*

曹 樂，王朝英，孔云波，劉玉軍，鹿傳國

(1.空軍工程大學 信息與導航學院，陜西 西安710077;2.95806 部隊，北京100086)

0 引 言

無源傳感器具有良好的隱蔽性、抗電磁干擾、抗反輻射導彈等優點［1］，近年來已被廣泛研究，成果日益增多［2～5］。但無源傳感器的量測信息僅包含角度信息，加大了數據關聯的難度，利用幾何交叉定位技術對空間目標進行定位則產生了大量的虛假點［6］，且隨著傳感器與目標數目的增多呈指數級增加。

為解決多無源傳感器跟蹤中數據關聯問題，Bar－Shalom Y 等人將其描述為一個多維分配問題。Pattipati K R 在文獻［7］中提出利用量測與偽量測的極大似然比構造關聯代價函數，并利用多維分配模型求解最優劃分。但該代價函數仍難以精確反映量測數據間的關聯的可能性大小，且當維數高于二維時，多維分配問題計算復雜度高，無法求得最優解。因此，目前的大部分研究多致力于降低該模型的復雜度，如文獻［3］提出了約減關聯假設空間的二面角聚類算法;文獻［8］利用方位角和俯仰角信息篩選可能的關聯組合，通過指示函數分析挑選出正確關聯組合;文獻［9］根據最大似然算法將定位問題轉化為無約束的優化問題;文獻［10］推導了基于測向線的關聯依據，提出了兩級消元式數據關聯算法。以上方法都是利用先驗信息來減小搜索區域以降低計算復雜度，從分配方式角度改進算法，而忽略了關聯代價函數的構造。

文獻［11］明確指出極大似然法［7］在構造代價函數時忽略了極大似然估計所引入的誤差，可以通過修正代價函數增強模型的完備性以提高關聯正確率。因此，本文從增強多維分配模型完備性的角度，提出基于信息熵的多無源傳感器數據關聯算法。信息熵可以有效地度量相似概率密度函數之間的差異，充分考慮到極大似然估計所引入的隨機誤差。本文利用最常用的兩種信息熵:相對熵和Renyi熵度量偽量測的概率密度函數與真實量測數據的極大后驗分布［4］之間的相似性，構造關聯代價函數。最后通過仿真實驗對本文算法進行驗證，進一步證明了該算法的有效性。

1 問題模型

假定在觀測區域內有M 個目標，通過N 只傳感器進行協同目標定位。圖1 即表示目標j 與傳感器之間的關系模型。其中，傳感器s 的坐標，目標j 的坐標

圖1 多無源傳感器目標跟蹤模型Fig 1 Multi passive sensor target tracking model

1.1 量測模型

根據圖1 所示的模型，傳感器s 測得目標j 的角度量測為θsj=［βsj，αsj］T，其中

每只傳感器均允許漏檢與虛警，則傳感器的量測模型可以表示為

其中，量測噪聲服從正態分布，即vsi～N(0，Rs)，虛警在觀測區域近似服從均勻分布，psj=1/φs。

為簡化由漏檢引起的不完全測量與目標的互聯，為傳感器s 引入一個虛擬量測ms0，則傳感器s 獲得的量測集合可以表示為，所有傳感器獲得的量測數據表示為

1.2 多維分配模型

數據關聯即識別真實目標的數目并估計目標的位置，同時對量測集合進行可行性劃分。設γ 為一可行劃分，Ψ={γ}為所有可行劃分的集合，數據關聯即是尋找到Ψ中的最優劃分γest，通常利用多維分配算法求解。

傳統多維分配算法是利用量測與偽量測間的統計距離構造關聯代價，即

其中，PDs為傳感器s 的檢測概率，δ0is為狄拉克函數，為某關聯假設下目標的偽量測與量測的統計距離。

定義 ρi1i2…iN為二元變量，表示分配的量測集合是否與目標互聯，則完整的多維分配模型表述為

滿足約束條件

1.3 目標位置估計

為獲得目標偽量測信息，首先要確定目標的位置估計信息。不考慮量測噪聲的影響，根據式(1)和式(2)將N 只傳感器的量測方程用矩陣形式表示為

其中

則利用偽線性最小二乘定位算法［12］求得目標位置估計為

對應的估計協方差陣為

2 基于信息熵的數據關聯

信息熵是對事件不確定性的一種度量。若P，Q 分別表示兩個連續的隨機變量，其概率密度函數分別為p(x)，q(x)，則隨機變量P 的信息熵H(P)可以表示為

條件信息熵表示在某個變量確定的前提下，其它未知變量所包含的信息量，表示為

其中，H(Q，P)表示變量P，Q 的聯合熵。條件熵表示兩個變量之間的相關程度，因此，可以利用條件熵度量目標真實位置與極大似然估計之間的相關性程度，修正關聯代價函數，以提高關聯正確率。本文主要利用兩種常用的信息熵:相對熵與Renyi 熵對關聯代價函數進行修正。

