有色觀測噪聲下的無跡卡爾曼濾波算法

鄒 韜，趙長勝，丁圳祥

(江蘇師范大學(xué)城鄉(xiāng)規(guī)劃設(shè)計研究院，江蘇 徐州221116)

一、引 言

在處理有色噪聲作用下的非線性問題時，柯晶［1］、周華東［2］等采用擴展卡爾曼(EKF)濾波對強非線性系統(tǒng)進行相應(yīng)的跟蹤處理。但是EKF模型線性化誤差可能會影響濾波的精度，甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散。在任意非線性條件下，Julier等［3］證明無跡卡爾曼濾波(UKF)能以二階以上精度來描述系統(tǒng)的后驗均值及協(xié)方差;Leven等［4］在多目標跟蹤方面，得出UKF精度優(yōu)于EKF跟蹤精度等，證明了UKF在目標跟蹤、信號處理等領(lǐng)域中的優(yōu)點。

經(jīng)典UKF要求噪聲是高斯白噪聲，實際上，不同系統(tǒng)的噪聲不一定表現(xiàn)出高斯特性，如GPS動態(tài)定位中觀測誤差和動力學(xué)模型是具有一定時空相關(guān)、異常特性的有色噪聲［5］。

本文在最小方差估計的基礎(chǔ)上，對觀測信息進行擴增，將其轉(zhuǎn)換為白噪聲，再利用UT變換計算后驗均值及協(xié)方差。最后通過實測數(shù)據(jù)驗證了該算法的可行性、有效性。

二、非線性離散系統(tǒng)描述

非線性離散系統(tǒng)下的一般狀態(tài)方程和觀測方程可表示為

式中，兩式分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)模型和觀測模型;f()、h()分別表示非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)及非線性觀測函數(shù);xk∈R，為nx×1維隨機狀態(tài)向量;zk∈R，為nz×1維隨機觀測向量;uk∈R，為nu×1維控制向量;wk∈R，為nw×1維系統(tǒng)噪聲向量;vk∈R，為nv×1維觀測噪聲向量。此處wk為高斯白噪聲，其方差為Qk，vk為有色噪聲。

設(shè)vk為有色噪聲，滿足一階AR模型，即

式中，ηk為高斯白噪聲，其方差為Rk。

一般情況下，解決有色噪聲下非線性問題都是先對其線性化，但是對于強非線性系統(tǒng)，必然會引起較大的線性誤差。

三、觀測噪聲為有色噪聲作用下無跡卡爾曼濾波算法

1．有色觀測噪聲改化

利用觀測信息擴增法［6］對有色噪聲進行改化，由式(1)可知

結(jié)合式(2)，可得

結(jié)合狀態(tài)方程，可得有色噪聲下非線性系統(tǒng)

式中，ηk、wk為互不相關(guān)的高斯白噪聲。而且，原觀測信息Zk+1={z1，z2，…，zk+1}所含信息量與現(xiàn)觀測信息

2．有色觀測噪聲下的無跡卡爾曼濾波算法流程

1)狀態(tài)一步預(yù)測值及其方差

2)新狀態(tài)xkk+1一步預(yù)測及其方差為

3)預(yù)測輸出值及方差為

4)計算互協(xié)方差為

式中

5)獲取更新后的觀測值及其方差為

式中，Kk+1=P~xk+1~z*k+1為增益矩陣。以上給出的是一種基于模型(6)的最優(yōu)高斯濾波。由于模型(6)與模型(1)間的等價性，模型(6)遞推得到的最優(yōu)濾波解就是模型(1)在有色觀測噪聲下的最優(yōu)解。最優(yōu)濾波中分別表示狀態(tài)估計先驗分布、Pk，在k時刻經(jīng)非線性函數(shù)f()傳遞后的后驗均值、協(xié)方差及互協(xié)方差。

四、有色噪聲作用下新狀態(tài)向量及觀測向量計算、推導(dǎo)

UT變換的重點是確定Sigma點的個數(shù)，本文以最常用的對稱采樣為例，具體方法如下

其對應(yīng)的權(quán)值為

式中，κ為比例系數(shù)，用于調(diào)節(jié)χ與x之間的距離。實際計算中，為了保證Px的非負定性及濾波的穩(wěn)定性，對其進行Cholesky分解，即平方根算法(SRUKF)［9］。

在上一章的基礎(chǔ)上，本章主要給出有色觀測噪聲下的UKF濾波算法公式的計算推導(dǎo)。

1)選定采樣策略(本文以對稱采樣為例)，計算Sigma采樣點χi，k(k=0，1，…，L)。通過非線性函數(shù)fk傳遞

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則狀態(tài)一步預(yù)測值及其方差為

2)通過擴維采樣［10］和非線性觀測函數(shù)hk傳遞，的Sigma點集可表示為

則xk+1、xk的后驗均值為

則

互協(xié)方差為

將式(15)—式(19)代入式(7)—式(12)中，即可得到相應(yīng)的后驗均值及方差。

五、算例分析

在某已知點上安置一臺GPS接收機，進行靜態(tài)單點定位，接收機采樣間隔10 s，取其平穩(wěn)狀態(tài)觀測次數(shù)100次。動力學(xué)模型采用常速(CV)模型［11］，觀測模型采用偽距觀測方程［12］，其中，系統(tǒng)噪聲w為零均值白噪聲，觀測噪聲v為有色噪聲，滿足v(k)=0．7*v(k－1)+η(k)。濾波的初始狀態(tài)估值X0及其協(xié)方差P0分別給定為

狀態(tài)噪聲w協(xié)方差矩陣Q和觀測噪聲η協(xié)方差矩陣R分別給定為

分別采用傳統(tǒng)UKF與本文算法，將二者的濾波估值分別與真實值比較。二者計算得到的均方根誤差RMSE見表1。

表1 傳統(tǒng)UKF與本文算法RMSE值比較

坐標差值比較如圖1—圖3所示。

圖1 X坐標方向上誤差

圖2 Y坐標方向上誤差

圖3 Z坐標方向上誤差

不難發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)UKF對狀態(tài)X、Y、Z的估計曲線效果不佳，其相應(yīng)的RMSE值也隨時間迅速積累，這充分說明了傳統(tǒng)UKF算法在有色噪聲非線性估計問題上受到較大的影響，定位跟蹤精度也隨之降低。而本文算法在X、Y、Z方向上精度則得到大大提高。通過分析以上計算結(jié)果，本文算法相對于傳統(tǒng)UKF，有效地抑制了有色噪聲的影響，提高了定位精度。

六、結(jié)束語

在實際應(yīng)用中，噪聲經(jīng)常以非高斯形式出現(xiàn)，而傳統(tǒng)的UKF算法，必須嚴格假設(shè)系統(tǒng)和觀測噪聲均為高斯白噪聲，這在一定程度上降低了結(jié)果精度。對此，本文通過對實際數(shù)據(jù)進行試驗，得出該算法可以在一定程度上抑制有色噪聲的“污染”。

另外，實際情況中噪聲往往是多樣性的，而本文直接定義觀測噪聲為最簡單的一階AR模型，不能準確地反映噪聲的形式。如何對有色噪聲進行建模，還需要作進一步研究。

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