Tsallis 熵的參數在圖像閾值分割中的應用*

宋亞玲，歐聰杰

(華僑大學 信息科學與工程學院，福建 廈門361021)

0 引 言

Shannon 熵作為描述系統信息量的一種量度，是通信與信號處理領域的基石［1］。在圖像的閾值分割處理上，以Shannon 熵函數為優化目標的方法因其簡潔、高效的特性吸引了廣泛的關注［2］。針對不同的圖像屬性，現已發展出交叉熵、模糊熵、倒數熵等不同的理論分支，均有廣泛成功的應用［3～5］。近年來，隨著對圖像成像規律的深入研究，Albuquerque M P 等人首次在Shannon 熵的基礎上引入Tsallis熵并應用于圖像分割［6］。Tsallis 熵具有非廣延性并通過一個附加參數q 來描述，在參數q 趨近于1 時，它將自然退化為Shannon 熵［7］，因此，以它為目標函數所構造的分割方法要比Shannon 熵具有更大的靈活性和普適性［8］，近年來已被廣泛應用于醫學影像處理［9］，儲糧蟲害檢測［10］等各個領域。對于一幅數字圖片，任意兩個像素點的灰度之間存在的可能關聯，將在很大程度上影響整個圖像的統計性質。因此，采用更一般化的Tsallis 熵對圖像進行統計分析與閾值分割具有數理上的合理性。

近年來的大量研究均顯示采用Tsallis 熵的確可以提高圖像的分割質量［8～10］，本文考慮圖像內部灰度值的長程關聯，分析q 參數所產生的影響。同時，針對一些特定的圖片給出有效的分割方案。

1 Tsallis 熵的參數與閾值分割

假設一幅具有n 級灰度階的圖像大小為M×N 像素點，則{pi=ki/(MN)，i=1，2，…，n}為該圖像的灰度分布，其中，ki為圖像中灰度值為i 的像素點數量，則該分布所對應的Tsallis 熵定義如下

其中，q 即為前述的附加參數。由式(1)可知在q→1時Sq將還原為Shannon 熵。目前有多種基于Tsallis 熵的圖像閾值分割方法，均能體現q 參數對閾值結果的調節作用。但很多時候該參數的取值依靠經驗判斷，并無明確的取值界限，這里以Albuquerque 法［6］為例分析這個問題。

設一幅圖像的分割閾值為t(t∈［1，n］)，則圖像灰度分布被該閾值分割為兩個部分，A 和B，它們的Tsallis 熵分別如下

其中

最佳的閾值t*由下列判據給出［6］

式(5)說明閾值的選取遵循熵極大化的原則，因此

式(6)即為q 參數取值的下限，是開區間，因為

則不同圖像的灰度分布(具有相同的灰度階n)在q=0 時將得到相同的Tsallis 熵，基于Tsallis 熵的所有閾值分割法都將失效。另外，由式(1)得

式(8)說明q 的取值過大同樣無法準確區分圖像灰度分布中所包含的信息。隨機選擇四幅常見的測試圖片(如圖1(a)所示)，對比在不同q 參數下由式(5)得到的各自分割閾值，如圖1(b)所示。

圖1 q 參數的有效范圍Fig 1 Effective range of parameter q

圖1 (b)在q→0 的情況下，互不相關的圖片的分割閾值趨向于一個固定的值，這與圖像的隨機性相違背。此外，在2 ＜q ＜5 區間還可看出:四幅圖片的分割閾值幾乎不再對q 參數的變化做出響應，此時算法已然失效。在q ＞5 之后，因子pqi 將趨于無窮小量，此時任意一個微小的計算誤差都將對閾值選取造成顯著影響，由此產生隨機震蕩的偽閾值。為充分保證Tsallis 熵的有效性，在本文選擇的q 參數范圍定為0.1≤q≤1.5。

2 基于Tsallis 熵的雙q 值算法

自然界圖片種類繁多，因此，式(5)無法全部適用。例如:在某個固定背景下的影像系列，因為目標的出現具有隨機性，不會與固定的背景之間產生像素上的關聯。同時，目標類的像素點和背景類的像素點各自之間的灰度關聯性仍然存在，而且這兩種關聯性的強弱未必相同，故這兩部分的熵可分別表示如下