2.1 偽量測統計特性

關聯代價函數的構造為數據關聯的核心，而修正代價函數首先即要確定偽量測的統計特性。無跡(UT)變換是計算隨機變量經非線性變換后統計特性的方法，因此，本文采用對稱采樣的UT 變換［13］求解偽量測的統計特性。

基于式(1)，式(2)所述的傳感器觀測模型，記xj與對應于傳感器s 的偽量測~mj之間的映射關系為

1)Sigma 點采樣:采用對稱采樣確定目標位置估計的Sigma 點集

采樣點對應的權值為

其中，i=0，1，…，2n(n 為x^j的維數)為比例系數，調節Sigma 點與均值的距離。

2)非線性變換:將Sigma 點ηi按式(13)進行非線性變換得點集

3)數值計算:偽量測的均值和方差分別為

2.2 基于相對熵的關聯代價

相對熵是描述兩個隨機變量P，Q 之間差異的一種方法，利用其可以度量不同概率密度函數之間的差異，則兩個一維連續隨機變量之間的相對熵定義為

由于相對熵不滿足交換律，不是嚴格意義上的距離信息。因此，利用對稱相對熵構造關聯代價函數。對稱相對熵定義如下

假設不同傳感器之間的觀測相互獨立，考慮漏檢和虛警的影響，則對應關聯假設的代價函數為

代價函數的核心即相對熵的計算，假設P，Q 均服從高斯多維分布，即p ～N(μ0，∑0)，q ～N(μ1，∑1)，則相對熵可化簡為

2.3 基于Renyi 熵的關聯代價

Csiszar 在20 世紀60 年代前后提出f 散度的概念，定義為

f 散度是通過f 函數對散度進行調節，不同的f 函數，對應著不同的散度。當f 函數取時，代表f 散度的一種特殊的情況—Renyi 熵，定義為

其中，α 為Renyi 熵參數(α∈(0，1))。

Renyi 熵同樣不是嚴格意義上的距離信息，因此，定義對稱Renyi 熵如下

則對應關聯假設Mi1i2…iN的代價函數為

其中，Renyi 熵的表達式可以化簡為

將上式結果代入式(25)即修正關聯代價函數。

3 仿真實驗

為驗證本文所提算法的正確性，對相同配置方案下本文算法與文獻［7］算法進行比較分析。由于多維分配算法是一典型的NP 難題，實驗中的多維分配問題均利用線性松弛法［14］求解。

本仿真設置2 只無源傳感器，其坐標分別為(20，0，0.1)km，(0，20，0.1)km，目標在以探測器為中心，半徑為20 km 的球形區域內產生。不考慮漏檢和虛警，在傳感器角度量測誤差標準差為1，3，5 mrad 的情況下分別進行仿真。由于α=0.5 時Renyi 熵能夠充分考慮到兩個相似概率密度函數之間的最大差別［15］，因此，以下仿真實驗中 的值均取0.5。

3.1 兩目標關聯

假設在觀測區域內有2 個目標，坐標分別為(x，y，z)和(x+d，y，z)。其中，d 為兩目標之間的距離，在［0.05，2］km之間每隔0.1 km 進行取值，蒙特—卡羅仿真次數取1 000。仿真結果如圖2，由圖可以看出:隨著量測噪聲的增加，目標關聯正確率明顯下降，同時，隨著目標間距的增大，關聯正確率逐漸提高。利用信息熵構造關聯代價函數，相對于文獻［7］算法明顯提高了關聯正確率，且基于Renyi 熵的改進效果優于基于相對熵的改進。