其中，q1，q2分別為目標類A 與背景類B 的像素點各自灰度關聯的強度。因此，構造目標函數如下

即對A，B 兩部分的熵進行比較，選擇的最優閾值是讓較小的那個熵極大化，則另一個熵即使沒有最大化，也不會太小，從而實現兩部分熵極大化的一種均衡。

3 實驗結果

為了驗證上述算法的有效性，針對特定類型的圖片進行分割實驗。這種圖片應具有如下特征:1)所要提取的目標具有任意性;2)背景與目標各自的成像因素具有獨立性。基于此，紅外成像的圖片序列是比較合適的類型。圖2 分別展示了Kapur 法［2］、Albuquerque 法［6］以及本文的方法所得的結果。

為進一步定量闡述分割效果，引入錯分類誤差因子ME，定義如下

圖2 閾值分割結果(其中，(d)q=0.1 和(e)q1=0.6，q2=0.4)Fig 2 Threshold segmentation results，where(d)q=0.1(e)q1=0.6，q2=0.4

其中，OGT和OT分別為基準圖和分割結果中目標像素的集合，BGT和BT分別為基準圖和分割結果中背景像素的集合。

圖3 顯示了Albuquerque 法在不同q 參數取值下的輸出結果，這里采用圖2(a)，(b)作為原圖和基準圖。可以看出:閾值僅在參數接近于1 時產生一次較明顯的跳躍，然而相應的誤差也隨之明顯增加，分割失敗。

圖3 Albuquerque 法產生的閾值t 隨q 參數的變化關系，以及相應閾值結果所對應的MEFig 3 Threshold t generated by Albuquerque method varies with parameter q，as well as corresponding ME

實際上，圖2(a)是紅外成像視頻幀序列中的一個單幀，通過與基準圖的對比，找到一組恰當的(q1，q2)用于實現對目標的提取。在短時拍攝過程中，可以認為目標與背景的紅外輻射強度穩定，第一幀圖像的(q1，q2)取值對于后續幀幅同樣有效。圖4 的視覺效果證明了這一點，定量測試數據如表1 所示。

圖4 紅外視頻后續幀幅的分割結果對比Fig 4 Segmentation results comparison of subsequent frames of infrared video

表1 針對圖2 與圖4 的定量數據Tab 1 Quantitative datas of fig 2 and fig 4

4 結 論

本文通過對Tsallis 熵性質的分析確定q 參數的合理取值范圍，將紅外成像圖片的目標與背景視為兩個相互獨立的集合，提出了一種包含兩個可調節參數q1和q2的新的閾值分割方法，實現目標與背景的自動分割。實驗結果表明:該方法在處理目標與背景無明顯關聯的圖片序列時更加有效。

［1］ Shannon C E.A mathematical theory of communication［J］.The Bell System Technical Journal，1948，27:379－423.

［2］ Kapur J N，Sahoo P K，Wong A K C.A new method for gray－level picture thresholding using the entropy of the histogram［J］.Comput Vision Graphics Image Process，1985，29:273－285.

［3］ Sezgin M，Sankur B.Survey over image thresholding techniques and quantitative performance evaluation［J］.Journal of Electronic Imaging，2004，13:146－165.

［4］ Sarkar S，Das S，Chaudhuri S S.A multilevel color image thresholding scheme based on minimum cross entropy and differential evolution［J］.Pattern Recognition Letters，2015，54:27－35.

［5］ 吳一全，殷 駿，畢碩本.最大倒數熵/倒數灰度熵多閾值選取［J］.信號處理，2013，29(2):143－151.

［6］ Albuquerque M P，Esquef I A，Mello A，et al.Image thresholding using Tsallis entropy［J］.Pattern Recognition Letters，2004，25:1059－1065.

［7］ Tsallis C.Possible generalization of Boltzmann－Gibbs statistics［J］.J Stat Phys，1988，52:480－487.

［8］ Lin Q，Ou C.Tsallis entropy and the long－range correlation in image thresholding［J］.Signal Processing，2012，92:2931－2939.

［9］ 李積英，黨建武，王陽萍.融合量子克隆進化與二維Tsallis 熵的醫學圖像分割算法［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2014，26(3):465－471.

［10］吳一全，王 凱，曹鵬祥.蜂群優化的二維非對稱Tsallis 交叉熵圖像閾值選取［J］.智能系統學報，2015，10(1):103－112.