圖2 兩目標關聯正確率曲線Fig 2 Association accuracy curve of two-target

3.2 多目標關聯

假設在觀測區域內有5，10，15 個等間隔排列的目標，相鄰目標之間的間隔為d，蒙特—卡羅仿真次數取500。表1 ～表3為不同目標間隔、不同量測誤差下各算法的關聯正確率。表中數據進一步證明了利用信息熵修正關聯代價函數的有效性，與文獻［7］算法相比，相對熵改進算法關聯正確率提高了1.5%～5.8%，平均提高了近3.7%;Renyi 熵改進算法關聯正確率提高了2.2%～7.5%，平均提高了近5.2%。

表1 5 目標關聯正確率Tab 1 Association accuracy ratio of five-target

表2 10 目標關聯正確率Tab 2 Association accuracy ratio of ten-target

表3 15 目標關聯正確率Tab 3 Association accuracy ratio of fifteen-target

3.3 算法復雜度分析

表4 為2 只傳感器跟蹤2 個機動目標時不同算法計算關聯代價的相對運算強度。由表中數據看出:基于信息熵的算法增大了算法運算強度，提高了關聯的復雜度，分析其主要是由于偽量測統計特性計算。基于相對熵的改進算法計算復雜度相對較低，更適于實際應用。

表4 相對運算強度Tab 4 Relative computing intensity

4 結 論

本文將偽量測視作隨機變量，利用信息熵度量量測與偽量測概率密度函數之間差異構造關聯代價函數，以增強模型的完備性，提高關聯的性能。仿真實驗表明:該方法充分考慮了極大似然估計引入的誤差，更精確地反映數據關聯的可能性程度，有效地提高了數據關聯的正確率。其中利用Renyi 熵修正關聯代價函數改進效果更明顯，但其計算復雜度相對于相對熵方法略有提高。

［1］ Musicki D.Multi－target tracking using multiple passive bearingsonly asynchronous sensors［J］.IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems，2008，44(3):1151－1160.

［2］ Ouyang C，Ji H.Improved relaxation algorithm for passive sensor data association［J］.IET Radar，Sonar and Navigation，2012，6(4):241－250.

［3］ Zhang S，Bar－shalom Y.Efficient data association for 3D passive sensors:If I have hundreds of targets and ten sensors(or more)［C］∥Fusion 2011 14th International Conference on Information Fusion，Chicago，IL，United States，2011:1－7.

［4］ 鹿傳國，馮新喜.基于Kullback－Leibler 散度的無源傳感器數據關聯算［J］.吉林大學學報:工學版，2013，43(6):1404－1408.

［5］ 田 野，姬紅兵，歐陽成.基于距離加權最小二乘的量測數據關聯［J］.系統工程與電子技術，2011，33(11):2353－2358.

［6］ Lidgren A G，Gong K F.Properties of bearing－only motion analysis estimator:An interesting case study in system observability［C］∥Proceedings of the 12th Asilomar Conference on Circuits Systems，and Computer Monterey，CA，USA，1978:50－58.

［7］ Pattipati K R，Bar－shalom Y.A new relaxation algorithm and passive sensor data association［J］.IEEE Trans on AC，1992，37(2):198－213.

［8］ 田 野，姬紅兵，歐陽成.基于角度余切值的多被動傳感器數據關聯［J］.電子與信息學報，2010，32(10):2331－2335.

［9］ 王燊燊，馮金富.基于角度信息的近空間雷達網定位算法［J］.空軍工程大學學報，2012，13(1):33－37.

［10］蔣文濤，孫利民，呂俊偉.面向測向交叉定位的2 級消元數據關聯算法［J］.華中科技大學學報:自然科學版，2012，40(3):63－67.

［11］Ouyang C，Ji H.Modified cost function for passive sensor data association［J］.Electronics Letters，2011，47(6):383－385.

［12］王 鼎，張 莉，吳 瑛.基于角度信息的約束總體最小二乘無源定位算法［J］.中國科學E 輯:信息科學，2009，36(8):880－890.

［13］Julier S J，Uhlmann J K.A general method for approximating nonlinear transformations of probability distributions［R/OL］.［2004—03—13］.http:∥www.robots.ox.ac.uk/siju/work/Publications/letter－size/Unscented.zip.

［14］Sunsil Mathews.An efficient implemen－tation of a batch－oriented，multi－target，multidimensional assignment tracking algorithm with application to passive sonar［R］.Island:Naval Undersea Warfare Center Division Newport，2011.

［15］Yang C，Kadar I，Blasch E.Comparison of information theoretic divergences for sensor managment［C］∥SPIE Defense，Security，and Sensing，International Society for Optics and Photonics，2011:80500C1－80500C10.